劉子良，簡霄翎，姚紅良，聞邦椿

（1.沈陽理工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110159；2.東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，遼寧 沈陽 110819）

旋轉(zhuǎn)機械廣泛應(yīng)用于航天航空、石油化工等領(lǐng)域，其核心部件——轉(zhuǎn)子系統(tǒng)因加工誤差、污垢堆積、扇葉脫落等因素出現(xiàn)質(zhì)量不平衡增大的問題，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子在啟停機過程或者部分轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn)時振動過大。動平衡技術(shù)是解決轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡問題的常用方法，但該技術(shù)存在拆裝設(shè)備、停工停產(chǎn)，進而造成損害經(jīng)濟效益的問題。為避免這種問題，科研人員也在探尋其他解決質(zhì)量不平衡造成轉(zhuǎn)子振動過大問題的方法。

動力吸振技術(shù)是一種通過在目標(biāo)系統(tǒng)上附加子結(jié)構(gòu)，具有良好抑振效果的減振技術(shù)。作為這項技術(shù)的承載主體——動力吸振器具有結(jié)構(gòu)簡單、易于安裝的特點，被廣泛應(yīng)用于橋梁、樓房、潛艇等結(jié)構(gòu)或設(shè)備減振。近年來，科研人員也對動力吸振器抑制轉(zhuǎn)子振動進行了多項研究。姚紅良等［1］為了抑制轉(zhuǎn)子振動，提出了一種將負(fù)剛度和正剛度相結(jié)合的吸振器；Taghipour 等［2］利用線性調(diào)諧質(zhì)量減振器、非線性能量吸收器和組合能量吸收器對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的減振問題進行了研究；Yao 等［3］提出了一種由螺旋彈簧和磁性彈簧組成的可調(diào)諧動力吸振器，研究結(jié)果表明該吸振器能有效抑制不平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動；Tehrania 等［4］研究了調(diào)諧質(zhì)量減振器和非線性儲能器在柔性葉片轉(zhuǎn)子系統(tǒng)防震系統(tǒng)中的應(yīng)用，所得結(jié)果表明，這些被動減振器能降低轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動，并在更高的間隙下消除葉片和定子之間的接觸值；Hu等［5］建立了安裝有一種新型動力吸振器的單跨雙盤轉(zhuǎn)子工作臺模擬轉(zhuǎn)子的啟動過程，結(jié)果表明，在2 個圓盤之間安裝具有開關(guān)控制功能的轉(zhuǎn)子動力吸振器（Rotor Dynamical Vibration Absorber，RDVA），不僅抑制了啟動過程中轉(zhuǎn)子在臨界速度下的劇烈振動，而且避免了因安裝傳統(tǒng)吸振器產(chǎn)生的兩階共振的問題；馮浩然等［6］設(shè)計了一種新型動力吸振器，并搭建了四跨轉(zhuǎn)子實驗臺進行抑振實驗研究，研究表明吸振器可使四跨轉(zhuǎn)子軸系在全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)保持較低的振動幅值；丁繼超等［7］針對大型旋轉(zhuǎn)機械中存在的振動問題，設(shè)計了一種多重半主動動力吸振器，通過對單跨不平衡轉(zhuǎn)子抑振試驗研究得知，該吸振器可有效拓寬減振頻帶，能夠解決新的共振問題。在線性吸振器中，三要素吸振器結(jié)構(gòu)簡單獨特，部分學(xué)者對其進行了研究。楊一清等［8］基于三要素減振器對大長徑比旋轉(zhuǎn)切削刀具進行了設(shè)計，驗證了帶有三要素減振器的轉(zhuǎn)動式刀具的實驗調(diào)諧頻率響應(yīng)函數(shù)振幅比目標(biāo)模式的振幅減少了87.1%；Nishihara［9］利用數(shù)值方法，在給定質(zhì)量比下，使配備三要素減振器的線性系統(tǒng)的共振振幅降至最小；申永軍等［10］提出了一種新型具有接地剛度元件和放大機構(gòu)的三要素吸振器用于抑制單自由度系統(tǒng)的振動，并對其參數(shù)進行了優(yōu)化研究。

本文將研究用于轉(zhuǎn)子減振的三要素吸振器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方面的問題，驗證差分進化法在吸振器參數(shù)優(yōu)化方面的優(yōu)越性，比較三要素吸振器和Voigt 吸振器對轉(zhuǎn)子振動的抑制效果，分析質(zhì)量比對吸振器參數(shù)和抑振效果的影響。

1 三要素吸振器及現(xiàn)有最優(yōu)參數(shù)公式

圖1 是含三要素吸振器的主系統(tǒng)系統(tǒng)的簡圖。圖中：m1、k1和c1分別為主系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼；m2、k3分別為動力吸振器的質(zhì)量和剛度；c2、k2分別為動力吸振器中串聯(lián)型黏彈性模型的阻尼和剛度；f為主系統(tǒng)所受的外部激勵。

圖1 含三要素吸振器的主系統(tǒng)簡圖Fig.1 Schematic of a main system with a threeelement absorber

因?qū)嶋H工程系統(tǒng)中一般存在阻尼，所以按照圖1（a）建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下：

關(guān)于三要素吸振器的最優(yōu)參數(shù)僅見通過固定點理論求得的三要素吸振器參數(shù)的解析解［11］，如表1所示。

表1 基于固定點理論的吸振器最優(yōu)參數(shù)Tab.1 Optimum parameters of vibration absorber based on fixed point theory

表1 中：νopt為最優(yōu)三要素吸振器與主系統(tǒng)固有頻率之比，簡稱最優(yōu)頻率比；ζopt為最優(yōu)三要素吸振器阻尼與主系統(tǒng)臨界阻尼之比，簡稱最優(yōu)阻尼比；μ為吸振器與主系統(tǒng)的質(zhì)量比；κopt為最優(yōu)三要素吸振器中k2與k3之比，簡稱最優(yōu)剛度比。

由于上述最優(yōu)參數(shù)是應(yīng)用于圖1（b）無阻尼單自由度主系統(tǒng)抑振的三要素吸振器的最優(yōu)參數(shù)，而轉(zhuǎn)子屬于連續(xù)體系統(tǒng)，且一般含有阻尼，按照表內(nèi)參數(shù)設(shè)計的吸振器未必具有最優(yōu)抑振效果，故本文擬使用差分進化法對該類吸振器參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計。

2 動力吸振器——轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)的動力學(xué)方程

本文研究的轉(zhuǎn)子模型為單跨懸臂轉(zhuǎn)子模型，利用有限元法將轉(zhuǎn)子進行離散，離散為N=12個節(jié)點，其中節(jié)點1和節(jié)點11為支承位置，如圖2所示。

圖2 單跨懸臂轉(zhuǎn)子模型Fig.2 Single-span cantilever rotor model

三要素吸振器為圓環(huán)形，安裝在轉(zhuǎn)子的節(jié)點7?？蓪⑥D(zhuǎn)子的位移分解為x、y兩個方向上的位移，故三要素吸振器的剛度和阻尼也可以分解為x、y兩個方向。每個節(jié)點的廣義坐標(biāo)為（x，y，θx，θy）。12個節(jié)點共48 個坐標(biāo)?；诖?，建立主系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

進一步建立主系統(tǒng)與三要素吸振器構(gòu)成的耦合系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

式中：F（t）為轉(zhuǎn)子的不平衡質(zhì)量造成的外部激勵；M4N、C4N、K4N分別為主系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；M0、C0、K0分別為耦合系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，其具體矩陣如下。

式中：ma、ka分別為吸振器的質(zhì)量和剛度；c、kb分別為串聯(lián)型黏彈性模型的阻尼和剛度；K′4N0為吸振器與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合后的交叉剛度。

令F(t)=F0eiωt，x=X0eiωt，則公式變?yōu)?/p>

由式（7）求解便可得到耦合系統(tǒng)的響應(yīng)。

3 差分進化算法

差分進化算法是由Storn 和Price 于1997 年提出的一種智能優(yōu)化算法。差分進化算法的基本思想是：隨機生成1 個初始種群，將種群中的個體進行目標(biāo)函數(shù)計算，得到初始最優(yōu)個體，在初始種群中任意選擇2 個個體求向量差并進行加權(quán)計算，得到的結(jié)果和第3 個個體相加得到新個體。計算新個體的目標(biāo)函數(shù)并和初始最優(yōu)個體的值進行比較，若新個體目標(biāo)函數(shù)值較優(yōu)則新個體取代原有個體，否則保留原有個體。通過不斷地變異擇優(yōu)，以優(yōu)良的個體代替原有個體，不斷向最優(yōu)值逼近［12］。

差分進化算法包括變異、交叉和選擇3 種基本操作。

3.1 變異操作

隨機生成NP個個體組成初始種群，每個個體為一矢量Y=（y1，y2，…，yn），n為具體問題的參數(shù)數(shù)量，在初始種群中隨機選擇2 個父代Yi、Yj，其差分為

式中：i、j分別為不相同的整數(shù)，代表初始種群的不同個體。

將式（8）中得到的差分乘以1 個縮放因子，再加上另1 個隨機選擇的個體，便完成了變異操作。從初始種群中任意取一個矢量為目標(biāo)矢量Ya，得到其相應(yīng)的變異矢量Za的操作為

式中：Yi、Yj、Yk分別代表不同種群個體，再加上目標(biāo)個體Ya，差分進化算法的種群規(guī)模NP≥4；G為縮放因子，取值范圍為［0，2］，用來控制差分的縮放程度。

3.2 交叉操作

對于種群中的目標(biāo)矢量Ya，將與變異矢量Za交叉操作產(chǎn)生實驗矢量Z′a。為了保證個體會發(fā)生進化，新生成的實驗矢量個體Z′a中至少有1位是由變異矢量Za提供的，而對于其他位可通過1個交叉概率因子來決定，由目標(biāo)矢量Ya提供或者由變異矢量Za來提供。交叉操作的公式為

式中：rand（η）∈［0，1］為一均勻分布的隨機數(shù)；η為個體矢量第幾個基因（參數(shù)）；CR為交叉概率因子，其取值范圍為［0，1］；randn（i）為種群個體矢量的維數(shù)隨機索引，即randn（i）∈［1，2，…，n］，n為個體矢量的維數(shù)（具體問題的參數(shù)數(shù)量），以保證實驗矢量Z′a中至少有1位是由變異矢量Za提供的。

由式（10）可知，CR越大，變異矢量Za對實驗矢量Z′a的貢獻越多，當(dāng)CR=1時，Z′a=Za，算法具有更快的局部搜索和加速收斂速率；當(dāng)CR=0 時，實驗矢量Z′a除第randn（i）位數(shù)之外全部來自目標(biāo)矢量Ya，有利于保持種群多樣性和全局搜索。

3.3 選擇操作

經(jīng)過變異和交叉操作得到的實驗矢量Z′a與目標(biāo)矢量Ya代入目標(biāo)函數(shù)，比較兩者的目標(biāo)函數(shù)值保留更優(yōu)矢量，完成差分進化。以涉及的最小優(yōu)化問題為例，選擇操作公式：

4 仿真分析

4.1 仿真參數(shù)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各個軸段的參數(shù)如表2 所示。轉(zhuǎn)子兩支撐端的剛度和阻尼分別為kz=1×108N/m，cz=7×105N·s/m。質(zhì)量偏心距為me=1×10-5kg·m。

表2 轉(zhuǎn)子軸段單元參數(shù)Tab.2 Parameters of rotor shaft segment element

4.2 算法對比仿真結(jié)果

基于差分進化算法的原理，使用Matlab 對動力吸振器的最優(yōu)值進行求解。設(shè)置初始種群數(shù)量NP=30，變量維數(shù)為3，縮放因子G=0.5，交叉概率因子CR=0.8，適應(yīng)度函數(shù)為式（7），其中三要素吸振器安裝在7點，觀測點也設(shè)置在7點，吸振器與主系統(tǒng)的質(zhì)量比μ=0.1。 將差分進化算法（Differential Evolution Algorithm，DE）、粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）、人工蜂群優(yōu)化算法（Artificial Bee Colony，ABC）和量子進 化 算法（Quantum Evolutionary Algorithm，QEA）進行優(yōu)化后得到的最優(yōu)結(jié)果進行對比。

圖3 為多個智能優(yōu)化算法的迭代速度對比圖。由圖可知，差分進化算法具有較快的收斂速度，有更大機率跳出局部最優(yōu)值尋到全局最優(yōu)解，且計算精度更高。

圖3 智能優(yōu)化算法迭代收斂圖Fig.3 Iterative convergence graph of intelligent optimization algorithm

分別使用本文優(yōu)化方法和固定點理論，求得三要素吸振器最優(yōu)參數(shù)，如表3所示。

表3 三要素吸振器最優(yōu)參數(shù)Tab.3 Optimum parameters of the three - element dynamic vibration absorber

圖4為分別附加上表2個參數(shù)吸振器的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。對比可知，利用差分進化法優(yōu)化的吸振器使轉(zhuǎn)子具有更低的兩等高的共振幅值。

圖4 固定點理論與智能優(yōu)化算法的最優(yōu)參數(shù)模型振幅Fig.4 Optimum parameter model amititude of fixed point theory and intelligent optimization

4.3 三要素吸振器與Voigt吸振器抑振性能對比

使用差分進化法對Voigt 動力吸振器參數(shù)進行迭代搜索，優(yōu)化迭代參數(shù)、吸振器安裝位置和質(zhì)量比與4.2 小節(jié)中相同。圖5 為安裝2 種吸振器的轉(zhuǎn)子的幅頻響應(yīng)曲線。圖中可見，三要素吸振器抑振效果優(yōu)于Voigt 吸振器，轉(zhuǎn)子共振幅值小3.15%。

圖5 頻幅曲線Fig.5 Frequency-amplitude curve

圖6為2種吸振器的減振頻寬對比圖。圖中可見，在吸振器放大率B（指主系統(tǒng)按照吸振器前后響應(yīng)幅值之比）為0.7時，三要素吸振器的減振頻寬大于Voigt 吸振器（約寬9%），表明前者在更大頻率范圍內(nèi)具有良好的抑振效果。

圖6 減振頻寬Fig.6 Damfrequency width

4.4 參數(shù)分析

分別利用固定點理論和差分進化法求解三要素吸振器的最優(yōu)參數(shù)，并對不同質(zhì)量比的吸振器最優(yōu)參數(shù)進行對比，如圖7 所示。在任意質(zhì)量比下使用差分進化法設(shè)計的三要素吸振器比直接使用固定點理論得到的三要素吸振器具有更好的減振效果。同時可知，隨著質(zhì)量比的增加，最優(yōu)振幅放大率隨之變小，三要素吸振器的抑振效果變優(yōu)。

圖7 不同質(zhì)量比時吸振器的振幅放大率Fig.7 Amplitude amplification rate of vibration absorber at different mass ratios

在任意質(zhì)量比條件下，使用差分進化法設(shè)計的三要素吸振器，比使用固定點理論得到的頻率比、剛度比和阻尼比更大。隨著質(zhì)量比的增加，三要素吸振器的最優(yōu)頻率比不斷減小，最優(yōu)剛度比和阻尼比不斷增大，如圖8所示。

圖8 不同質(zhì)量比時吸振器最優(yōu)參數(shù)Fig.8 Optimum parameters of vibration absorber at different mass ratios

5 結(jié)論

（1）本文使用差分進化法對三要素吸振器進行了參數(shù)優(yōu)化，得到具有最佳減振效果的三要素吸振器。將差分進化法、粒子群優(yōu)化算法、人工蜂群優(yōu)化算法和量子進化算法進行比較，差分進化法在解決此問題時具有更快的收斂速度，并能得到更優(yōu)解。

（2）對三要素吸振器的減振效果進行參數(shù)分析，并將結(jié)果和Voigt 吸振器進行了比較，結(jié)果表明：附加有三要素吸振器的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的最大振幅減小了3.15%，減振頻寬增加了9%。

（3）用差分進化法設(shè)計的三要素吸振器比使用固定點理論設(shè)計的三要素吸振器在不同質(zhì)量比條件下都具有更好的減振效果。隨著質(zhì)量比的增加，三要素吸振器的最優(yōu)頻率比不斷減小，最優(yōu)剛度比和阻尼比不斷增大。