陳文瓊， 梅中磊

(蘭州大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 蘭州 730000)

將Matlab引入“電磁場(chǎng)與電磁波”教學(xué)中，有助于將抽象復(fù)雜的電磁場(chǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀簡(jiǎn)單的可視化圖像，從而更清晰地獲得電磁場(chǎng)的空間分布，加深對(duì)抽象電磁概念的理解[1]。力線是為直觀表示空間場(chǎng)分布而人為引入的一簇有向曲線，這些曲線上任意一點(diǎn)的切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)的場(chǎng)的方向，而曲線的疏密程度則表示該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)度的大小[2]。力線對(duì)于理解電場(chǎng)或磁場(chǎng)的空間分布情況具有重要的輔助功能。結(jié)合Matlab強(qiáng)大的計(jì)算功能，利用“描點(diǎn)法”繪制得到力線分布，通俗易懂，簡(jiǎn)便快速，且具有普適性，是繪制和研究電力線、磁力線的有效手段。

1 “描點(diǎn)法”繪制力線

基于Matlab的電磁場(chǎng)可視化方法主要包括利用流線圖繪制函數(shù)streamline，二維向量場(chǎng)繪制函數(shù)quiver，及數(shù)值求解或解析求解力線方程來(lái)繪制力線。其中，利用quiver函數(shù)和streamline函數(shù)繪制力線程序簡(jiǎn)單，運(yùn)行速度快；而數(shù)值法或解析法對(duì)于給定力線繪制范圍時(shí)適用，但耗時(shí)較長(zhǎng)[3]。本文首先提出了一種通用的電磁場(chǎng)可視化方法——“描點(diǎn)法”，即在電場(chǎng)或磁場(chǎng)已知的情況下，通過(guò)逐步描點(diǎn)的方法繪制力線，以直觀顯示電磁場(chǎng)的空間分布。

(1)

圖1 “描點(diǎn)法”繪制力線示意

2 電偶極子的電力線

2.1 電偶極子的電場(chǎng)分布

電偶極子是由兩個(gè)距離很近且等量異號(hào)的點(diǎn)電荷所組成的帶電體系。對(duì)于由兩個(gè)等量異號(hào)的點(diǎn)電荷組成的電偶極子系統(tǒng)[2]，假設(shè)兩電荷相距為2a，建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，則通過(guò)分析可以獲得該電偶極子系統(tǒng)在空間某點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。由庫(kù)侖定律可得，兩點(diǎn)電荷在空間一點(diǎn)P(x,y)所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小分別為：

(2)

(3)

單位矢量的表達(dá)式為：

(4)

圖2 電偶極子系統(tǒng)示意

2.2 “描點(diǎn)法”繪制電力線

獲得了電偶極子在場(chǎng)點(diǎn)P處所產(chǎn)生的沿x和y方向的場(chǎng)強(qiáng)分量后，根據(jù)“描點(diǎn)法”即可得到該系統(tǒng)的電力線分布情況。假設(shè)兩電荷之間的距離為2a=2，電力線起始點(diǎn)位于以Q2為圓心、半徑a0=0.1a的圓上，取θ=0:π/6:2π為電力線起始點(diǎn)角度間隔，則可得每條電力線的起始點(diǎn)坐標(biāo)為x(0)=-a+a0sin(θ)，y(0)=a0cos(θ)。根據(jù)式(3)中電偶極子系統(tǒng)電場(chǎng)的表達(dá)式，可以計(jì)算得到電力線起始點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小(Ex和Ey)，由式(4)得該點(diǎn)的電場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的單位矢量(eEx和eEy)；沿著該單位矢量的方向移動(dòng)Δl=a/1000的距離到另一點(diǎn)，同樣計(jì)算得到該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小及電場(chǎng)的單位矢量；不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直至獲得一條完整的電力線，如圖3(a)所示。而三維立體電力線是由平面內(nèi)電力線繞x軸旋轉(zhuǎn)一定的角度形成的[4]，因此在通過(guò)“描點(diǎn)法”繪制得到二維的電力線之后，將電力線坐標(biāo)[x(i),y(i)]按一定的角度向量φ=0:π/3:2π繞x軸旋轉(zhuǎn)，形成新的三維電力線的坐標(biāo)：XX=x*ones(size(φ))，YY=y*sin(φ)，ZZ=y*cos(φ)。利用Matlab中的三維繪圖命令plot3(XX,YY,ZZ)即可得到該系統(tǒng)的三維立體電力線分布，如圖3(b)所示。與ode45函數(shù)求解電力線方程相比，利用“描點(diǎn)法”繪制電力線的方法耗時(shí)更短，且易于編程[3]。

(a) 二維情況 (b) 三維情況圖3 “描點(diǎn)法”繪制電偶極子電力線分布

3 磁偶極子的磁力線

3.1 磁偶極子的磁場(chǎng)分布

(5)

(6)

利用基矢之間的關(guān)系對(duì)式(6)做化簡(jiǎn)，即

(7)

進(jìn)一步有

(8)

其中，k2=4arsinθ/r2+a2+2arsinθ。

上式即為載流環(huán)周圍所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的具體表達(dá)式。式中的K和E表示第一、二類完全橢圓積分[5]。

圖4 磁偶極子示意

3.2 “描點(diǎn)法”繪制磁力線

圖5利用“描點(diǎn)法”繪制了磁偶極子的磁力線分布。假設(shè)載流環(huán)的半徑為a=1，取磁力線的起始位置分別為r=10-5a(近似為載流環(huán)中心)，r=0.3a，r=0.6a，r=0.8a，r=0.9a，θ=π/2，φ'=±π/2。以距離載流環(huán)中心r處作為繪制磁力線的起始點(diǎn)，由磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式獲得該點(diǎn)的磁場(chǎng)大小及對(duì)應(yīng)的單位矢量，沿著磁場(chǎng)的方向移動(dòng)Δl=a/1000的距離到空間另一點(diǎn)，循環(huán)整個(gè)過(guò)程直至獲得一條完整的磁力線。該方法完美地解決了數(shù)值求解磁力線方程中遇到的仿真步長(zhǎng)設(shè)置不合理導(dǎo)致求解不充分的問(wèn)題，能夠一次性得到磁偶極子完整的磁力線分布圖[6]。

圖5 磁偶極子磁力線分布

4 矩形波導(dǎo)端面的力線分布

矩形波導(dǎo)是橫截面為矩形的空心金屬波導(dǎo)管。如果能夠形象直觀地將電力線或者磁力線以立體形式繪制在波導(dǎo)的表面，對(duì)于理解波的傳播大有好處?！懊椟c(diǎn)法”即可完成這項(xiàng)任務(wù)。當(dāng)波導(dǎo)中傳播TE波時(shí)，電場(chǎng)分量位于垂直于波導(dǎo)傳播方向的橫截面內(nèi)(Ez=0)。利用“縱向場(chǎng)法”可以得到矩形波導(dǎo)TE波的場(chǎng)分布表達(dá)式為[2]：

(9)

以TE11模式為例，利用“描點(diǎn)法”繪制得到其電力線和磁力線的分布。如圖6所示。其中xy平面給出了電力線示意圖；yz、xz平面給出了磁力線分布。

圖6 矩形波導(dǎo)TE11波的力線分布

從圖6中可以觀察得到，矩形波導(dǎo)TE模式中場(chǎng)分布的特征為：電力線終止于波導(dǎo)壁，并總是垂直于波導(dǎo)壁；磁力線呈閉合曲線，并在波導(dǎo)壁的附近與壁平行；此外電力線以波導(dǎo)橫截面的中心軸線x=a/2，y=b/2為對(duì)稱軸呈對(duì)稱分布。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了“描點(diǎn)法”繪制力線的方法，并在Matlab中繪制得到了電偶極子、磁偶極子力線的二維和三維分布圖以及矩形波導(dǎo)TE11波對(duì)應(yīng)的力線分布。在保證一定精度的前提條件下，通過(guò)逐步“描點(diǎn)”的方法繪制力線，具有程序簡(jiǎn)單，執(zhí)行速率高的優(yōu)點(diǎn)。其次，利用“描點(diǎn)法”可以克服求解力線方程無(wú)法獲得系統(tǒng)邊界處數(shù)值解的問(wèn)題，從而獲得完整的電力線和磁力線分布圖?；贛atlab仿真軟件可更加直觀形象地顯示電磁場(chǎng)的空間分布規(guī)律，將抽象的電磁場(chǎng)可視化、形象化，從而加深了大家對(duì)復(fù)雜電磁概念的理解。