范海倫， 祖洪飛， 向 忠， 彭來(lái)湖

(浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院， 浙江 杭州 310018)

多維位姿測(cè)量[1]系統(tǒng)是保證機(jī)械手定位及軌跡精度的關(guān)鍵裝置，傳統(tǒng)的多維位姿測(cè)量多是通過多個(gè)單自由度位移傳感器或編碼器[2-3]來(lái)實(shí)現(xiàn)的，測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，成本高，且容易產(chǎn)生多軸累積誤差，難以滿足精密位移測(cè)量的需求。因此，迫切需要一種精度高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的單體集成多維位姿傳感器。通過測(cè)試對(duì)比，最終選取聚氨酯作為彈性體軟軸的材料，在進(jìn)一步研究該傳感器傳感特性的過程中，要對(duì)彈性體的運(yùn)動(dòng)及形變情況進(jìn)行分析。由于聚氨酯為非線性材料，很難通過直接計(jì)算得到精確的解析解，因此通常需要借助仿真工具進(jìn)行分析，而進(jìn)行仿真分析的前提是要得到該材料的超彈性本構(gòu)模型。本構(gòu)模型描述了彈性體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，而其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是最終得到該傳感器應(yīng)變-位移關(guān)系的基礎(chǔ)及核心，因此獲得合適的超彈性本構(gòu)模型就成為研究該傳感器的關(guān)鍵所在。

對(duì)于彈性體材料的本構(gòu)模型，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，并提出了多個(gè)模型：魏志剛等[4]基于彈性體的第1、第3主伸長(zhǎng)率提出了一種新的本構(gòu)模型，該模型對(duì)初始參數(shù)依賴小，只需通過試驗(yàn)就能獲得較為可靠的模型參數(shù)，但該試驗(yàn)需構(gòu)建特定的主坐標(biāo)系，具有一定的局限性；馮希金等[5]針對(duì)未硫化橡膠，結(jié)合單軸拉壓與剪切試驗(yàn)，使用Yeoh 應(yīng)變能函數(shù)的廣義Maxwell黏超彈性模型對(duì)未硫化橡膠進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)該模型可以較好地描述未硫化橡膠的參數(shù)特征，為以后研究未硫化橡膠提供了一種新的思路；劉高沖等[6]對(duì)聚氨酯彈性體進(jìn)行了靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的單軸壓縮試驗(yàn)，最終得到了聚氨酯彈性體與應(yīng)變率相關(guān)本構(gòu)模型，從而可以較好地描述應(yīng)變率對(duì)聚氨酯彈性體的影響。上述文獻(xiàn)對(duì)各種橡膠材料在不同的溫度及不同的應(yīng)變幅值下的本構(gòu)模型進(jìn)行了研究分析，但都是對(duì)彈性體應(yīng)力-伸長(zhǎng)比之間的關(guān)系進(jìn)行研究，沒有深入探討應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

課題組以聚氨酯彈性體作為傳感器彈性元件進(jìn)行研究，研究了聚氨酯彈性體壓縮狀態(tài)下的本構(gòu)模型，由于篇幅有限對(duì)于彎曲以及拉伸暫時(shí)不做研究。以圓柱狀聚氨酯彈性體壓縮試樣為研究對(duì)象，在不同的應(yīng)變率下對(duì)試樣進(jìn)行循環(huán)加載；然后，采用多種超彈性本構(gòu)模型對(duì)其加載曲線的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行擬合，對(duì)比分析各本構(gòu)模型的擬合精度，選取最合適的本構(gòu)模型。

1 彈性體材料本構(gòu)模型

與金屬材料的線彈性不同，聚氨酯等彈性體橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系呈非線性變化，該類材料發(fā)生大變形后可以恢復(fù)原始狀態(tài)，即變形可逆，因此可以看作超彈性材料，并且可以認(rèn)為它們各向同性，對(duì)于此類材料，它們的應(yīng)變能函數(shù)可表示為：

W=W(I1,I2,I3)。

(1)

式中：I1,I2,I3分別為Cauchy-Green變形張量的第1，第2，第3基本不變量。

超彈性材料的柯西應(yīng)力張量可以表示為：

(2)

式中：p為靜水壓力，I為單位張量，B為變形張量。

對(duì)于單軸壓縮、拉伸，設(shè)伸長(zhǎng)率為λ，3個(gè)主伸長(zhǎng)率關(guān)系為λ1=λ，λ2=λ3=λ-1/2，又由于超彈性材料可以看作各向同性不可壓縮，所以I3=1。則：

(3)

將式(3)代入式(2)可推導(dǎo)出真實(shí)應(yīng)力

(4)

又因真實(shí)應(yīng)力σT與工程應(yīng)力σ滿足σT=λσ，則工程應(yīng)力

(5)

1.1 Mooney-Rivilin本構(gòu)模型

Rivilin在研究應(yīng)變能函數(shù)一般形式時(shí)，推導(dǎo)出了各向同性不可壓縮材料的應(yīng)變能函數(shù)

(6)

式中Cmn為常數(shù)，且滿足C00=0。

Mooney[7]在式(1)的基礎(chǔ)上，取其前2項(xiàng)，其他各項(xiàng)的Cmn=0,有：

W=C10(I1-3)+C01(I2-3)。

(7)

式(7)被稱為Mooney-Rivilin公式。將式(7)代入式(5)可求得Mooney-Rivilin模型應(yīng)力-伸長(zhǎng)率關(guān)系式：

(8)

伸長(zhǎng)率λ與應(yīng)變?chǔ)艥M足：λ=1+ε。式(8)整理后可寫為:

(9)

將式(9)進(jìn)行泰勒展開，因?yàn)棣抛畲鬄?.2，ε?ε4，因此酌情保留到展開式的三次項(xiàng)或者四次項(xiàng)。

(10)

則Mooney-Rivilin模型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式為:

σ=2C10(4ε3-3ε2+3ε)+2C01(10ε3-6ε2+3ε)。

(11)

Mooney-Rivilin模型廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代工程中，對(duì)拉伸不超過200%的橡膠材料試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有較好的擬合，但是研究發(fā)現(xiàn)其對(duì)壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合效果較差。

1.2 Yeoh本構(gòu)模型

在Mooney-Rivilin本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上，Yeoh[8]提出了3項(xiàng)應(yīng)變能函數(shù)，該應(yīng)變能函數(shù)只含有1個(gè)應(yīng)變張量不變量I1，而不含有第2應(yīng)變張量不變量I2，因此Yeoh本構(gòu)方程也被稱為減縮多項(xiàng)式方程。其應(yīng)變能函數(shù)

W=C10(I1-3)+C20(I1-3)2+C30(I1-3)3。

(12)

將式(12)代入式(5)可求得Yeoh模型應(yīng)力-伸長(zhǎng)率關(guān)系式,整理后得到應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式：

σ=2C10(4ε3-3ε2+3ε)+36C20ε3+54C30(-ε-1)。

(13)

因Yeoh模型不含有I2項(xiàng),但是含有I1的更高次項(xiàng)，所以其對(duì)中等及以上應(yīng)變具有較好的擬合效果，但是不能很好地描述等雙軸拉伸狀態(tài)。

1.3 Biderman本構(gòu)模型

Biderman[9]在Yeoh模型的基礎(chǔ)上增添了應(yīng)變張量不變量I2，試驗(yàn)結(jié)果表明：?jiǎn)屋S拉壓狀態(tài)下，相對(duì)于Yeoh模型，Biderman模型具有更好的擬合效果。其應(yīng)變能函數(shù)

W=C10(I1-3)+C20(I1-3)2+C30(I1-3)3+C01(I2-3)。

(14)

整理得到應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式：

σ=2C10(6ε5-5ε4+4ε3-3ε2+3ε)+2C01(21ε5-15ε4+10ε3-6ε2+3ε)+4C20(24ε5-15ε4+9ε3)+162C30ε5。

(15)

需要說明的是，由于最后一項(xiàng)C30系數(shù)展開式只有ε5，因此其他系數(shù)項(xiàng)皆保留到ε5。

1.4 Ogden本構(gòu)模型

Ogden[10]并沒有使用應(yīng)變張量不變量表述橡膠本構(gòu)的應(yīng)變能函數(shù)，而是使用主伸長(zhǎng)率來(lái)代替應(yīng)變張量不變量，這樣簡(jiǎn)化了描述應(yīng)變能函數(shù)。其應(yīng)變能函數(shù)

(16)

式中：i和n表示材料參數(shù)的項(xiàng)數(shù)；λi為主伸長(zhǎng)率；μi，αi分別為試驗(yàn)確定的材料常數(shù)。

Ogden模型對(duì)材料的各種變形皆有較好的擬合效果，但是工程中一般使用不超過4項(xiàng)展開式，因?yàn)槿舫^4項(xiàng)，其擬合參數(shù)過多，迭代時(shí)間增加，誤差增大，仿真困難。因此課題組選用Ogden模型3項(xiàng)展開式。工程應(yīng)力

(17)

2 試驗(yàn)方法與試樣

本試驗(yàn)所采用的聚氨酯壓縮試樣密度為1.2 g/cm3,邵氏硬度(90±2)A,直徑為20 mm，高度10 mm的圓柱體，試驗(yàn)使用WDW-5電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)，并參照GB/T7757—2009進(jìn)行。試驗(yàn)共制備5個(gè)壓縮試樣，分別對(duì)5個(gè)試樣進(jìn)行試驗(yàn)，取5次試驗(yàn)的平均值進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。

試驗(yàn)儀器與試驗(yàn)材料如圖1所示。課題組試驗(yàn)所用的工程應(yīng)變?yōu)?0%，分別進(jìn)行0.010 0，0.001 0，0.000 3 s-1的3種應(yīng)變率加載試驗(yàn)。試驗(yàn)先將測(cè)得的力-位移曲線轉(zhuǎn)化為應(yīng)力-應(yīng)變曲線，再對(duì)轉(zhuǎn)化后的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行本構(gòu)方程擬合。最終得到不同工況下的最優(yōu)循環(huán)加卸載本構(gòu)模型。

圖1 試驗(yàn)儀器與試驗(yàn)材料Figure 1 Test equipment and materials

彈性體材料在加載卸載時(shí)，其卸載應(yīng)力要遠(yuǎn)低于加載應(yīng)力，經(jīng)過多次循環(huán)加載、卸載，其應(yīng)力應(yīng)變曲線才會(huì)幾乎重合，這種現(xiàn)象就稱為Mullins[11]效應(yīng)。為消除Mullins效應(yīng)，得到穩(wěn)定加載曲線，需要在常溫下對(duì)試樣進(jìn)行多次循環(huán)加載試驗(yàn)，此處采用的工程應(yīng)變速率為0.001 0 s-1，最大工程應(yīng)變?yōu)?0%。

圖2所示為聚氨酯壓縮循環(huán)加載9次的力-位移曲線。加載過程中發(fā)現(xiàn)在第3次加載后力-位移曲線趨于穩(wěn)定，在第5次加載后力-位移曲線基本穩(wěn)定。獲取穩(wěn)定的加載力-位移曲線對(duì)于后續(xù)的彈性體受力分析和模型創(chuàng)建具有重要的意義，因?yàn)閺椥泽w在循環(huán)加載、卸載的工況下工作，若使用未消除應(yīng)力軟化的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析會(huì)導(dǎo)致模型誤差很大。因此，課題組在對(duì)試樣循環(huán)加載、消除Mullins軟化效應(yīng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行后續(xù)試驗(yàn)。

圖2 循環(huán)加載力-位移曲線Figure 2 Cyclic loading force-displacement curve

3 本構(gòu)模型的試驗(yàn)結(jié)果與分析

為獲得合適的超彈性模型以準(zhǔn)確地描述聚氨酯應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，課題組分別對(duì)Mooney-Rivilin,Yeoh，Biderman以及Ogden這4種模型，在不同應(yīng)變率下的數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合分析。首先將試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，在試驗(yàn)機(jī)上直接測(cè)得力-位移關(guān)系數(shù)據(jù)，并將其轉(zhuǎn)化為應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

(18)

(19)

式中：F為加載力，d為試樣直徑，l0為初始厚度，l1為變形后的厚度，s為試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的位移。

課題組沒有使用傳統(tǒng)的ABAQUS等仿真分析軟件對(duì)其進(jìn)行本構(gòu)模型擬合，而是使用Origin專業(yè)繪圖軟件對(duì)其擬合。將試驗(yàn)數(shù)據(jù)整理后導(dǎo)入繪圖軟件中，使用非線性擬合將前文本構(gòu)模型的應(yīng)力-應(yīng)變公式輸入其中，實(shí)現(xiàn)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合。試驗(yàn)得到應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3所示。

圖3 壓縮加載應(yīng)力-應(yīng)變曲線Figure 3 Compressive loading stress-strain curve

由圖3可見，試驗(yàn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)“S”型，符合超彈性物質(zhì)的性質(zhì)。在3種加載應(yīng)變率下，試驗(yàn)曲線形狀幾乎相同，在微小應(yīng)變下曲線重合。在相同的應(yīng)變下，隨著應(yīng)變率的增加聚氨酯彈性體受到的應(yīng)力增大。

3.1 Mooney-Rivilin本構(gòu)模型

如圖4(a)所示，Mooney-Rivilin模型對(duì)3種應(yīng)變率下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合偏離較遠(yuǎn)，尤其是在小應(yīng)變情況下，這與其對(duì)壓縮狀態(tài)擬合較差的結(jié)論相符。在0%～3%應(yīng)變范圍內(nèi)，擬合曲線呈現(xiàn)負(fù)值， 這與實(shí)際情況不符，且在應(yīng)變達(dá)到17%左右時(shí)擬合曲線有應(yīng)力減小的趨勢(shì)，這與試驗(yàn)數(shù)據(jù)持續(xù)上升的趨勢(shì)也相反。因此，我們認(rèn)為Mooney-Rivilin模型不能對(duì)本試驗(yàn)所用的壓縮狀態(tài)下的聚氨酯彈性體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行描述。

Mooney-Rivilin模型的擬合數(shù)據(jù)如表1所示。表1中C10為負(fù)值，而C01為正值，這與多數(shù)文獻(xiàn)中對(duì)其他彈性體材料的擬合結(jié)果相反，一般情況下C10為正值，而C01為負(fù)值，這進(jìn)一步說明了該模型不適合本試驗(yàn)中所使用的聚氨酯彈性體。

表1 Mooney-Rivilin模型擬合參數(shù)Table 1 Mooney-Rivilin model fitting parameters

3.2 Yeoh本構(gòu)模型

圖4(b)所示為Yeoh本構(gòu)模型應(yīng)力-應(yīng)變擬合結(jié)果，可以看出Yeoh本構(gòu)模型擬合效果明顯優(yōu)于Mooney- Rivilin本構(gòu)模型。當(dāng)應(yīng)變?yōu)?%～4%時(shí)，Yeoh本構(gòu)模型的應(yīng)力高于試驗(yàn)數(shù)據(jù)較多；當(dāng)應(yīng)變?yōu)?%～12%時(shí)，Yeoh本構(gòu)模型應(yīng)力逐漸接近試驗(yàn)數(shù)據(jù)；當(dāng)應(yīng)變?yōu)?2%～19%時(shí)，擬合效果最好。Yeoh本構(gòu)模型擬合參數(shù)如表2所示。不同于硅膠等硬度較小的彈性體，課題組所采用的聚氨酯彈性體硬度較大，擬合參數(shù)第1、第3項(xiàng)為負(fù)值，第2項(xiàng)為正值，因此中等應(yīng)變的擬合效果較好。

表2 Yeoh模型擬合參數(shù)Table 2 Yeoh model fitting parameters

3.3 Biderman本構(gòu)模型

Biderman本構(gòu)模型的擬合結(jié)果如圖4(c)所示，擬合參數(shù)如表3所示。可以發(fā)現(xiàn)，Biderman本構(gòu)模型在3種應(yīng)變率下對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合效果均非常好，這表明Biderman本構(gòu)模型能夠很好地描述聚氨酯彈性體的受力情況。其原因是相對(duì)于Yeoh本構(gòu)模型，Biderman本構(gòu)模型增加了應(yīng)變不變量I2項(xiàng)，參數(shù)也增加了C01項(xiàng)，因此不僅可以對(duì)小應(yīng)變更好地進(jìn)行描述，對(duì)中等應(yīng)變以及大應(yīng)變的契合程度也更高。

表3 Biderman模型擬合參數(shù)Table 3 Biderman model fitting parameters

3.4 Ogden本構(gòu)模型

Ogden本構(gòu)模型的擬合結(jié)果如圖4(d)所示，擬合參數(shù)如表4所示。由擬合效果可知，Ogden本構(gòu)模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合效果相對(duì)于Mooney-Rivilin、Yeoh這2種本構(gòu)模型為佳，僅次于Biderman模型。在應(yīng)變?yōu)?%～1%時(shí)，模型的應(yīng)力為負(fù)值，這點(diǎn)與試驗(yàn)不符。Ogden本構(gòu)模型對(duì)于試驗(yàn)試樣大于2%的應(yīng)變擬合效果較好。相對(duì)于前2種模型，Ogden本構(gòu)模型具有更好的擬合效果，這與Ogden本構(gòu)模型包含更多的參數(shù)有關(guān)，但因?yàn)镺gden本構(gòu)模型參數(shù)較多，所以其擬合所需要的收斂時(shí)間更長(zhǎng)，擬合參數(shù)的初始設(shè)定也更加繁瑣。

表4 Ogden模型擬合參數(shù)Table 4 Ogden model fitting parameters

卡方值表示試驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合曲線的相關(guān)程度，如果卡方值小于0.05，則說明雙方是顯著相關(guān)的，也就是說擬合結(jié)果是符合的?？ǚ街荡笥?，數(shù)值越小表明相關(guān)性越顯著，擬合效果越好。表5所示為4種模型擬合參數(shù)的卡方值對(duì)比，可以很明顯地看出這4種模型在3種應(yīng)變率下的擬合效果， Mooney-Rivilin和Yeoh 2種模型卡方值均大于0.05，不符合要求。Biderman模型與Ogden模型3種應(yīng)變率下的卡方值均小于0.05，試驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合曲線顯著相關(guān)，這2種模型卡方值對(duì)比可以看出相同應(yīng)變率下Biderman模型卡方值更小，相關(guān)性更顯著，擬合程度也就更好。

表5 4種模型擬合參數(shù)卡方值Table 5 Chi-square values of four-modelfitting parameters

4 結(jié)論

課題組使用電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)對(duì)聚氨酯彈性體進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)下壓縮試驗(yàn)。對(duì)預(yù)處理試樣進(jìn)行不同應(yīng)變率的壓縮加載試驗(yàn)，將得到的數(shù)據(jù)處理之后導(dǎo)入專業(yè)繪圖工具，最后利用4種本構(gòu)模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合對(duì)比分析，可以得到如下結(jié)論：

1) 聚氨酯類彈性體具有應(yīng)力軟化效應(yīng)，若要得到準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，需要多次循環(huán)加載以消除Mullins效應(yīng)。

2) Mooney-Rivilin本構(gòu)模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合效果很差；Yeoh本構(gòu)模型在小形變偏離較大而中等形變狀態(tài)下擬合稍有偏離；擁有6個(gè)參數(shù)的Ogden本構(gòu)模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合效果較好，但由于參數(shù)較多，收斂時(shí)間增大且初始值設(shè)定較為麻煩；對(duì)該試樣擬合效果最好的是Biderman本構(gòu)模型，不僅擬合程度最佳，并且參數(shù)數(shù)量適中，該模型能夠很好地描述聚氨酯單軸壓縮加載狀態(tài)下的力學(xué)行為。

3) 本研究應(yīng)力-應(yīng)變曲線的擬合為后續(xù)材料的仿真建模提供了可靠的前提條件以及對(duì)進(jìn)一步研究聚氨酯材料的熱力學(xué)行為和黏彈性行為提供了一定的參照。