許學(xué)艷
(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 桂林 541004)
假設(shè)Xt服從以下復(fù)合poisson跳躍-擴(kuò)散模型過(guò)程
Wt是標(biāo)準(zhǔn)brown運(yùn)動(dòng),μt和σt分別稱(chēng)為方程的漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng),其中擴(kuò)散項(xiàng)亦為價(jià)格過(guò)程的瞬時(shí)波動(dòng)率。是一個(gè)強(qiáng)度為λ的poisson過(guò)程,表示[0,T]上發(fā)生跳躍的次數(shù),τi表示第i次發(fā)生跳躍的時(shí)間,Cτi表示在τi處跳躍的大小。
在有限區(qū)間[0,T]上獲得n+1個(gè)Xt的離散等距觀察值Xt0,Xt1,…,Xtn-1,Xtn,其中0=t0
而Kristensen(2010)[1]給出了核權(quán)積分波動(dòng)率的估計(jì)
這里Kh(x)=K(x/h)/h,K(x)是核函數(shù),h為窗寬。當(dāng)h→0時(shí),有
Lu(2010)[2]利用鞍點(diǎn)逼近方法對(duì)Black-Scholes模型的積分波動(dòng)率的二階變差估計(jì)量的估計(jì)誤差進(jìn)行分析,得到了相對(duì)于中心極限定理更為精細(xì)的結(jié)果。而對(duì)跳躍-擴(kuò)散模型,為了估計(jì)核權(quán)平滑波動(dòng)率,利用二次冪變差方法定義一種核權(quán)平滑波動(dòng)率估計(jì)(Kernel-weighted-Smoothing-Volatility-Estimation)
Ying(2019)[3]證明了核權(quán)平滑波動(dòng)率估計(jì)的弱相合性和漸近正態(tài)性,并得到了弱相和性的收斂速度,且核權(quán)平滑波動(dòng)率估計(jì)的弱相合性的收斂速度快于核權(quán)瞬時(shí)波動(dòng)率估計(jì)的弱相合性的收斂速度。本文繼續(xù)在Ying(2019)[3]提出的條件下,對(duì)核權(quán)平滑波動(dòng)率估計(jì)的強(qiáng)相合性進(jìn)行研究,利用矩不等式的方法證明了此估計(jì)量的強(qiáng)相合性。
為了給出本文的結(jié)論,我們有如下基本假設(shè)條件:
假設(shè)A.1 {μt,σt}與{Wt,Jt}相互獨(dú)立,且{Wt}與{Jt}獨(dú)立。
假設(shè)A.2 μt和σt在[0,T]上有界且可積,{σt}有非零下界,且滿足 E|σs2-σt2|≤C|s-t|r,其中r>0。
假設(shè)A.3 核函數(shù)K(u)滿足∫K(u)du=1,∫|K(u)|du<∞,且 |K(u)-K(υ)|≤L|u-υ|,u,υ∈R,其中L>0是常數(shù)。
定理 假設(shè)(A.1)~(A.3)成立,若σt2在τ連續(xù),則有
在證明定理之前,我們先引進(jìn)一些記號(hào)和引理。記
引 理1(矩 不 等 式)[4]假 設(shè){Xj:j≥1}是 獨(dú) 立 隨 機(jī) 變 量 序 列,且E(Xj)=0,E|Xj|r<∞(? j≥1),其 中>0。則存在一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù),使得
引理2[3]假設(shè)(A.1)~(A.3)成立,則對(duì)h→0有
引理3[3]假設(shè)(A.1)~(A.3)成立,則對(duì)h → 0有
定理的證明:顯然
由引理3知,為了證明(1)式,我們只需要證明
而
對(duì)A(x),由中值定理,存在
對(duì)B(x),我們有
利用核函數(shù)的條件
因?yàn)閧Ui,i≥1}是獨(dú)立同分布和U1~N(0,1),我們有所以,對(duì)任意實(shí)數(shù)r≥2,我們有
因?yàn)閚h2→∞,因此我們有h-1≤n12,所以當(dāng)n充分大時(shí),可得
對(duì)給定的ε>0,r>2,由Markov不等式和矩不等式有
取r>4,知
從而完成了定理的證明。