夏 雪

一、前言

馬科維茨投資組合模型，是投資學(xué)中一種重要的科學(xué)理論模型。它通過對(duì)所有資產(chǎn)的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，在保證風(fēng)險(xiǎn)水平不變的同時(shí)獲取最高的收益，為投資人提出了具有科學(xué)依據(jù)的量化資產(chǎn)配置的方案。本文以馬科維茨模型為理論基石，借助Matlab 的Portfolio 金融工具箱，選取匯添富上證綜合指數(shù)基金中具有市場(chǎng)代表性價(jià)值的4 支股票展開案例分析，采用2017 年1 月1 日—2021 年8 月1 日的日頻收盤價(jià)數(shù)據(jù)，構(gòu)建均值—方差模型和投資組合有效邊界模型，計(jì)算出夏普比率最大的股票投資組合，實(shí)證檢驗(yàn)馬科維茨模型在股票投資中的作用。

二、相關(guān)理論分析

（一）馬科維茨模型的基本原理

1952 年，Markowith 首次提出利用均值—方差模型量化計(jì)算投資者的資產(chǎn)組合問題。該模型利用概率論的基本思想，假定所有資產(chǎn)的收益呈正態(tài)分布，用資產(chǎn)收益的歷史均值衡量投資回報(bào)率，用資產(chǎn)收益的歷史方差衡量投資風(fēng)險(xiǎn)[1]。這樣資產(chǎn)選擇問題就被轉(zhuǎn)化為能定量測(cè)算的二次投資規(guī)劃問題。這就是馬科維茨投資組合理論的基本原理。

股票收益的協(xié)方差代表股票收益情況的相關(guān)程度。協(xié)方差為0 時(shí)，說明幾支股票的收益不相關(guān)。協(xié)方差為正時(shí)，說明幾支股票收益呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，協(xié)方差越大，正相關(guān)性越強(qiáng)，一賠俱賠，不利于分散投資風(fēng)險(xiǎn)；協(xié)方差為負(fù)時(shí)，說明幾支股票收益呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，有利于分散投資風(fēng)險(xiǎn)。

我們希望在投資組合中看到有賠有贏的情況，盡量避免一賠俱賠。因此選擇股票時(shí)應(yīng)盡量選擇相關(guān)度低的股票[4]。

（二）馬科維茨模型的假設(shè)條件

（1）證券市場(chǎng)是有效的，即證券價(jià)格能即時(shí)準(zhǔn)確地反應(yīng)市場(chǎng)信息，所有交易者獲得的投資信息沒有差異性；

（2）市場(chǎng)上沒有交易成本和稅收，每個(gè)投資者都可以自由進(jìn)出市場(chǎng)不受限制；

（3）投資者是理性的。所有投資人都是風(fēng)險(xiǎn)回避者；

（4）投資人只根據(jù)投資組合的收益率和風(fēng)險(xiǎn)做判斷，投資者了解不同資產(chǎn)的收益情況；

（5）所有資產(chǎn)的收益率都是不確定的，不同資產(chǎn)的收益之間具有相關(guān)性。

（三）馬科維茨模型的建立

基于上述假設(shè)條件，馬科維茨建立了計(jì)算有效投資組合的均值—方差模型。

模型如下：

限制條件：

其中，rp為股票組合的收益，ri、rj分別是第i、j 支股票的收益率，xi、xj為股票i、j 的投資權(quán)重，σ2（rp）為組合的投資方差（表示該投資組合的投資風(fēng)險(xiǎn)），Cov（ri，rj）是兩支股票之間的協(xié)方差。

上式的理論意義是，當(dāng)設(shè)定好投資組合的預(yù)期收益率后，可以使用上式算出風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合。不同的期望收益率對(duì)應(yīng)不同的投資組合和不同的最小方差，這就形成了預(yù)期收益率最大和風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合。

（四）夏普比率

夏普比率是Sharp 在馬科維茨模型的理論基礎(chǔ)上發(fā)展出來的，是衡量投資組合有效性的重要指標(biāo)。它衡量的是投資者每多承擔(dān)一單位的風(fēng)險(xiǎn)，可以獲得的超額投資收益率[2]。夏普比率的計(jì)算公式如下：

E（Rp）代表投資組合的預(yù)期收益率，Rf代表無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資收益率，兩者之差代表的是風(fēng)險(xiǎn)投資的超額收益率。σ 是投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差，代表投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。

夏普比率值越大，表明投資組合單位風(fēng)險(xiǎn)上的超額收益越高，更具有投資價(jià)值[3]。本文實(shí)證部分將使用夏普比率衡量資產(chǎn)投資組合的有效性，用Matlab 找出有效前沿曲線上的最大夏普比率點(diǎn)，作出資產(chǎn)配置線。

三、實(shí)證分析

（一）實(shí)證假設(shè)

根據(jù)中國(guó)股票市場(chǎng)的實(shí)際情況以及理論分析的方便，本文實(shí)證研究作出以下假設(shè)：

（1）馬科維茨模型的預(yù)設(shè)條件：

資本市場(chǎng)完全有效，投資者的交易成本為0，并可以自由選擇交易的資金份額；投資者完全依據(jù)投資組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差作投資決策；投資者是報(bào)酬不厭足的，同樣的風(fēng)險(xiǎn)下，會(huì)選擇期望收益率更高的投資組合；投資者屬于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避類型。

（2）賣空約束：依據(jù)中國(guó)股票市場(chǎng)的交易機(jī)制，假設(shè)不允許賣空。

（3）不考慮轉(zhuǎn)股對(duì)報(bào)酬率的影響。

（二）樣本選取

本文選取的是匯添富上證綜合指數(shù)基金中具有代表性的4 支股票。貴州茅臺(tái)（600519），農(nóng)業(yè)銀行（601288），中國(guó)石油（601857），海天味業(yè)（603288）。

本文中用到的資產(chǎn)價(jià)格數(shù)據(jù)來源于國(guó)泰君安數(shù)據(jù)庫(kù)，選取2017 年1 月1 日至2021 年8 月1 日總計(jì)1114 個(gè)交易日的股票日收盤價(jià)。期間中國(guó)證券市場(chǎng)既有持續(xù)上升，也有持續(xù)低迷。因此選擇在這一樣本區(qū)間內(nèi)開展實(shí)證研究，有很大的典型意義[5]。

（三）基于Matlab 的實(shí)證分析

本文將收集的4 支股票的日收盤價(jià)作為資產(chǎn)價(jià)格，首先利用price2ret 函數(shù)將資產(chǎn)價(jià)格轉(zhuǎn)化為資產(chǎn)的投資收益率，得到4 支股票的資產(chǎn)列表。

1.股票期望收益率與協(xié)方差矩陣的獲取。利用Matlab的金融工具箱創(chuàng)建portfolio 對(duì)象，利用portfolio 中的工具，得到4 支股票的期望收益率和協(xié)方差矩陣。

4 支股票的相關(guān)系數(shù)矩陣如表1 所示。從表1 中可以看出，每?jī)芍Ч善遍g的相關(guān)系數(shù)均小于1，且比較接近0?？梢哉f明4 支股票的相關(guān)性很弱，出現(xiàn)一賠懼賠的幾率較小。因此同時(shí)投資這四種股票，可以幫助投資者有效分散風(fēng)險(xiǎn)。

表1 相關(guān)系數(shù)矩陣

2.有效前沿曲線的構(gòu)建。將4 支股票的期望收益率和方差設(shè)定到投資組合優(yōu)化問題中，并限制所有資產(chǎn)的比例和為1，對(duì)4 支股票進(jìn)行投資組合優(yōu)化[6]。

橫軸代表股票的風(fēng)險(xiǎn)（收益率的標(biāo)準(zhǔn)差），縱軸代表股票的收益（收益率），可視化各項(xiàng)資產(chǎn)的期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)，即可作出有效前沿曲線，如下圖3 所示，藍(lán)色曲線是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效前沿曲線，曲線上每個(gè)點(diǎn)都代表一個(gè)有效的投資組合。

3.包含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效邊界曲線的構(gòu)建。在現(xiàn)實(shí)的投資問題中，為保證一定的收益，投資者往往也會(huì)投資無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。本文將無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率設(shè)置為0.015，通過連接無風(fēng)險(xiǎn)利率資產(chǎn)點(diǎn)和有效邊界曲線上的點(diǎn)，可得到不同的資產(chǎn)配曲線，最優(yōu)的資產(chǎn)配線是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)點(diǎn)在有效邊界曲線上的切線，切點(diǎn)為最大夏普比率點(diǎn)。

如圖1 所示，Cash 表示無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)點(diǎn)；Sharp Ratio表示最大夏普比率點(diǎn)；CAL 是最優(yōu)的資本配置線，表示投資組合和收益率風(fēng)險(xiǎn)的線性關(guān)系，它和有效邊界曲線的切點(diǎn)即為最大夏普比率點(diǎn)。

圖1 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的資本配置線

4.根據(jù)目標(biāo)收益率和風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)建。投資組合作出無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合的有效邊界曲線，如圖2所示。并計(jì)算出有效邊界曲線的收益率區(qū)間和風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間。

圖2 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資組合的有效邊界曲線

最終得到投資組合的收益率區(qū)間為[0.1113，0.5290]，風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間為[0.2685，0.6176]。設(shè)定目標(biāo)收益率 TargetRet=0.25 時(shí)，需要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值為0.2985，得到4 支股票的分配比例為貴州茅臺(tái)（0.3233），農(nóng)業(yè)銀行（0.2678），中國(guó)石油（0.1564），海天味業(yè)（0.2526）。

設(shè)定目標(biāo)收益率 TargetRet=0.40 時(shí)，需要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值為0.3818，得到4 支股票的分配比例為貴州茅臺(tái)（0.4692），農(nóng)業(yè)銀行（0.1796），中國(guó)石油（0.0000），海天味業(yè)（0.3512）。

四、實(shí)證結(jié)論

（一）結(jié)果分析

MATLAB 的金融工具箱（Financial Toolbox）提供的Portfolio 工具支持馬科維茨投資組合理論的均值-方差分析方法和投資組合有效邊界模型，根據(jù)各個(gè)證券的歷史收益數(shù)據(jù)，Matlab 使用很少的代碼量就可以計(jì)算出有效的投資組合集合，大大簡(jiǎn)化了我們的計(jì)算流程。

在上述實(shí)證研究中，如果投資者對(duì)上述4 支股票進(jìn)行最優(yōu)化組合，要想將預(yù)期收益率從0.25 提高到0.40，投資者需要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)從0.2985 提高到0.3818，此時(shí)的最優(yōu)投資組合僅對(duì)其中3 支股票做了最優(yōu)化組合，中國(guó)石油被分配的投資比例為0。因?yàn)樵摴善钡耐顿Y收益率是4 支股票中最低的，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于農(nóng)業(yè)銀行的投資收益率，但投資風(fēng)險(xiǎn)又高于農(nóng)業(yè)銀行。

這種結(jié)論也證實(shí)了馬科維茨的資產(chǎn)組合理念：把資金分配到不同類別的資產(chǎn)上，就能夠在實(shí)現(xiàn)預(yù)期收益率的同時(shí)有效分散資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，從而幫助投資人實(shí)現(xiàn)財(cái)富效用最大化。而較小的股票組合在提升投資人預(yù)期收益率的同時(shí)，也提高了投資風(fēng)險(xiǎn)。而且，馬科維茨組合采取的優(yōu)化方式，排除了那些低收益、高風(fēng)險(xiǎn)的股票，有效組合的證券數(shù)目較少，有利于幫投資人把主要精力放在投資比例較大的股票上，減少投資的盲目性。

（二）馬科維茨模型存在的問題

首先是市場(chǎng)有效性問題。馬科維茨模型的假設(shè)之一是市場(chǎng)是有效的，即證券價(jià)格能夠充分即時(shí)準(zhǔn)確地反映市場(chǎng)上各家公司的信息。投資者不需要成本就可以無差異地獲取這些市場(chǎng)信息，并根據(jù)市場(chǎng)信息做出投資決策。隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代企業(yè)信息披露的增加，我國(guó)證券市場(chǎng)的有效性在逐步增強(qiáng)，但仍未達(dá)到弱有效[7]。

其次是風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度問題，馬科維茨模型的前提是證券的歷史收益率服從正態(tài)分布，但是越來越多的實(shí)證研究都對(duì)這一假設(shè)提出了質(zhì)疑。

最后是交易費(fèi)用問題，馬科維茨模型沒有考慮證券組合投資過程中的交易費(fèi)用。但在實(shí)際情況中存在交易費(fèi)用，并且會(huì)影響投資者隨時(shí)調(diào)整投資組合。忽視交易費(fèi)用的投資組合可能產(chǎn)生非有效的證券組合投資[8]。

引用

[1]Markowitz H.M.Portfolio Selection [J].Journal of Finance.1952(7).

[2]Sharpe,William F.A Simplified Model for Portfolio Analysis [J].Management Science,1963,9(2):277-293.

[3]Sharpe W.Capital Asset Price: A theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk [J].Journal of Finance,1964,19(3):425-442.

[4]張賀清.均值和方差變動(dòng)的馬科維茨投資組合模型研究[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué),2015.

[5]曾穎苗,張珺,張晴.馬科維茨模型在股市最優(yōu)投資組合選擇中的實(shí)證研究[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2009,3104:88-91.

[6]楊曉春.馬科維茨有效邊界理論的實(shí)證分析[J].陜西理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,04:85-89.

[7]吳昆晟.馬科維茨模型在 A 股市場(chǎng)中的應(yīng)用分析[J].新經(jīng)濟(jì),2015,26:50.

[8]王小敏.馬科維茨理論的實(shí)際運(yùn)用[J].時(shí)代金融,2013,18:251.