倪軍
摘 要:解三角形問題是高考試題中較為常見的一類命題,它涉及到邊、角、面積和周長的計算等.對于平面幾何問題,有時可將其分解成多個三角形進(jìn)行求解,這時則需要通過某種關(guān)系構(gòu)建等量關(guān)系進(jìn)行求解.
關(guān)鍵詞:多個三角形;正弦定理;余弦定理
中圖分類號:G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A?? 文章編號:1008-0333(2022)04-0027-03
利用正、余弦定理求解多個三角形問題,一般會以平面幾何為背景進(jìn)行命題,對于此類問題一般需要通過邊、角或向量知識為紐帶進(jìn)行求解.
1 以邊為紐帶,巧解多個三角形在四邊形中,通過連接對角線,則可以構(gòu)造成兩個三角形,在三角形中,取其中一邊上一點與其該邊的頂點相互連接,則會出現(xiàn)兩個小三角形和一個大三角形,解決此類問題,一般可以通過求解其公共邊進(jìn)行解決.
例1 如圖1,在平面四邊形ABCD中,∠ABC=π3,∠ADC=π2,BC=2.
(1)若△ABC的面積為332,求AC;
(2)若AD=23,∠ACB=∠ACD+π3,求tan∠ACD.
解析 (1)在△ABC中,因為BC=2,
∠ABC=π3,
S△ABC=12AB·BC·sin∠ABC=332,
所以32AB=332,
解得AB=3.在△ABC中,由余弦定理,得
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=7.
所以AC=7.
(2)設(shè)∠ACD=α,
則∠ACB=∠ACD+π3=α+π3.
如圖1,在Rt△ACD中,因為AD=23,
圖1
所以AC=ADsinα=23sinα.
在△ABC中,∠BAC=π-∠ACB-∠ABC=π3-α.
由正弦定理,得BCsin∠BAC=ACsin∠ABC.
即2sinπ3-α=2332sinα.
所以2sinπ3-α=sinα.
所以232cosα-12sinα=sinα.
即3cosα=2sinα.
所以tanα=32.
即tan∠ACD=32.
點評 化邊為角與和角或差角公式的正向或反向多次聯(lián)用是常用的技巧,對于多個三角形的求解問題,通??梢韵仍谝粋€三角形中進(jìn)行解三角形,求出公共邊的長或表達(dá)式,然后再根據(jù)另外一個三角形建立等式關(guān)系去求解題目所設(shè)置的問題.
2 以角為紐帶,巧解多個三角形在三角形中,取其中一條邊上的一點,與該對邊的頂點相互連接,則可構(gòu)成兩個三角形,其中這條邊的兩側(cè)所對應(yīng)的兩個互為補角的角所對應(yīng)的余弦值互為相反數(shù),因此可利用余弦定理分別在兩個三角形中去求解這兩個角的余弦值,再根據(jù)兩角間的關(guān)系建立等式.
例2 (2021年山東滕州一中月考)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a(sinA+sinB)=2bsinB.
(1)證明:A=B;
(2)記線段AB上靠近點B的三等分點為D,若CD=17,b=5,求c.
解析 (1)因為a(sinA+sinB)=2bsinB,
所以由正弦定理,得a(a+b)=2b2.
整理,得(a+2b)(a-b)=0.
因為a+2b>0,所以a=b,即A=B.
(2)設(shè)BD=x,則AD=2x.
由余弦定理,得
cos∠CDA=4x2+17-252×2x×17,
cos∠CDB=x2+17-252×x×17.
因為∠CDA=π-∠CDB,
所以4x2+17-252×2x×17=-x2+17-252×x×17.
解得x=2.
所以c=AB=3BD=6.
點評 根據(jù)∠CDA=π-∠CDB和余弦定理將邊化角是迅速解答本題的關(guān)鍵,對于此類問題,在熟練運用余弦定理及其推論的基礎(chǔ)上,還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用.
3 以向量為紐帶,巧解多個三角形
平面向量的三種線性運算的結(jié)果仍為向量,在三種線性運算中,加法是最基本、最重要的運算,減法運算與數(shù)乘運算都以加法運算為基礎(chǔ),都可以歸結(jié)為加法運算.在多個三角形中就可以通過線性運算和向量的數(shù)量積構(gòu)建等式關(guān)系,其中,余弦定理就可以通過向量方法進(jìn)行推導(dǎo).
例3 (2021年安徽安慶模擬)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinC+
sinA+sinBa-b=csinC,點D為邊BC的中點,且AD=7.
(1)求A;
(2)若b=2c,求△ABC的面積.
解析 (1)因為sinA+sinBa-b+bsinC=csinC,由正弦定理,得
a2-b2+bc=c2.
由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=12.
所以A=π3.
(2)因為AD為△ABC的中線,
所以2AD=AB+AC.
兩邊同時平方,得
4AD2=AB2+AC2+2AB·ACcosA.
故28=c2+b2+bc.
因為b=2c,所以c=2,b=4.
所以S△ABC=12bcsinA=23.
點評 進(jìn)行向量運算時,要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形中,選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量,運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解決.解決兩個三角形的解三角形問題,一般要用公共邊的向量表示其它邊,再進(jìn)行平方,進(jìn)而結(jié)合向量知識與余弦定理的關(guān)系進(jìn)行求解.
跟蹤訓(xùn)練 △ABC中,D是BC上的點,AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.
(1)求sin∠Bsin∠C;
(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的長.
解析 (1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,
S△ADC=12AC·ADsin∠CAD,
因為S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,
所以AB=2AC.
由正弦定理,得
sin∠Bsin∠C=ACAB=12.
(2)因為S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,
所以BD=2.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理,得
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC,
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(1)知AB=2AC,故AC=1.
參考文獻(xiàn):
[1] 蔣敏,陳國林.數(shù)學(xué)思想在解三角形中的精彩綻放[J].數(shù)理化解題研究,2018(22):14-15.
[2] 陳國林.三角問題靈活多變,多維探究發(fā)散思維[J].廣東教育,2020(11):22-24.
[責(zé)任編輯:李 璟]