“思”與“行”的橋梁

——利用畫圖策略解決實際問題

江蘇省南京市江東門小學(xué) 譚秋萍

【摘 要】“畫圖策略”在小學(xué)階段應(yīng)用較為廣泛，其作為解決問題的一個重要策略貫穿于整個小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)是邏輯性和抽象性較強的一門學(xué)科，在小學(xué)階段，學(xué)生的形象思維占主要地位，畫圖策略作為解決問題的策略之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中起著關(guān)鍵性作用。

【關(guān)鍵詞】畫圖策略 解決問題 小學(xué)數(shù)學(xué)

幾何直觀作為新課程標(biāo)準(zhǔn)中的關(guān)鍵詞之一，主要是指利用圖形描述和分析問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，注重學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。新課程標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)課程基本理念中提到“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”。這恰恰與幾何直觀提到的理念不謀而合。小學(xué)階段為學(xué)習(xí)提供的素材豐富多樣，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)習(xí)變被動為主動。學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個遞進的過程，在這一過程中學(xué)生的抽象能力需要逐步地提升并著重地進行培養(yǎng)，使學(xué)習(xí)不僅僅平面化。學(xué)習(xí)是一個生成的過程，學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合，可以將抽象、難以理解的問題直觀化。

通過畫圖策略能夠有效地將復(fù)雜的問題簡單化、煩瑣的文字圖像化、抽象的語言直觀化，幫助學(xué)生理解問題的實質(zhì)并成功地解決問題，從而獲得學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。在教學(xué)過程中應(yīng)滲透畫圖意識，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖習(xí)慣，讓畫圖策略成為學(xué)生學(xué)習(xí)的好幫手。筆者希望通過畫圖策略，讓學(xué)生的思維插上“翅膀”。

一、當(dāng)前畫圖策略的教學(xué)與學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

傳統(tǒng)的教學(xué)方法過度追求教學(xué)的“效率”，讓學(xué)生進行題海訓(xùn)練，忽視教學(xué)的過程，更多地關(guān)注到學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，這大大地背離了新課程改革的標(biāo)準(zhǔn)，教師的教學(xué)理念產(chǎn)生了偏差。在傳統(tǒng)教學(xué)的影響下，產(chǎn)生了以下幾個方面的影響：

1.學(xué)生主動畫圖的意識薄弱

學(xué)生在解決問題的時候往往喜歡看著題目空想，即使遇到條件復(fù)雜的問題時，也只是通過多讀幾遍題目來幫助自己理解題意。只有在遇到要求作圖的題目時，學(xué)生才會根據(jù)題目要求進行畫圖，這樣的學(xué)習(xí)存在著驅(qū)使性，這其實與教師的教學(xué)方式有很大的關(guān)系。教師在教學(xué)生解決問題時經(jīng)常就題論題和就圖論題，很少將問題與圖形進行實質(zhì)性的聯(lián)系，整個教學(xué)過程并沒有真正地讓學(xué)生體會到用圖形解決問題的便捷，從而導(dǎo)致學(xué)生畫圖的主動性得不到提升。

2.教師滲透畫圖意識觀念不夠，忽視畫圖能力的培養(yǎng)

學(xué)生是發(fā)展中的人，在發(fā)展的過程中需要教師進行正確的引導(dǎo)。實驗調(diào)查數(shù)據(jù)表明，部分教師在教學(xué)時并未真正地了解學(xué)生現(xiàn)階段的現(xiàn)實學(xué)習(xí)水平和理解能力，常常按照自己的經(jīng)驗教授新知。尤其是在解決問題時為了“節(jié)省”時間，直接給出學(xué)生解決問題的最佳方法，表面上避免了學(xué)生解題時“繞彎道”，實則忽略了學(xué)習(xí)過程的重要性和學(xué)生的長期發(fā)展。

在低年級階段，教材在解決實際問題時會給出題目中各個條件之間的示意圖或線段圖，此時教師就可以引導(dǎo)學(xué)生將問題和圖形結(jié)合起來理解題意并滲透數(shù)形結(jié)合的思想。教師教學(xué)時要有滲透畫圖解決問題的意識，在學(xué)生解決問題前給課堂留空，給學(xué)生留有自主的時間和空間，讓他們多次嘗試尋求解決問題的途徑，學(xué)生在嘗試過程中體會到畫圖策略的益處，從而培養(yǎng)了畫圖能力，這也是學(xué)生的直觀能力向抽象能力過渡的重要過程。

3.忽視畫圖策略的階段性教學(xué)

畫圖策略的應(yīng)用體現(xiàn)在小學(xué)各個階段，根據(jù)學(xué)生的年齡特點，新課程標(biāo)準(zhǔn)在這一領(lǐng)域給出的教學(xué)目標(biāo)有著明顯的差別，下面分三個階段進行闡述。

低年級階段要求學(xué)生掌握初步的識圖和畫圖技能。教材內(nèi)容的設(shè)計多以實際物體、圖形和簡潔的文字為主，學(xué)生能夠根據(jù)給出的圖形或條件直接解決問題，這個階段的內(nèi)容對學(xué)生的邏輯推理能力和抽象能力要求不高，教師可以滲透畫圖策略，但不做過多的硬性要求。中年級階段要求學(xué)生在物體中抽象出幾何圖形，在稍復(fù)雜情境中學(xué)會用畫圖策略將問題中的條件用線段圖或示意圖表示出來。譬如，間隔排列問題、雞兔同籠問題、簡單的行程問題等，通過畫圖，學(xué)生很容易理清各個條件之間的聯(lián)系并掌握這類問題的解題技巧。高年級階段，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯能力和抽象能力的要求有所提高。譬如，在分?jǐn)?shù)問題、比例問題和量不變問題等問題中要注意畫線段圖的練習(xí)，為成功解決復(fù)雜的實際問題做好鋪墊。

二、結(jié)合畫圖策略，創(chuàng)新教學(xué)方式

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提到：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！睂W(xué)生是獨立的人，發(fā)展具有個性化。傳統(tǒng)的教學(xué)方式無法滿足學(xué)生個性化發(fā)展的需求，因此教師要根據(jù)學(xué)生的年齡特點、學(xué)習(xí)的特點，與時俱進地創(chuàng)新適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)方式。畫圖策略作為解決問題的重要策略，將抽象的文字直觀化、復(fù)雜的問題簡單化，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還讓課堂生成更加多元化。

1.數(shù)學(xué)問題意識，滲透畫圖策略

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，對于學(xué)生數(shù)學(xué)問題能力的培養(yǎng)提出了相應(yīng)要求，這就要求教師結(jié)合畫圖策略培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，從而提高學(xué)生在實際生活中解決問題的能力。低年級階段的學(xué)習(xí)，畫圖策略主要體現(xiàn)在給出的圖形和線段這種問題情境中，實際教學(xué)中教師其實可以潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的圖形表示問題中的事物。譬如，低年級教學(xué)里的一道題目：一支隊伍的小朋友排成一排，小明的左邊有5人，右邊有3人，這支隊伍有多少人？在這樣的題目里，抽象能力較強的學(xué)生會直接想到算式5+3+1，但抽象能力較弱的學(xué)生只能想到5+3。如果教師只是反復(fù)強調(diào)還要加上小明這個人，大部分抽象能力較弱的學(xué)生只是學(xué)會了這一題，并不能真正領(lǐng)悟這類數(shù)學(xué)問題。教師可以適時地提出：“你有什么辦法讓大家一眼看出這支隊伍有幾人？”有了數(shù)學(xué)問題意識，學(xué)生通過小組合作交流匯報自己的想法時，最終呈現(xiàn)用一個“○”表示一個人，小明是涂黑了的“○”，左邊5個“○”，右邊3個“○”，一共5+3+1個“○”。這時，再讓學(xué)生將問題和圖形進行聯(lián)系，抽象能力較弱的學(xué)生理解起來會更加透徹。在接下來的學(xué)習(xí)里，當(dāng)遇到“一個隊伍的小朋友排在同一條直線上，小明從左邊數(shù)排第6個，從右邊數(shù)是第4個，這一隊有多少人？”這道題目時，大多數(shù)學(xué)生很容易想到用畫圖策略解決問題，極大地避免了是否需要“+1”還是“-1”的情況。

畫圖策略將文字和圖形通過數(shù)學(xué)問題巧妙結(jié)合，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并提高了其解決問題的能力，也增強了學(xué)生的問題意識。對于數(shù)學(xué)問題的解決方法，教師要結(jié)合學(xué)生的實際情況安排和設(shè)計，通過培養(yǎng)數(shù)學(xué)問題的意識讓學(xué)生感知畫圖的直觀性，同時初步建立數(shù)學(xué)模型思想。

2.分層遞進，養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微?！碑媹D策略在學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的過程中符合教育學(xué)、心理學(xué)的原理，數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計是一個符合兒童的年齡特點、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和學(xué)生心理特征的階段性過程。學(xué)生在不同的年齡階段存在著明顯的差異性，因此，教師要根據(jù)學(xué)生的年齡特點在畫圖策略的教學(xué)過程中分層遞進。不同的學(xué)生之間也存在差異，這時有層次性地指導(dǎo)不同學(xué)生運用畫圖策略解決實際問題尤為重要。在小學(xué)階段，畫圖策略符合小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，通過具體形象的圖形描述復(fù)雜抽象的文字，更能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及解決實際問題的能力。

蘇教版數(shù)學(xué)一年級上冊第一課時的“數(shù)一數(shù)”，是學(xué)生進入小學(xué)的第一課。本課時的例題是游樂園的一角，豐富多彩的生活情境符合剛?cè)雽W(xué)學(xué)生的年齡特點，接著引導(dǎo)學(xué)生用一個圓表示一個物體，這是示意圖表示各類事物的第一次應(yīng)用。處于第一階段的問題解決多采用畫示意圖的方法，例如排隊問題、鋸木頭問題和簡單的分?jǐn)?shù)問題。排隊問題前面已經(jīng)提到，這里不再過多說明。鋸木頭問題實際是間隔排列中的一種，即一一間隔排列，學(xué)生如果只是記住結(jié)論“一一間隔排列，首尾相同，兩邊比中間多1;首尾不同，個數(shù)相等”，在遇見變式題型時就無從下手。這一階段通過畫圖解決問題相較于記住生硬的結(jié)論，更令人感興趣且更容易被學(xué)生接受。在比較分?jǐn)?shù)大小的教學(xué)中，比較和的大小時，學(xué)生容易認(rèn)為2<3，導(dǎo)致錯誤判斷<，這是學(xué)生剛接觸分?jǐn)?shù)這部分知識時出錯率較高的類型，也是教學(xué)的重點。解決這一問題最好的方式是讓學(xué)生動手操作、直觀感知。教學(xué)時可以通過畫兩個同樣大小的圓表示一個整體，將一個圓平均分成2份，其中的1份是，再將另一個圓平均分成3份，其中的1份是，這時根據(jù)直觀的圖形去比較，學(xué)生一眼就能看出這兩個分?jǐn)?shù)的大小，最后將圖形與分?jǐn)?shù)進行聯(lián)系并結(jié)合分?jǐn)?shù)的意義理解幾分之一的分?jǐn)?shù)比較大小的方法。

學(xué)習(xí)是一個持續(xù)發(fā)展的過程，學(xué)生的各項能力在每個階段都有相應(yīng)的發(fā)展，學(xué)習(xí)中的很多問題可以通過畫圖的方法解決，教師在設(shè)計這些問題時要分層遞進，潛移默化地滲透畫圖策略，讓學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣。

3.注重畫圖策略的評價，培養(yǎng)學(xué)生畫圖解題能力

教師教學(xué)時不僅要有滲透畫圖策略的意識，還要在學(xué)生應(yīng)用畫圖策略的同時加強對學(xué)生畫圖能力的評價。評價可以是語言、手勢，也可以是眼神的表達(dá)，恰當(dāng)?shù)脑u價可以激發(fā)學(xué)生畫圖的意識，從而培養(yǎng)學(xué)生通過畫圖策略解決問題的能力。同時，評價不僅僅是教師對學(xué)生的評價，還可以是小組互評、學(xué)生互評、自我評價。評價可以幫助學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，也能促進學(xué)生積極地發(fā)展。低年級階段的示意圖教學(xué)，在學(xué)生以每5個一排或者每10個一排的順序畫示意圖時給予肯定的評價，不僅無形中規(guī)范了示意圖的畫法，還培養(yǎng)了學(xué)生有序畫圖的能力。

三、畫圖搭橋，拓展學(xué)生思維

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，對于知識的認(rèn)知和理解，需要經(jīng)歷一個從“外化”過渡到“內(nèi)化”的過程。運用畫圖策略旨在提供解決問題的途徑，讓學(xué)生遇到難題時能有策略，進行思維上的突破。在“鋸木頭”的問題中，學(xué)生對段數(shù)、次數(shù)和時間之間的關(guān)系容易混淆。抽象能力較弱的學(xué)生基本只能靠運氣解決這類問題，這時畫圖策略的應(yīng)用就能很直觀形象地將抽象的文字用示意圖的形式呈現(xiàn)，極大地幫助學(xué)生理清鋸木頭問題的解題思路。筆者在任教三年級時，初步進行了本班學(xué)生對于往返問題的畫圖策略調(diào)查，班級學(xué)生在二年級開始就已經(jīng)接觸過這類問題，通過平時教學(xué)時的滲透，學(xué)生會簡單地用帶有箭頭的直線表示“來回”。例如，一個游泳池長50米，小明游了3個來回，小明一共游了多少米？初次教學(xué)時給足學(xué)生思考的空間，再進行小組討論和集體匯報交流，學(xué)生中教師很少出現(xiàn)50×3的錯誤情況，并且在這個問題情境中，教師展示了學(xué)生的解題方法并出示如下示意圖（圖1表示“1個來回”）。

這類型問題情境中示意圖的教學(xué)和滲透能最直觀、形象地讓學(xué)生清楚往返問題。三年級上冊“兩位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)”中有一道思考題：小欣家離學(xué)校850米。一天早晨，她從家去學(xué)校上學(xué)，大約走到總路程的一半時，發(fā)現(xiàn)忘記帶數(shù)學(xué)書了。于是她回家去拿書，再去學(xué)校。這天早晨小欣上學(xué)大約一共走了多少米？筆者任教的三年級班級一共有35名學(xué)生，根據(jù)學(xué)生解決這道題的情況調(diào)查知道，23名學(xué)生讀完題后直接畫示意圖（圖2），6名學(xué)生在提示后選擇畫示意圖，4名學(xué)生直接列式計算，理解能力較弱的2名學(xué)生在匯報交流時通過示意圖能理解題意并正確列式。通過畫圖策略的學(xué)習(xí)，學(xué)生的直觀能力逐步向抽象能力過渡。

四、畫圖策略，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

布魯納說過：“最好的學(xué)習(xí)動機莫過于學(xué)生對所學(xué)材料本身具有興趣?！毙W(xué)教材內(nèi)容的設(shè)計都是以生活實際情境為例題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。低年級的教材內(nèi)容更是以圖片為主、文字為輔的形式呈現(xiàn)教學(xué)情境。筆者任教一年級時觀察到學(xué)生愛涂愛畫，對圖形類題型很感興趣并且積極主動地依照例題給出的畫圖方法解決問題。學(xué)生遇到文字較多的題目時，首先產(chǎn)生的是畏懼心理，還沒有讀完題目就覺得自己不會。在復(fù)雜的問題情境中，學(xué)生通過畫圖策略將題目中的條件進行梳理，將抽象的文字變?yōu)橹庇^的圖形，數(shù)形結(jié)合，大大地降低了問題的難度并提高了解決問題的能力。學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個可持續(xù)性發(fā)展的過程，學(xué)習(xí)的興趣是學(xué)生最大的動力。

五、結(jié)束語

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個長期而復(fù)雜的過程，學(xué)生是完整的人，只有在不斷的學(xué)習(xí)過程中才能成為全面發(fā)展的人。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以潛移默化地滲透畫圖策略的思想，從而培養(yǎng)學(xué)生畫圖的能力。

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