倪 濤 徐海遠(yuǎn) 李 東 張紅彥

1.燕山大學(xué)車輛與能源學(xué)院，秦皇島，0660042.吉林大學(xué)機(jī)械與航空航天工程學(xué)院，長春，130022

0 引言

現(xiàn)有的裝配機(jī)器人大多是串聯(lián)關(guān)節(jié)機(jī)器人[1-2]，但串聯(lián)機(jī)器人承載能力小，一般只能應(yīng)用于小型、輕型零件的裝配[3-4]。與傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)器人相比，Stewart平臺具有剛度大、負(fù)載能力強(qiáng)、精度高等優(yōu)點(diǎn)[5-6]，在大型部件的裝配和航天對接領(lǐng)域應(yīng)用越來越廣泛[7]。在裝配過程中機(jī)器人的末端執(zhí)行器會與環(huán)境接觸，機(jī)器人的運(yùn)動會受到空間的限制[8-9]，因此，需要在控制機(jī)器人位置的同時還要考慮對機(jī)器人與環(huán)境接觸時相互作用力的控制[10-12]。

柔順性是指機(jī)器人在與環(huán)境接觸時能夠?qū)ν獠孔饔昧Ξa(chǎn)生自然順從的能力。針對機(jī)器人的柔順控制，CHEAH等[13]設(shè)計了一種力/位置混合控制方法，該方法將機(jī)器人末端受到的約束力和位置分開控制，進(jìn)行力控制的關(guān)節(jié)不再參與位置的控制，同時參與位置控制的關(guān)節(jié)也不再參與力的控制，從而實現(xiàn)同時控制機(jī)器人末端位置和接觸力的目的。SONG等[14]提出了一種工業(yè)機(jī)器人智能控制方法，它可以跟蹤磨削工藝中工件的形狀以及接觸力不連續(xù)變化，根據(jù)測量數(shù)據(jù)精確控制機(jī)器人的磨削運(yùn)動。KRONANDER等[15]綜合考慮阻抗控制過程中，剛度、阻尼以及阻尼的時間倒數(shù)等阻抗參數(shù)對機(jī)器人控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，提出一種剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)可變的阻抗控制方法，仿真結(jié)果表明，該方法增加了系統(tǒng)的靈活性。以上柔順控制方法需要將力/扭矩傳感器安裝在機(jī)械手的末端執(zhí)行器、關(guān)節(jié)或底座上，通過傳感器感知機(jī)器人受到的力，將力偏差作為系統(tǒng)的輸入量，調(diào)整機(jī)器人的位姿。然而，精密的傳感器價格昂貴， 此外，在機(jī)器人關(guān)節(jié)處安裝力傳感器會使關(guān)節(jié)剛度減小，限制機(jī)械手的有效載荷能力和操作環(huán)境。

由于使用傳感器檢測外力具有一定的局限性，相關(guān)學(xué)者提出了無傳感器柔順控制方法。LEE等[16]通過監(jiān)測電機(jī)電流來估計碰撞引起的外部力矩，提出了一種不需要任何傳感器的碰撞檢測方法。DUTTA等[17]提出了一種應(yīng)用在六自由度R-S-S(旋轉(zhuǎn)-球形-球形)結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)械手上的無傳感器主動柔順控制方法，該方法僅基于執(zhí)行器電流反饋估計關(guān)節(jié)扭矩，設(shè)計了一種三層級聯(lián)阻抗控制器，大大節(jié)省了成本。

考慮到在機(jī)器人末端安裝傳感器會使機(jī)器人的承載能力減小，機(jī)器人的制造成本也會大大增加，因此為了解決這個問題，本文在不使用任何外力/力矩傳感器的情況下，提出一種基于摩擦補(bǔ)償?shù)牧杂啥绕脚_柔順控制方法。采集伺服電機(jī)編碼器的數(shù)據(jù)，利用庫侖摩擦模型和黏性摩擦模型對伺服電動缸的摩擦力進(jìn)行估算，并通過實驗確定各電動缸的摩擦參數(shù)。最后提出了一種動力學(xué)前饋控制方法，實驗結(jié)果表明該方法在六自由度平臺柔順控制中有效且可靠。

1 理論模型建立

1.1 運(yùn)動學(xué)模型

本文所研究的Stewart并聯(lián)六自由度平臺是一種6-UPS結(jié)構(gòu)。平臺電動缸與動平臺通過球鉸連接，與固定平臺通過萬向節(jié)連接。點(diǎn)ai和bi(i=1，2，…，6)表示球形接頭和萬向節(jié)的中心。

固定坐標(biāo)系Bxyz和移動坐標(biāo)系Px′y′z′如圖1所示，x軸是b1b2的中垂線，z軸垂直于固定基座的平面，y軸由右手定則確定。x′軸是a1a2的中垂線，z′軸向上并垂直于移動平臺的平面，y′軸由右手定則確定。

圖1 Stewart平臺結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of Stewart platform

定義廣義坐標(biāo)向量q=(x，y，z，φ，θ，φ)T，其中，(x，y，z)表示移動坐標(biāo)系{P}相對于固定坐標(biāo)系{B}的位置，(φ，θ，φ)表示移動坐標(biāo)系{P}相對于固定坐標(biāo)系{B}的空間姿態(tài)[18]。

為了避免奇異位置在平臺正常工作的情況下出現(xiàn)，可以采用Z—X—Z歐拉角的坐標(biāo)變換順序，即移動坐標(biāo)系Px′y′z′相對于固定坐標(biāo)系Bxyz的姿態(tài)可以通過繞z′軸旋轉(zhuǎn)φ角度，然后繞x′軸旋轉(zhuǎn)θ角度，最后繞z′軸旋轉(zhuǎn)φ角度得到。移動坐標(biāo)系{P}相對于固定坐標(biāo)系{B}的旋轉(zhuǎn)矩陣可以表示為

BRP=

(1)

式中，c表示cos函數(shù)，s表示sin函數(shù)。

(2)

(3)

(4)

(5)

圖2 坐標(biāo)系分配[20]Fig.2 Coordinate system assignment[20]

1.2 動力學(xué)模型

選擇拉格朗日方程作為Stewart平臺的動力學(xué)方程[21-23]：

(6)

τ=(fx，fy，fz，τφ，τθ，τφ)T

(7)

(8)

(9)

設(shè)Fd=(f1，f2，…，f6)T表示電動缸伸縮桿的驅(qū)動力矢量，則τ和Fd之間轉(zhuǎn)換關(guān)系為

τ=(J-1)TFd

(10)

式(6)表示末端姿態(tài)的廣義向量q的動力學(xué)方程，把它轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間中，有

(11)

Ml(l)=JTM(q)J

(12)

(13)

Gl(l)=JTG(q)

(14)

2 基于摩擦補(bǔ)償?shù)膭恿W(xué)前饋控制

2.1 摩擦模型

Stewart平臺的摩擦包括電機(jī)的摩擦和滾珠絲杠與螺母接觸面相對運(yùn)動的摩擦。在研究電動缸運(yùn)動的摩擦力時，可以把這兩部分摩擦力作為一個整體來研究。動態(tài)摩擦模型雖然能較準(zhǔn)確地描述摩擦特性，但它具有摩擦參數(shù)多、辨識困難等特點(diǎn)，不適合實際應(yīng)用。表達(dá)摩擦的經(jīng)典模型之一是庫侖摩擦模型，并且?guī)靵瞿Σ聊Ｐ瓦M(jìn)一步發(fā)展為由庫侖摩擦、黏性摩擦和Striebeck摩擦組成的靜摩擦模型[24]。本文采用圖3中的庫侖和黏性摩擦模型，該模型簡化了低速的非線性區(qū)域，對高速區(qū)域使用黏性摩擦模型可以更準(zhǔn)確地描述摩擦力與速度的線性關(guān)系[25]。

(a)庫侖摩擦 (b)黏性摩擦

庫侖摩擦和黏性摩擦數(shù)學(xué)模型用公式表示為

(15)

(16)

式中，F(xiàn)f為總摩擦力；Fc為庫侖摩擦力；fv為黏性摩擦系數(shù)；v為滾珠絲杠與螺母之間的相對速度；P為滾珠絲杠的導(dǎo)程；ωm為電機(jī)的角速度，由于沒有減速機(jī)，滾珠絲杠的角速度等于電機(jī)的角速度。

溫淑煥[26]將電機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量和滾珠絲杠的轉(zhuǎn)動慣量合并，建立了滾珠絲杠在運(yùn)動過程中考慮摩擦的運(yùn)動學(xué)模型：

(17)

式中，Td為電磁轉(zhuǎn)矩；Jm、JL分別為電機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量和滾珠絲杠的轉(zhuǎn)動慣量；Tvf、Tcf、TL分別為伺服運(yùn)動系統(tǒng)的黏性摩擦力矩、庫侖摩擦力矩和滾珠絲杠的負(fù)載力矩。

系統(tǒng)的受力力矩T與受力F之間關(guān)系如下：

(18)

式中，η為滾珠絲杠的傳動效率。

2.2 動力學(xué)前饋控制

柔順控制主要用于機(jī)器人與環(huán)境相互作用的工作場合，可以減少機(jī)器人與環(huán)境之間的接觸力，保證機(jī)器人工作過程的安全性和可靠性[27]。在實際應(yīng)用中，柔順運(yùn)動平臺的速度較小，一般可以忽略科氏力和離心力的影響，此時只要補(bǔ)償了平臺自身的重力和摩擦力，平臺就可以跟隨外力進(jìn)行柔順運(yùn)動。

Fd=Gl(l)=JTG(q)

(19)

在力矩模式下，可以通過伺服電機(jī)的編碼器獲得電機(jī)的轉(zhuǎn)角。將電機(jī)轉(zhuǎn)角代入正運(yùn)動學(xué)公式，得到Stewart平臺的末端位姿，然后將平臺末端的位姿信息代入逆動力學(xué)，得到6個電動缸的驅(qū)動力Fd，最后計算出電機(jī)的重力項力矩TG。TG和Fd之間的關(guān)系可通過式(18)得到。動力學(xué)前饋控制器的總體框圖見圖4，其中，Te為PID控制器根據(jù)位置偏差計算的力矩值。

圖4 動力學(xué)前饋控制框圖Fig.4 Control framework for dynamic feedforward

(20)

當(dāng)平臺向下運(yùn)動時，電機(jī)的驅(qū)動力矩Tm為

(21)

式中，Kp、Ki、Kd分別是比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)；e(k)為期望的電動缸的長度與當(dāng)前實際電動缸的長度的差值。

本文提出的柔順控制方法利用PID控制律對關(guān)節(jié)的位置進(jìn)行控制，實現(xiàn)對末端位姿的精確跟蹤，此外由于采用了PID控制方法，可以使平臺在力消除后回到初始姿態(tài)。式(4)用于計算6個電動缸的速度，當(dāng)受到外力作用時，平臺的位置會發(fā)生微小的變化，動力學(xué)模型和摩擦模型描述了該位置的轉(zhuǎn)矩，反饋作用于電機(jī)。平臺受到外力時會順應(yīng)外力移動。

3 實驗

為了驗證所提出的Stewart平臺動態(tài)前饋控制算法，搭建了實驗平臺系統(tǒng)，實驗系統(tǒng)示意見圖5。

圖5 實驗系統(tǒng)示意圖Fig.5 Schematic of experimental system

實驗系統(tǒng)采用Stewart平臺作為驅(qū)動機(jī)構(gòu)。驅(qū)動電動缸的電機(jī)為INVT的SV-ML08-0R7G-2-1A0-100X，額定轉(zhuǎn)速為3000 r/min，采用CANET-8E-U通信板進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，滿足同步性和實時性的要求。最后，采用ISV-DA200伺服驅(qū)動作為實時控制系統(tǒng)，實現(xiàn)更精確的定位和與CAN板的連接。系統(tǒng)的性能指標(biāo)如表1所示。

表1 Stewart平臺性能指標(biāo)

實驗一是對摩擦參數(shù)進(jìn)行辨識，采用離線參數(shù)辨識方法。以電動缸1為例，將無外部負(fù)載的電動缸拆下并水平放置。在位置控制模式下，從低到高等間隔發(fā)出速度指令(-10～10 rad/s)，然后在系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行時通過編碼器反饋值讀取電磁轉(zhuǎn)矩，此時獲得的電磁轉(zhuǎn)矩近似等于摩擦轉(zhuǎn)矩。當(dāng)電機(jī)工作時電磁轉(zhuǎn)矩不是一個固定的數(shù)字，因此，當(dāng)電動機(jī)以一定速度運(yùn)動時，有必要收集盡可能多的數(shù)據(jù)，并找出這些數(shù)據(jù)的平均值作為該速度下的電磁轉(zhuǎn)矩。電動缸實際測量的摩擦力矩離散數(shù)據(jù)如圖6所示。用最小二乘法對測量的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，可以求得直線的斜率和截距。直線的斜率表示黏性摩擦系數(shù)，截距表示庫侖摩擦力矩。參數(shù)辨識結(jié)果如表2所示。

圖6 離線摩擦參數(shù)辨識Fig.6 Off-line friction identification

第二個實驗在力矩模式下進(jìn)行，分析電機(jī)轉(zhuǎn)矩誤差。給定沿z軸的正弦位置信號輸入，分別采集6臺電機(jī)的力矩反饋數(shù)據(jù)。從收集的數(shù)據(jù)中減去重力產(chǎn)生的力矩和摩擦力矩，結(jié)果如圖7所示。結(jié)果表明，1、3、6缸電機(jī)力矩控制偏差均值為0.1 N·m，2、4、5缸電機(jī)力矩控制偏差均值為0.2 N·m，電機(jī)力矩誤差值主要與摩擦轉(zhuǎn)矩識別的精度有關(guān)，其次與動力學(xué)參數(shù)的準(zhǔn)確性和電動缸的機(jī)械變形有關(guān)。

(a)電動缸1力矩補(bǔ)償曲線 (b)電動缸2力矩補(bǔ)償曲線 (c)電動缸3力矩補(bǔ)償曲線

動力學(xué)前饋控制對六自由度平臺的摩擦項和重力項進(jìn)行了補(bǔ)償，平臺受到外力時會沿著力的方向移動。一旦外力被移除，動力學(xué)前饋控制將產(chǎn)生收縮軌跡，使Stewart平臺返回到受力前的初始位姿。為了驗證這種柔順運(yùn)動，進(jìn)行了以下實驗。圖8顯示了x軸方向的水平力作用在上部平臺上時，在動力學(xué)前饋控制過程中電動缸1、3、5的實際扭矩。該圖可分為三個階段：①力矩控制模式的靜態(tài)狀態(tài)，發(fā)送給電機(jī)的轉(zhuǎn)矩消除了Stewart平臺的重力和摩擦力，反饋力矩約為零；②柔順階段，對末端執(zhí)行器施加外力時，末端執(zhí)行器將沿所施加力的方向順應(yīng)地移動；③恢復(fù)階段，當(dāng)力被撤去時，Stewart平臺會恢復(fù)到原始狀態(tài)。

圖8 柔順控制期間的電動缸1，3，5力矩Fig.8 Joint 1，3，5 torques during compliant control

根據(jù)圖1所示的Stewart平臺結(jié)構(gòu)，當(dāng)動平臺向x軸方向移動時，電動缸1收縮，電機(jī)的力矩為正，電動缸3、5伸長，電機(jī)的力矩為負(fù)。

使用圖5所示的實驗裝置，通過在Stewart平臺上施加外力來驗證柔順運(yùn)動的準(zhǔn)確性。在上平臺施加沿x軸方向的水平外力，實驗的完整步驟如圖9a所示。收集每個電動缸的伸長量，通過運(yùn)動學(xué)計算上平臺中心點(diǎn)的坐標(biāo)。由圖9b可以明顯看出，上平臺中心點(diǎn)的位置沿力的方向移動，當(dāng)力被移除時，它會返回到原來的位置，驗證了所提方法的正確性。施加沿x軸方向的水平外力，則沿x軸方向的偏移最大，y軸方向的跟蹤誤差在0.01～0.02 m范圍內(nèi)，z軸方向的跟蹤誤差在0.005～0.01 m范圍內(nèi)。

(a)柔順控制操作連續(xù)步驟照片

4 結(jié)論

本文提出了一種基于摩擦補(bǔ)償?shù)腟tewart平臺柔順控制策略。首先在離線狀態(tài)下，利用庫侖摩擦模型和黏性摩擦模型估計出各個電動缸的摩擦力，然后在整體動力學(xué)模型中補(bǔ)償平臺的重力和摩擦力，提出了一種動力學(xué)前饋控制方法，使機(jī)器人在不使用任何力傳感器的情況下就能夠在外力作用下柔順地運(yùn)動。通過實驗測量出了電動缸的摩擦模型，并驗證了柔順控制的有效性。串聯(lián)機(jī)器人一般不適用于大型工件的裝配，而在并聯(lián)機(jī)器人上安裝高精度傳感器成本較高，所提出的動力學(xué)前饋柔順控制方法可以發(fā)揮重要作用，減少運(yùn)動過程中突然的剛性碰撞所造成的危害。后續(xù)將考慮如何提高摩擦估算模型的精度，以提高平臺的穩(wěn)定性。此外，還要對實際裝配過程中受力情況進(jìn)行深入研究，達(dá)到柔順裝配。