姜曼， 黃軍峰

(西安交通工程學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，陜西 西安 710300)

1 引言

自Zadeh在1965年提出模糊集[1]，模糊集已經(jīng)應(yīng)用到很多方面，現(xiàn)階段，學(xué)者們主要研究的是模糊集以及由模糊集得到的拓展—直覺模糊集[2]、區(qū)間值模糊集[3]、雙極值模糊集[4]、猶豫模糊集[5]、Ω-模糊集[6]等理論.在模糊蘊涵代數(shù)的基礎(chǔ)上，1993年徐揚提出了格蘊涵代數(shù)[7]的概念，有關(guān)格蘊涵代數(shù)理論的研究，現(xiàn)階段學(xué)者們做了大量工作[8-15].本文將猶豫模糊集、Ω-模糊集與格蘊涵代數(shù)相結(jié)合，研究格蘊涵代數(shù)的Ω-猶豫模糊LI-理想及其性質(zhì).

2 預(yù)備知識

定義1[16]設(shè)(L,∨,∧,′,→,O,I)是有界格，O是最小元，I是最大元，′:L→L是格中偏序(≤)的逆序?qū)蠈?yīng)，→:L×L→L是一個映射.稱(L,∨,∧,′,→,O,I)是一個格蘊涵代數(shù)(簡稱為L)，如果?x,y,z∈L,滿足下列條件：

(1)x→(y→z)=y→(x→z); (2)x→x=I;

(3)x→y=y′→x′; (4)若x→y=y→x=I,則x=y;

(5)(x→y)→y=(y→x)→x; (6)(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z);

(7)(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z).

定義2[16]在格蘊涵代數(shù)L中定義二元運算⊕，使得(x⊕y)=x′→y,?x,y∈L.

引理1[16]設(shè)L是格蘊涵代數(shù)，則?x,y,z∈L,滿足

(1)I→x=I,且x=I; (2)I→x=x，且x→O=x′;

(3)O→x=I，且x→I=I; (4)(x→y)→((y→z)→(x→z))=I;

(5)(x→y)→x′=(y→x)→y′; (6)x∧y=((x→y)→x′)′;

(7)x∨y=(x→y)→y; (8)x≤y當且僅當x→y=I;

(9)O⊕x=xI⊕x=I，且x⊕x′=I; (10)x∨y≤x⊕y，且x≤(x→y)′⊕y;

(11)x≤y?x⊕z≤y⊕z.

定義3[16]設(shè)L是格蘊涵代數(shù)，稱L的一個非空子集Q是L的一個LI理想，如果?x,y∈L,滿足

(1)O∈Q；(2)若(x→y)′∈Q且y∈Q,有x∈Q.

定義4[16]設(shè)L是格蘊涵代數(shù)，稱L上的一個模糊集A:L→[0,1]是L上的一個模糊LI-理想，如果?x,y∈L,滿足

(1)A(O)≥A(x)；(2)A(x)≥A((x→y)′)∧A(y).

定義5[16]設(shè)L、M是格蘊涵代數(shù)，稱蘊涵同態(tài)f:L→M為格蘊涵同態(tài)，如果?x,y∈L,滿足

(1)f(x→y)=f(x)→f(y); (2)f(x∨y)=f(x)∨f(y);

(3)f(x∧y)=f(x)∧f(y); (4)f(x′)=(f(x))′.

同時，設(shè)映射f:L→M為格蘊涵同態(tài)，若f是單射，則稱f是單同態(tài)；若f是滿射，則稱f是滿同態(tài)；若f是雙射，則稱f是同構(gòu).

定義6[15]設(shè)Ω,X是非空給定集合，則稱映射A：X×Ω→[0,1]為X的Ω-模糊集.

定義7[5]設(shè)X是一個非空經(jīng)典集合，一個X上的猶豫模糊集F的定義為

F:={(x,hF(x))|x∈X}，

其中hF(x)是由區(qū)間[0,1]上若干個不同值構(gòu)成的集合，表示X中的元素x屬于集合F的若干種可能隸屬度.設(shè)F為X中的猶豫模糊集P([0,1])為區(qū)間[0,1]的冪集.稱集合

X(F,γ):={x∈X|γ?hF(x)}

為F的猶豫水平集，其中γ?P([0,1]).記X上的全體猶豫模糊集為HF(X).

定義8[5]對于F∈HF(X),猶豫模糊元hF(x)的下界和上界分別定義為

下界:hF-(x)=minhF(x)，上界:hF+(x)=maxhF(x).

猶豫模糊集的三個基本運算補、并和交分別定義為

(1)補：對于F∈HF(X),它的補元Fc定義為

補運算滿足對合律，即(Fc)c=F.

(2)并：F,G∈HF(X),F和G的并F∪G定義為：?x∈X，hF∪G(x)=hF(x)∪hG(x)={h∈hF(x)∪hG(x)|h≥max(hF-(x),hG-(x))}；

(3)交：F和G的交F∩G定義為:?x∈X，hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)={h∈hF(x)∩hG(x)|h≤min(hF+(x),hG+(x))}.

3 格蘊涵代數(shù)的Ω-猶豫模糊LI-理想

定義9設(shè)Ω,X是非空給定集合，則稱映射A：X×Ω→P([0,1])為X的Ω-猶豫模糊集.記X上的全體Ω-猶豫模糊集為ΩHF[X].

定義10設(shè)A:L→P([0,1])∈HF[L],如果?x,y∈L,滿足

(1)hA(O)?hA(x)；(2)hA(x)?hA((x→y)′)∩hA(y);

則稱A是L的猶豫模糊LI-理想.記L上的全體猶豫模糊理想為HFI[L].

定義11設(shè)AΩ:L×Ω→P([0,1])∈ΩHF[L].如果?x,y∈L,?δ∈Ω,滿足

(1)hAΩ(O,δ)?hAΩ(x,δ)；(2)hAΩ(x,δ)?hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ);

則稱AΩ是L的Ω-猶豫模糊LI-理想.記L的全體Ω-猶豫模糊理想為ΩHFI[L].

在定義11中，如果hAΩ(x,δ)=hA(x),那么這時的Ω-猶豫模糊LI-理想就是一般的猶豫模糊LI-理想.

定理1若AΩ∈ΩHFI[L],則?x,y∈L,?δ∈Ω,若x≤y,有hAΩ(x,δ)?hAΩ(y,δ).

證明?x,y∈L,?δ∈Ω,如x≤y,則(x→y)′=I′=O.因此

hAΩ(x,δ)?hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ)=hAΩ(O,δ)∩hAΩ(y,δ)=hAΩ(y,δ).

定理2若AΩ:L×Ω→P([0,1])∈ΩHF[L]，?x,y,z∈L,?δ∈Ω,則以下結(jié)論等價：

(1)AΩ∈ΩHFI[L]； (2)L1和L4成立；

(3)L5； (4)L3和L6成立；

(5)L1和L7成立； (6)L8.

其中：

L1：hAΩ(O,δ)?hAΩ(x,δ)；

L2：hAΩ(x,δ)?hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ)；

L3：若x≤y,則hAΩ(x,δ)?hAΩ(y,δ)；

L4：hAΩ((x→z)′,δ)?hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ((y→z)′,δ);

L5：若(z→x)′≤y,則hAΩ(z,δ)?hAΩ(x,δ)∩hAΩ(y,δ);

L6：hAΩ(x⊕y,δ)?hAΩ(x,δ)∩hAΩ(y,δ);

L7：hAΩ(x⊕z,δ)?hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y⊕z,δ);

L8：hAΩ(z,δ)?hAΩ(x,δ)∩hAΩ(y,δ),?z∈↓(x⊕y)={z∈L|z≤x⊕y}.

證明(1)?(2)

若AΩ∈ΩHFI[L],根據(jù)定義11，則L1成立.?x,y,z∈L,?δ∈Ω,根據(jù)引理1，有

((x→z)′→(y→z)′)′→(x→y)′=(x→y)→((y→z)→(x→z))=I,

因此((x→z)′→(y→z)′)′≤(x→y)′.因此根據(jù)定理1，有

hAΩ((x→z)′,δ)?hAΩ(((x→z)′→(y→z)′)′,δ)∩hAΩ((y→z)′,δ)?

hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ((y→z)′,δ).

當L1和L4成立時，由于(x→O)′=(x′)′=x,因此根據(jù)L4有

hAΩ(x,δ)=hAΩ((x→O)′,δ)?hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ((y→O)′,δ)=

hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ).

所以由定義11可知AΩ∈ΩHFI[L].

(1)?(3)

若AΩ∈ΩHFI[L],?δ∈Ω,?x,y,z∈L,若(z→x)′≤y,那么有

hAΩ((z→x)′,δ)?hAΩ(y,δ)；

又由于AΩ∈ΩHFI[L],因此

hAΩ(z,δ)?hAΩ((z→x)′,δ)∩hAΩ(x,δ)?hAΩ(y,δ)∩hAΩ(x,δ).

若L5成立，?x∈L,?δ∈Ω,由于(O→x)′→x=I′→x=O→x=I,根據(jù)引理1有(O→x)′≤x,因此hAΩ(O,δ)?hAΩ(x,δ)∩hAΩ(x,δ)=hAΩ(x,δ).

?x,y∈L,?δ∈Ω,由于(x→(x→y)′)′→y=y′→(x→(x→y)′)=y′→((x→y)→x′)=(x→y)→(y′→x′)=(x→y)→(x→y)=I,根據(jù)引理1有(x→(x→y)′)′≤y,因此hAΩ(x,δ)?hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ).所以AΩ∈ΩHFI[L].

(3)?(4)

?x,y∈L,?δ∈Ω,若x≤y,則(x→y)′=I′=O≤y,從而

hAΩ(x,δ)?hAΩ(y,δ)∩hAΩ(y,δ)=hAΩ(y,δ),

因此L3成立.又因為

((x⊕y)→y)′→x=x′→((x⊕y)→y)=(x⊕y)→(x′→y)=(x⊕y)→(x⊕y)=I,

根據(jù)引理1有((x⊕y)→y)′≤x,所以由L5可得hAΩ(x⊕y,δ)?hAΩ(x,δ)∩hAΩ(y,δ),因此L6成立.

(4)?(5)

?x∈L,?δ∈Ω,由于O≤x,因此由L3有hAΩ(O,δ)?hAΩ(x,δ),所以L1成立.

?x,y,z∈L,?δ∈Ω,根據(jù)引理1有x≤(x→y)′⊕y,因此x⊕z≤((x→y)′⊕y)⊕z=(x→y)′⊕(y⊕z),從而hAΩ(x⊕z,δ)?hAΩ((x→y)′⊕(y⊕z),δ)?hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y⊕z,δ).因此L7成立.

(5)?(6)

?x,y∈L,?δ∈Ω,如果x≤y,則(x→y)′=I′=O,因此hAΩ(x,δ)=hAΩ(x⊕O,δ)?

hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y⊕O,δ)=hAΩ(O,δ)∩hAΩ(y,δ)=hAΩ(y,δ).即L3成立.

又由于?x,y∈L,?δ∈Ω,?z∈↓(x⊕y)={z∈L|z≤x⊕y},因此hAΩ(z,δ)?

hAΩ(x⊕y,δ)?hAΩ((x→O)′,δ)∩hAΩ(O⊕y,δ)=hAΩ(x,δ)∩hAΩ(y,δ).即L8成立.

(6)?(1)

?x∈L,?δ∈Ω,因為O≤x⊕x,因此O∈↓(x⊕x),所以由L8有hAΩ(O,δ)?hAΩ(x,δ)∩hAΩ(x,δ)=hAΩ(x,δ).因此L1成立.

?x,y∈L,?δ∈Ω,則x≤(x→x)′⊕y,即x∈↓(x→y)′⊕y,因此hAΩ(x,δ)?hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ).因此AΩ∈ΩHFI[L].

設(shè)AΩ∈ΩHF[X],?γ∈P([0,1]),稱Aγ={(x,hAΩ(x,δ))?γ|x∈X,δ∈Ω}為A關(guān)于的Ω的γ-猶豫水平截集.

定理3AΩ∈ΩHFI[L]?Aγ(≠?)是L的LI-理想.

證明“?”?δ∈Ω,若Aγ≠?,則有x∈Aγ,即hAΩ(x,δ)?γ.由于AΩ∈ΩHFI[L],因此?x∈L,hAΩ(O,δ)?hAΩ(x,δ),所以hAΩ(O,δ)?hAΩ(x,δ)?γ,即O∈Aγ；當(x→y)′∈Aγ且y∈Aγ時，那么有hAΩ((x→y)′,δ)?γ且hAΩ(y,δ)?γ成立.由于AΩ∈ΩHFI[L],因此hAΩ(x,δ)?hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ)?γ.即x∈Aγ.所以Aγ是L的LI-理想.

“?”?γ∈P([0,1]),?x∈L,由于Aγ≠?是L的LI-理想，令hAΩ(x,δ)=γ,那么有0∈Aγ,因此hAΩ(O,δ)?γ=hAΩ(x,δ).

?x,y∈L,令hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ)=γ,那么有hAΩ((x→y)′,δ)?γ,hAΩ(y,δ)?γ,因此(x→y)′∈Aγ并且y∈Aγ.由于Aγ是L的LI-理想，因此x∈Aγ,所以有hAΩ(x,δ)?γ=hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ).因此有AΩ∈ΩHFI[L].

設(shè)AΩ∈ΩHF[L],0≤k≤1,?δ∈Ω,定義AΩ∩k和AΩ∪k如下

hAΩ∩k(x)=hAΩ(x,δ)∩k,hAΩ∪k(x)=hAΩ(x,δ)∪k.

定理4如果AΩ∈ΩHFI[L],那么AΩ∩k∈ΩHFI[L],AΩ∪k∈ΩHFI[L].

證明如果AΩ∈ΩHFI[L],那么?δ∈Ω,?x,y∈L,有hAΩ∩k(O,δ)?hAΩ(x,δ)∩k=hAΩ∩k(x,δ)=hAΩ(O,δ)∩k,hAΩ∩k(x,δ)=hAΩ(x,δ)∩k?(hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ))∩k=(hAΩ((x→y)′,δ)∩k)∩(hAΩ(y,δ)∩k)=hAΩ∩k((x→y)′,δ)∩hAΩ∩k(y,δ).因此AΩ∩k∈ΩHFI[L].類似地，可證AΩ∪k∈ΩHFI[L].

定理5如果AΩ、BΩ∈ΩHFI[L],那么AΩ∩BΩ∈ΩHFI[L].

證明如果AΩ、BΩ∈ΩHFI[L],那么?δ∈Ω,?x,y∈L,有

hAΩ∩BΩ(O,δ)=hAΩ(O,δ)∩hBΩ(O,δ)?hAΩ(x,δ)∩hBΩ(x,δ)=hAΩ∩BΩ(x,δ).

hAΩ∩BΩ(x,δ)=hAΩ(x,δ)∩hBΩ(x,δ)?

(hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ))∩(hBΩ((x→y)′,δ)∩hBΩ(y,δ))=

(hAΩ((x→y)′,δ)∩hBΩ((x→y)′,δ))∩(hAΩ(y,δ)∩hBΩ(y,δ))=

hAΩ∩BΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ∩BΩ(y,δ).

因此可得AΩ∩BΩ∈ΩHFI[L].

定理6AΩ∈ΩHFI[L]?Aδ∈HFI[L]且Aδ：L→P([0,1]),其中hAδ(x)=hAΩ(x,δ),?δ∈Ω,?x∈L.

證明“?” 如果AΩ∈ΩHFI[L],那么?x,y∈L,?δ∈Ω,有hAδ(0)=hAΩ(0,δ)?hAΩ(x,δ)=hAδ(x)和hAδ(x)=hAΩ(x,δ)?hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ)=hAδ((x→y)′)∩hAδ(y)成立.因此Aδ∈HFI[L].

“?”若Aδ∈HFI[L],則?x,y∈L,?δ∈Ω,根據(jù)定義11有

hAΩ(0,δ)=hAδ(0)?hAδ(x)=hAΩ(x,δ)；

hAΩ(x,δ)=hAδ(x)?hAδ((x→y)′)∩hAδ(y)=hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ).

因此AΩ∈ΩHFI[L].

=hAδ((x→y)′,δ)∩hAδ(y,δ).所以Aδ∈ΩHFI[L].

定理8設(shè)L1、L2是格蘊涵代數(shù)，映射f:L1→L2為滿同態(tài)映射，若AΩ∈ΩHFI[L1],則f(AΩ)={(x,hf(AΩ)(y,δ))|x∈X}∈ΩHFI[L2],其中定義hf(AΩ)(y,δ)=∪{hAΩ(x,δ)|f(x)=y,δ∈Ω}.證明?y1,y2∈L2,由于映射f:L1→L2為滿同態(tài)映射，因此?x1,x2∈L1,有f(x1)=y1,f(x2)=y2,且有f(O)=O,因此?δ∈Ω,有

hf(AΩ)(O,δ)=∪{hAΩ(x,δ)|f(x)=O,δ∈Ω}?∪{hAΩ(O,δ)|f(O)=O,δ∈Ω}?

∪{hAΩ(x1,δ)|f(x1)=y1,δ∈Ω}=hf(AΩ)(y1,δ)；

hf(AΩ)(y1,δ)=∪{hAΩ(x1,δ)|f(x1)=y1,δ∈Ω}?∪{hAΩ((x1→x2)′,δ)|f((x1→x2)′)=

(y1→y2)′,δ∈Ω}∩∪{hAΩ((x2,δ)|f(x2)=y2,δ∈Ω}=

hf(AΩ)((y1→y2)′,δ)∩hf(AΩ)(y2,δ).

綜上可得，f(AΩ)∈ΩHFI[L2].

定理9設(shè)L1、L2是格蘊涵代數(shù)，映射f:L1→L2為同態(tài)映射，若BΩ∈ΩHFI[L2],那么f-1(BΩ)={(x,hf-1(BΩ)(y,δ))|x∈X}∈ΩHFI[L1],其中定義hf-1(BΩ)(y,δ)=hBΩ(f(y),δ),δ∈Ω.

證明若BΩ∈ΩHFI[L2],則?y1,y2∈L2,?δ∈Ω,有

hf-1(BΩ)(O,δ)=hBΩ(f(O),δ)?hBΩ(f(y1),δ)=hf-1(BΩ)(y1,δ)；

hf-1(BΩ)(y1,δ)=hBΩ(f(y1),δ)?hBΩ(f(y1→y2)′,δ)∩hBΩ(f(y2),δ)=

hf-1(BΩ)((y1→y2)′,δ)∩hf-1(BΩ)(y2,δ).

綜上可得，f-1(BΩ)∈ΩHFI[L1].