曹澤林 陶夏新 陶正如 王可意

1） 中國河北邯鄲 056038 河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院

2） 中國哈爾濱 150090 哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院

3） 中國哈爾濱 150080 中國地震局工程力學(xué)研究所

引言

地震動合成廣泛用于估計(jì)未來大地震產(chǎn)生的近場地震動.幾十年來，多種理論和方法相繼發(fā)展以用于合成地震動（Douglas，Aochi，2008）.常用的地震動合成方法可以分為數(shù)值方法、隨機(jī)合成法、經(jīng)驗(yàn)格林函數(shù)法、混合方法等.其中，數(shù)值方法受計(jì)算資源的限制，網(wǎng)格離散尺寸無法足夠精細(xì)，難以保證合成地震動高頻段的精度；隨機(jī)合成的地震動在低頻段又不夠可靠.對于強(qiáng)震動觀測記錄的可靠頻段和工程結(jié)構(gòu)抗震分析所需地震動的低頻、高頻范圍，寬頻帶（0.1—20 Hz）地震動成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn).目前，寬頻帶地震動合成常使用混合方法（Frankel，2009；Graves，Pitarka，2010），分別在低頻段、高頻段通過數(shù)值模擬、隨機(jī)合成獲得整個(gè)斷層引起的地震動，再將兩部分濾波、疊加得到寬頻帶地震動.其中，數(shù)值方法可以模擬三分量地震動，隨機(jī)合成法只能提供一個(gè)無明確方位的水平分量，兩種方法的疊加有不協(xié)調(diào)之處.此外，疊加所用交叉頻率的選取具有主觀性，兩種方法對含義相同參數(shù)的表達(dá)也有不一致現(xiàn)象（孫曉丹，陶夏新，2012）.因此，需要研究計(jì)算精度高、邏輯嚴(yán)密的多分量寬頻帶地震動合成方法.

震源模型和格林函數(shù)是各種地震動合成方法的兩個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容.Hartzell （1978）提出的有限斷層震源模型廣泛用于地震動合成，但震源描述形式各不相同.例如：經(jīng)驗(yàn)格林函數(shù)法通過大震和小震的震源機(jī)制“調(diào)制”來表達(dá)震源（Irikura，Miyake，2011）；隨機(jī)有限斷層法用震源譜模型表達(dá)震源（Motazedian，Atkinson，2005）；包括本文方法在內(nèi)的多種方法采用運(yùn)動學(xué)震源模型，即，用有限斷層面上的錯(cuò)動量分布、破裂速度、各子源時(shí)間函數(shù)和上升時(shí)間及滑動角等震源參數(shù)通過較為簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)描述頗為復(fù)雜的震源破裂過程.格林函數(shù)的計(jì)算是近場地震動合成的關(guān)鍵一環(huán)，也是不同地震動合成方法的核心區(qū)別.例如：經(jīng)驗(yàn)格林函數(shù)法采用包含了真實(shí)場地效應(yīng)和路徑效應(yīng)的小震（或余震）記錄作為大震的格林函數(shù)（Irikura，Miyake，2011）；隨機(jī)有限斷層法用有限帶寬白噪聲描述隨機(jī)格林函數(shù)（Motazedian，Atkinson，2005）.這些格林函數(shù)主要用于高頻地震動合成，在低頻段具有明顯的偏差，且數(shù)值格林函數(shù)用于高頻地震動合成時(shí)需要極大的計(jì)算資源（Graves，Pitarka，2010）.Wang （1999）、Zhu 和Rivera （2002）等提出的格林函數(shù)算法解決了水平成層介質(zhì)內(nèi)源引起的三維位移響應(yīng)問題，在地震動合成研究中受到關(guān)注（Hartzellet al，2005；Kielinget al，2014；Sunet al，2015）.這類地震動合成方法具有嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)，可以避免混合方法存在的邏輯缺陷，優(yōu)勢在于能夠表達(dá)地殼介質(zhì)內(nèi)地震波的復(fù)雜傳播過程，難點(diǎn)在于震源建模，有研究稱之為基于物理的方法（physics-based）（Sunet al，2015）或基于震源的方法（source-based）（Hartzellet al，2011）.從工程應(yīng)用的角度看，這類方法所用的水平成層地殼速度模型是與當(dāng)前對地殼結(jié)構(gòu)的認(rèn)知水平相匹配的，既可以表達(dá)地殼的主要分層結(jié)構(gòu)，也具有較高的計(jì)算效率.

1 合成地震動的FK 法

1.1 FK 法的計(jì)算原理

根據(jù)位移表示定理，點(diǎn)源引起的地表一點(diǎn)的地震動位移可以表示為（Aki，Richards，2002）

1.2 本文采用的算例

為便于分析比較，本文采用圖1 所示的一個(gè)算例.首先，設(shè)定MW6.5 直立走滑地震，斷層長度和寬度分別為32 km 和16 km，上緣埋深為5 km.整個(gè)斷層面劃分為16×8 個(gè)2 km×2 km的子源.依據(jù)震源參數(shù)定標(biāo)律（姜偉等，2017），平均錯(cuò)動量取為59 cm.有限斷層震源模型的總地震矩為6.31×1018N·m，由于采用均勻錯(cuò)動分布，每個(gè)子源的地震矩相等，均為4.93×1016N·m.有限斷層震源模型的一個(gè)子源的地震矩相當(dāng)于一次MW5.1 地震的地震矩.本文將圖1 所示子源視作點(diǎn)源，以便于后文分析.然后，設(shè)置距離斷層中心地表投影30 km 的基巖場地計(jì)算點(diǎn)A，用于地震動合成和比較分析.地殼速度結(jié)構(gòu)模型采用四川蘆山地區(qū)的模型（Haoet al，2013）（表1），原因在于該地區(qū)研究基礎(chǔ)良好，地殼速度模型的淺處有厚度分別為3 km 和5 km 的兩個(gè)薄層，便于分析地殼速度結(jié)構(gòu)對破裂時(shí)間和傳播時(shí)間的影響.

圖1 本文采用的算例Fig. 1 Calculation example adopted in this study

表1 本文采用的地殼速度結(jié)構(gòu)模型Table 1 Crustal velocity structure model adopted in this study

1.3 FK 法對地殼速度結(jié)構(gòu)的表達(dá)

FK 法采用的頻率波數(shù)域格林函數(shù)表達(dá)了水平成層地殼模型的內(nèi)源引起的響應(yīng)，具體可參見相關(guān)文獻(xiàn)（Zhu，Rivera，2002；Kennett，2009），本文不再贅述.除了格林函數(shù)，地殼速度結(jié)構(gòu)還影響著震源參數(shù).本小節(jié)討論FK 法中地殼速度結(jié)構(gòu)對子源地震矩分配和兩個(gè)時(shí)滯的影響.

在常用的地震動合成方法中，以子源的錯(cuò)動量為權(quán)將整個(gè)斷層的地震矩分配給各子源，表達(dá)式為

式（2）中的破裂時(shí)間表達(dá)子源破裂的觸發(fā)時(shí)刻，一般由破裂起始點(diǎn)到子源的距離除以破裂速度得到，即

式中，Lij為破裂起始點(diǎn)到第ij個(gè)子源的距離，vr為破裂速度.破裂速度常按下式確定

式中，β為破裂速度與剪切波速vS的比值，常取為0.8.

[1]向邱.品管圈活動在呼吸重癥監(jiān)護(hù)病房的應(yīng)用與效果[J].護(hù)理管理雜志,2013,13(2):104-105.

地殼介質(zhì)剪切波速通常隨深度變化，對破裂速度的分布和各子源的破裂時(shí)間有一定的影響.對于表1 的地殼速度模型和圖1 的震源模型（此時(shí)斷層埋深另取為0 km，以突出近地表波速復(fù)雜變化的影響），采用同一破裂速度2.7 km/s 和深度相關(guān)破裂速度，計(jì)算得到的破裂時(shí)間的分布如圖2 所示.由圖可見，考慮地殼介質(zhì)剪切波速變化時(shí)，淺部破裂時(shí)間變大，深部破裂時(shí)間變小，差值最大達(dá)到0.5 s.這說明有必要考慮地殼結(jié)構(gòu)對破裂速度的影響.

圖2 不同破裂速度計(jì)算的破裂時(shí)間.星號表示破裂起始點(diǎn)（a） 同一破裂速度；（b） 深度相關(guān)破裂速度；（c） 深度相關(guān)破裂速度的分布；（d） 圖（b）相對圖（a）的差值Fig. 2 Rupture time calculated by different rupture velocity vr（a） The same vr ；（b） Depth-related vr；（c） Distribution of depth-related vr； （d） Difference between Fig.（b） and Fig.（a）

式（2）中的傳播時(shí)間一般由子源到地表點(diǎn)的距離除以剪切波速得到，即

式中，Rij為第ij個(gè)子源到地表點(diǎn)的距離.

地殼介質(zhì)中的剪切波速隨深度發(fā)生變化，這會影響地震波傳播速度，影響特點(diǎn)需要仔細(xì)分析.將震源設(shè)置于不同深度，對于不同震中距的地表點(diǎn)，采用同一剪切波速3.4 km/s 和表1 中的深度相關(guān)剪切波速計(jì)算S 波的傳播時(shí)間，結(jié)果如圖3 所示.由圖可見，對于深度相關(guān)剪切波速，傳播時(shí)間的等值線有多處轉(zhuǎn)折且淺部和深部的增加趨勢不同.圖中的粗折線是兩類初至波的分界線，左側(cè)是震源向上傳播的直達(dá)波先到達(dá)地表，右側(cè)是震源向下傳播的體波反射波先到達(dá)地表，粗折線水平段的位置正好對應(yīng)地殼結(jié)構(gòu)中速度不連續(xù)界面的深度，說明了地殼結(jié)構(gòu)對傳播時(shí)間的重要影響.考慮地殼介質(zhì)剪切波速變化時(shí)，淺部傳播時(shí)間變大，深部傳播時(shí)間變小，差距最大達(dá)到3 s.考慮地殼結(jié)構(gòu)對傳播時(shí)間的影響也是有必要的，這對于FK 法合成地震動的可靠性和有效頻帶具有重要意義.

圖3 不同剪切波速計(jì)算的S 波的傳播時(shí)間（a） 同一剪切波速；（b） 深度相關(guān)剪切波速；（c） 圖（b） 相對圖（a） 的差值Fig. 3 Propagation time of S wave calculated by differentvS（a） The same vS；（b） Depth-related vS ；（c） Difference between Fig.（b） and Fig.（a）

2 格林函數(shù)計(jì)算的影響

考察式（4）可知，格林函數(shù)的計(jì)算式是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕馕霰磉_(dá)式，對頻率、波數(shù)的積分域均是從0 到無窮.在實(shí)際數(shù)值計(jì)算中，頻率和波數(shù)均截止到某最大值，因此FK 法被稱為一種半解析方法.本節(jié)分析頻率和波數(shù)積分范圍的截?cái)嗵幚韺Φ卣鸩ㄓ?jì)算的影響，并考察頻率波數(shù)域格林函數(shù)是否能傳播寬頻帶地震波.

2.1 關(guān)于頻率的積分

一個(gè)離散的時(shí)程能夠表達(dá)的最高頻率稱為奈奎斯特（Nyquist）頻率.根據(jù)采樣定理，奈奎斯特頻率fN由下式確定，即

在格林函數(shù)計(jì)算中，Nt和dt的取值要考慮震源至地表點(diǎn)的距離范圍和地表點(diǎn)的地震動持時(shí)，也要保證fN和df都滿足寬頻帶計(jì)算的要求.在FK 法中，子源格林函數(shù)的零時(shí)刻是子源破裂的起始時(shí)刻.一般情況下，格林函數(shù)的總時(shí)長T都大于20 s.根據(jù)式（11），df小于0.05 Hz，完全能夠表達(dá)格林函數(shù)的譜幅值隨頻率的復(fù)雜變化.

根據(jù)式（10），時(shí)間步距dt確定了格林函數(shù)能表達(dá)的最高頻率，對FK 法合成地震動的頻帶具有顯著影響.下面分析fN對合成地震動頻帶的影響.取Nt為4 096，dt為0.01，0.02，0.05，0.1，0.5 s，對應(yīng)的fN為50，25，10，5，1 Hz.采用圖1 中的點(diǎn)源，分別計(jì)算相應(yīng)的格林函數(shù)，然后合成點(diǎn)A的斷層垂直（fault normal，縮寫為FN）分量的地震動.不同fN合成地震動的加速度幅值譜（Fourier amplitude spectrum，縮寫為FAS）的比較如圖4 所示.圖中，左側(cè)是上升時(shí)間為0 s 的結(jié)果，表達(dá)單位沖激函數(shù)源的影響；右側(cè)是上升時(shí)間為1.5 s 的結(jié)果，表達(dá)考慮震源破裂過程的影響.為了更直觀地表達(dá)合成地震動的頻譜特征，本文采用了Konno 和Ohmachi （1998）的方法對幅值譜進(jìn)行了光滑處理.由圖4 可見，頻率波數(shù)域格林函數(shù)可以表達(dá)fN以下的頻率成分.當(dāng)dt足夠小，fN足夠大時(shí)，格林函數(shù)能夠傳播寬頻帶地震波.在接近于fN時(shí)，格林函數(shù)一定程度偏小，這是由于數(shù)值計(jì)算的精度損失.對于0.1 Hz 以下的頻段，fN較小的結(jié)果有一定的偏差，這是由于dt較大時(shí)，計(jì)算精度較差.對比圖4a 和4b，震源破裂過程的時(shí)長（即上升時(shí)間）影響合成地震動的譜幅值水平，但在可靠的頻率范圍內(nèi)沒有中間頻段缺失現(xiàn)象.dt除了確定格林函數(shù)的最高頻率，還影響FK 法的計(jì)算量.表2 說明不同dt時(shí)FK 法合成地震動的計(jì)算量.可見，當(dāng)dt從0.02 s 變?yōu)?.01 s 時(shí)，地震動合成的計(jì)算時(shí)間和數(shù)據(jù)存儲空間都變?yōu)樵瓉淼? 倍（本文計(jì)算所用的臺式計(jì)算機(jī)配置為CPU i5-10400、運(yùn)行內(nèi)存16 G）.對于本文算例，計(jì)算量差別不大.但對于汶川MW7.9 地震之類的大地震，除了距離范圍大，斷層面也需要?jiǎng)澐譃楦嗟淖釉矗藭r(shí)計(jì)算量的差異就十分顯著了.因此，考慮到數(shù)值計(jì)算效率，dt取0.02 s，可以滿足寬頻帶地震動合成的需要.

表2 不同dt 時(shí)FK 法合成地震動的計(jì)算量Table 2 Calculation cost of ground motion simulation using FK approach for different dt

圖4 上升時(shí)間為0 s （a）和1.5 s （b） 時(shí)奈奎斯特頻率對合成地震動加速度幅值譜FAS 的影響Fig. 4 Influence of Nyquist frequency on FAS of synthetic ground motion with rise time of 0 s （a） and 1.5 s （b）

2.2 關(guān)于波數(shù)的積分

FK 法的格林函數(shù)在波數(shù)域求解震源引起的響應(yīng)，很好地解決了數(shù)值穩(wěn)定問題（Zhu，Rivera，2002）.式（4）中關(guān)于波數(shù)的積分，數(shù)值計(jì)算截止到最大波數(shù).零頻最大波數(shù)kmax和波數(shù)間隔dk是提前設(shè)定的.理論上講，kmax越大、dk越小，越有利于格林函數(shù)的計(jì)算精度，但dk變小時(shí)計(jì)算量會顯著增加.以表1 中的地殼速度結(jié)構(gòu)模型為例，表3 說明了不同dt、dk和kmax時(shí)FK 法格林函數(shù)的計(jì)算量.當(dāng)dt從0.02 s 變?yōu)?.01 s 時(shí)，格林函數(shù)計(jì)算時(shí)間和數(shù)據(jù)存儲空間分別為原來的4 倍和2 倍.下面分析kmax和dk對合成地震動頻帶和計(jì)算量的影響，除了確定參數(shù)的建議值，還可以了解參數(shù)的合理取值范圍.

表3 不同dt，dk 和kmax 時(shí)FK 法格林函數(shù)的計(jì)算量Table 3 Calculation cost of Green’s function in FK approach with different dt, dk and kmax

kmax和dk的單位是1/Xmax，Xmax是點(diǎn)源埋深與點(diǎn)源至地表點(diǎn)的震中距兩者中的較大值.對于圖1 中的點(diǎn)源，Xmax為30 km.取dk為0.1，kmax取為2，5，10，15，20，分別計(jì)算相應(yīng)的格林函數(shù)，然后合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.不同kmax合成地震動的FAS 和位移時(shí)程的比較如圖5a 所示.從圖中可見，kmax過小時(shí)，0.1 Hz 以下和接近fN的頻段的FAS 有一定偏差，其它頻率的差距不明顯.kmax越大，位移計(jì)算結(jié)果越精確.kmax對格林函數(shù)計(jì)算量的影響小，主要影響計(jì)算精度與穩(wěn)定性.kmax取為10 以上時(shí)可滿足計(jì)算精度要求，為避免特殊問題，本文建議kmax取為15.

取kmax為15，dk分別取為0.05，0.1，0.2，0.3，0.5.采用圖1 中的點(diǎn)源，分別計(jì)算相應(yīng)的格林函數(shù)，然后合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.不同dk合成地震動的FAS 和位移時(shí)程的比較如圖5b 所示.從圖中可見，對于1 Hz 以下頻段，dk較大時(shí)，合成地震動的偏差隨頻率減低而增加；在1—10 Hz 頻段，dk的影響很小.從fN以上頻段的FAS 可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)AS 受dk的顯著影響并不是單調(diào)變化的，這是因?yàn)樵谑剑?）中，關(guān)于波數(shù)的積分因子隨波數(shù)有明顯的振蕩現(xiàn)象，dk從小變大時(shí)，積分點(diǎn)并非單調(diào)變化.dk應(yīng)足夠小，以保證能夠描述積分因子隨波數(shù)的復(fù)雜變化，dk大于0.2 時(shí)，位移時(shí)程出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤及失穩(wěn)現(xiàn)象.表3 說明，當(dāng)dk從0.1 變?yōu)?.05，0.3 時(shí)，格林函數(shù)的計(jì)算時(shí)間分別為原來的2 倍和0.33 倍.對于汶川MW7.9 地震之類的大地震，格林函數(shù)的計(jì)算量差距會十分顯著.考慮到計(jì)算精度和計(jì)算效率，本文建議dk取為0.1，更高要求時(shí)可取為0.05.

圖5 最大波數(shù)（a）和波數(shù)間隔（b）對合成地震動加速度幅值譜FAS 和位移時(shí)程的影響Fig. 5 Influence of the maximum wavenumber （a） and the wavenumber interval （b）on FAS and displacement time history of synthetic ground motion

2.3 地殼速度結(jié)構(gòu)影響一例

地殼速度結(jié)構(gòu)對格林函數(shù)的幅值、波形具有控制作用.在地殼速度結(jié)構(gòu)中，品質(zhì)因子是描述地殼介質(zhì)耗能衰減的參數(shù).下面以品質(zhì)因子為例，分析其對格林函數(shù)頻帶的影響特點(diǎn).對于表1的地殼速度結(jié)構(gòu)模型，分別將品質(zhì)因子取為原值的0.5，1.0，2.0 倍.采用圖1 中的點(diǎn)源，分別計(jì)算相應(yīng)的格林函數(shù)，然后合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.不同品質(zhì)因子合成地震動的FAS 的比較如圖6 所示.由圖可見，品質(zhì)因子主要影響1 Hz 以上的高頻地震動，影響程度隨頻率增加.這一分析表明，地殼結(jié)構(gòu)影響不同頻段譜幅值的總體水平，但不影響FK 法合成地震動可靠的頻帶寬度.

圖6 品質(zhì)因子對合成地震動加速度幅值譜FAS 的影響Fig. 6 Influence of quality factor on FAS of synthetic ground motion

3 震源破裂過程的影響

根據(jù)式（3），為了表達(dá)震源破裂過程釋放地震矩需要一定時(shí)間、地震矩釋放速率隨時(shí)間的變化，地震動合成需要卷積格林函數(shù)與震源時(shí)間函數(shù).震源時(shí)間函數(shù)（STF）描述地震矩率（或錯(cuò)動速率）的時(shí)間歷程，目前，還很難對每一個(gè)子源都估計(jì)一個(gè)不同的震源時(shí)間函數(shù).一般做法是采用相同的函數(shù)形式，對每一個(gè)子源估計(jì)各不相同的上升時(shí)間和地震矩.此外，破裂速度控制各子源破裂觸發(fā)時(shí)間，也是一個(gè)重要參數(shù).本節(jié)討論震源時(shí)間函數(shù)、上升時(shí)間、破裂速度對合成地震動頻帶的影響，考察標(biāo)準(zhǔn)主要包括兩方面：合成地震動的頻帶寬度是否覆蓋0.1—20 Hz；在整個(gè)寬頻帶范圍內(nèi)，這些參數(shù)（或模型）是否會造成某些頻段地震動幅值過小或過大.

3.1 震源時(shí)間函數(shù)的影響

迄今為止，地震反演和正演研究中已經(jīng)有多種STF 解析函數(shù)表達(dá)式，包括簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)和具有震源動力學(xué)含義的函數(shù).根據(jù)來源和函數(shù)形式，震源時(shí)間函數(shù)可以分為簡單類型、三角函數(shù)類型、Brune 類型和Yoffe 類型.本文參考前期研究（Caoet al，2019），選取三角形STF、Liu STF （Liuet al，2006）、Hartzell STF （Hartzellet al，2007）、Brune STF （Brune，1970）和三角形規(guī)則化的Yoffe STF （Tintiet al，2005）等五種典型模型，分析震源時(shí)間函數(shù)對合成地震動頻帶的影響.圖7 比較了五種模型表達(dá)的錯(cuò)動速率及其幅值譜.采用圖1 中的點(diǎn)源，分別合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.圖8 比較了五種震源時(shí)間函數(shù)模型合成地震動的幅值譜.其中，幅值比較是以具有f?2高頻譜衰減速率的Brune STF 的結(jié)果為參考值.

圖7 五種震源時(shí)間函數(shù)的錯(cuò)動速率（a）及其加速度幅值譜FAS （b）Fig. 7 Slip rate （a） and its FAS （b） for five source time functions

圖8 震源時(shí)間函數(shù)對合成地震動加速度幅值譜FAS 的影響Fig. 8 Influence of source time function on FAS of synthetic ground motion

一般來講，STF 的函數(shù)形式對散射地震波的表達(dá)存在幾方面問題（Dregeret al，2007），包括錯(cuò)動速率的對稱性、錯(cuò)動速率FAS 中間頻段幅值很小的譜洞、譜高頻衰減速率，一般從這幾方面分析震源時(shí)間函數(shù)的模型及其影響.在震源破裂過程中，錯(cuò)動速率通常先快速增加到最大值然后逐漸變?。―ay，1982）.這說明STF 的錯(cuò)動速率隨時(shí)間的變化不是對稱的，STF 的錯(cuò)動速率應(yīng)在錯(cuò)動早期具有一個(gè)有限的峰值.這描述了震源破裂過程釋放能量隨時(shí)間的變化，主要影響合成地震動的波形.STF 的幅值譜中較大的振蕩稱為譜洞，會導(dǎo)致頻率相關(guān)地震動參數(shù)出現(xiàn)較大偏差.例如，三角形STF 合成地震動的FAS 在1 Hz 和2 Hz 處有明顯低估，Yoffe STF 使相應(yīng)FAS 在3 Hz 處亦有明顯低估，正好對應(yīng)STF 的FAS 的譜洞位置.震源破裂過程釋放地震波的譜幅值隨頻率的變化應(yīng)當(dāng)是連續(xù)的，不應(yīng)有劇烈振蕩.因此，無譜洞的STF 更適用于描述震源破裂過程和地震動合成.此外，STF 應(yīng)具有f-2高頻譜衰減速率，衰減過快或過慢會低估或高估地震動，都不利于合成寬頻帶地震動，例如，Liu STF 在中頻段明顯較大的幅值會高估這個(gè)頻段的地震動.由式（3）可知，對于FK 法的震源模型，上升時(shí)間含義明確的Hartzell STF 比Brune STF 更適用于描述子源錯(cuò)動的時(shí)間變化，也是本文推薦的最優(yōu)模型.

3.2 上升時(shí)間的影響

上升時(shí)間表征破裂面上一點(diǎn)從破裂開始直至最終達(dá)到靜態(tài)位錯(cuò)所歷經(jīng)的時(shí)間.根據(jù)相關(guān)研究（Brune，1970；Beresnev，2002），上升時(shí)間的頻域等效參數(shù)是震源譜模型中的拐角頻率.對于Hartzell STF，上升時(shí)間分別取為0，0.5，1.0，2.0，5.0 s，表示震源錯(cuò)動時(shí)間變化對合成地震動頻帶的影響.采用圖1 中的點(diǎn)源，分別合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.不同上升時(shí)間合成地震動的FAS 的比較如圖9a 所示.從圖中可見，上升時(shí)間是控制地震動幅值的最重要因素，比格林函數(shù)的控制作用要大很多.隨著上升時(shí)間的增大，地震動譜幅值顯著降低.這說明描述錯(cuò)動速率的上升時(shí)間控制了震源破裂釋放高頻地震波的能量，錯(cuò)動越快釋放的高頻地震動越強(qiáng).結(jié)合圖4 和圖9 可知，上升時(shí)間顯著影響合成地震動的譜幅值水平，但在可靠的頻率范圍內(nèi)沒有中間頻段缺失現(xiàn)象.

圖9 上升時(shí)間（a）和破裂速度（b）對合成地震動加速度幅值譜FAS 的影響Fig. 9 Influence of rise time （a） and rupture velocity （b） on FAS of synthetic ground motion

3.3 破裂速度的影響

根據(jù)式（2），震源時(shí)間函數(shù)和上升時(shí)間描述一個(gè)子源的錯(cuò)動過程，各子源的錯(cuò)動過程按一定時(shí)滯疊加組成整個(gè)震源破裂面的破裂過程.下面研究子源疊加是否影響合成地震動的頻帶.為此，分別將破裂速度取為剪切波速的0.6，0.7，0.8，0.9，1.0 倍，計(jì)算破裂速度和破裂時(shí)間.采用Hartzell STF 和1.5 s 上升時(shí)間，采用圖1 中的整個(gè)有限斷層震源模型，合成點(diǎn)A的FN 分量地震動.不同破裂速度合成地震動的FAS 的比較，如圖9b 所示.從圖中可見，在0.1—0.5 Hz 范圍內(nèi)，F(xiàn)AS 隨破裂速度增加.這與預(yù)期相符，原因在于破裂速度越大，各子源地震動的時(shí)滯越小，合成地震動越強(qiáng).在1 Hz 以上高頻段，破裂速度對FAS 的影響不顯著.在0.5—1.0 Hz 范圍內(nèi)，破裂速度的影響規(guī)律與低頻段相反，分析發(fā)現(xiàn)，這是由于圖1 中均勻錯(cuò)動分布引起的有限斷層模型人為周期性.對于不均勻錯(cuò)動分布，人為周期性會大大減小.在實(shí)際地震動合成中，破裂速度對合成地震動可靠的頻帶寬度的影響較小.

4 討論與結(jié)論

FK 法是基于有限斷層震源模型的地震動合成方法，采用頻率波數(shù)域格林函數(shù)表達(dá)地震波在地殼介質(zhì)內(nèi)的復(fù)雜傳播過程，采用震源時(shí)間函數(shù)和上升時(shí)間描述子源的破裂過程，具有嚴(yán)密的理論基礎(chǔ).FK 法充分表達(dá)了地殼速度結(jié)構(gòu)對格林函數(shù)、子源地震矩、破裂時(shí)間和傳播時(shí)間的影響，更符合地震波傳播規(guī)律.格林函數(shù)的計(jì)算分析表明，F(xiàn)K 法的格林函數(shù)具有表達(dá)寬頻帶地震波傳播的能力.在計(jì)算格林函數(shù)時(shí)，時(shí)間步距、波數(shù)間隔以及零頻最大波數(shù)應(yīng)取值合理，以保證合成地震動的頻帶寬度、計(jì)算精度和計(jì)算效率，本文建議dt取0.02 s、dk取0.1、kmax取15、Nt按需取值.本文以品質(zhì)因子為例，分析了地殼速度結(jié)構(gòu)對合成地震動頻帶的影響.研究表明，地殼結(jié)構(gòu)影響地震動譜幅值的總體水平，但可靠的頻帶寬度不變.震源破裂過程的影響研究表明，F(xiàn)K 法的震源破裂過程能夠輻射寬頻帶地震波，這需要選取合適的震源時(shí)間函數(shù)、對上升時(shí)間和破裂速度進(jìn)行合理約束.震源時(shí)間函數(shù)對震源輻射地震波的頻譜成分具有控制性作用，應(yīng)滿足錯(cuò)動速率對稱性、譜洞、譜衰減速率等方面的要求，本文建議選用Hartzell STF 描述子源錯(cuò)動過程.上升時(shí)間和破裂速度影響合成地震動的譜幅值的總體水平，在可靠的頻率范圍內(nèi)沒有中間頻段缺失現(xiàn)象.子源地震動的疊加應(yīng)注意避免人為周期性的影響.總之，在合理約束震源上升時(shí)間和破裂速度、選用震源時(shí)間函數(shù)和地殼速度結(jié)構(gòu)模型時(shí)，F(xiàn)K 法合成地震動能夠表達(dá)寬頻帶范圍，在多分量寬頻帶地震動合成中有良好的應(yīng)用前景.