孔凡 韓仁杰 張遠進 李書進

摘要：提出了一種用于求解色噪聲和確定性諧波聯(lián)合作用下單自由度Bouc-Wen系統(tǒng)響應的統(tǒng)計線性化方法?；谙到y(tǒng)響應可分解為確定性諧波和零均值隨機分量之和的假定，將原滯回運動方程等效地化為兩組耦合的且分別以確定性和隨機動力響應為未知量的非線性微分方程。利用諧波平衡法求解確定性運動方程，利用統(tǒng)計線性化方法求解色噪聲激勵下的隨機運動方程。由此，可導出關于確定性諧波響應分量F ourier級數(shù)和隨機響應分量二階矩的非線性代數(shù)方程組。利用牛頓迭代法對上述耦合的代數(shù)方程組進行求解。數(shù)值算例驗證了此方法的適用性和精度。

關鍵詞：統(tǒng)計線性化;Bouc-Wen滯回模型;諧波平衡法;聯(lián)合激勵;牛頓迭代法

中圖分類號：0324;TU311.4

文獻標志碼：A

文章編號：10044523（ 2022）01-0082-11

DOI： 10.1638 5/j .cnki.issn.10044523.2022.01.009

引言

隨機振動分析方法已被廣泛地應用于工程科學的各個領域。由Booton[1]和Caughey[2]先后提出的統(tǒng)計線性化（ Statistical Linearization，SL）方法是解決非線性系統(tǒng)隨機振動常用的方法之一[3]。該方法同樣適用于分數(shù)階非線性系統(tǒng)[4]。最近，基于小波分析時域一頻域聯(lián)合分辨的概念[5]，作者與其合作者提出了時一頻域等效線性化方法，并將其應用于完全非平穩(wěn)隨機過程激勵下的非線性系統(tǒng)[6]。關于統(tǒng)計線性化方法最新進展的綜述，可參閱文獻[7]。

然而，某些情況下，工程結(jié)構會同時受到確定性周期和隨機激勵作用。例如，旋轉(zhuǎn)式飛機[8]經(jīng)常受到色噪聲和諧波激勵聯(lián)合作用;風力發(fā)電機的葉片對湍流的響應[9]等。因此，諧波與隨機激勵聯(lián)合作用下非線性系統(tǒng)響應的研究越來越受到廣大學者的關注[10-11]。在此背景下，人們提出了幾種解析和數(shù)值方法。這些方法通常利用各種確定性方法與隨機方法的組合求解耦合的確定性與隨機微分方程。其中，包括確定性線性化和高斯線性化或矩截斷方法的組合[12-14]、多尺度法與高斯線性化或矩截斷方法的組合[15-16]、多尺度法與隨機平均法的組合[17]、諧波平衡法與隨機平均法的組合[l8-19]、確定性平均法和統(tǒng)計線性化或高斯矩截斷方法的組合[20]諧波平衡法與高斯線性化或矩截斷方法的組合[21-22]、隨機平均法與統(tǒng)計線性化的組合[23]。此外，還可利用基于馬氏隨機過程的方法求解響應概率密度函數(shù)，以及考察聯(lián)合激勵下非線性系統(tǒng)的跳躍、分岔現(xiàn)象。即通過數(shù)值方法（如中心差分法[24]和路徑積分法[25]）或解析方法[26]求解隨機平均法得到的FP（ Fokker-Planck）方程或CK（ Chapman-Kolmogorov）方程;抑或直接根據(jù)原隨機動力系統(tǒng)的Ito隨機微分方程，用路徑積分法[27]或胞映射法[28]求解響應的概率密度函數(shù)。

從前面的文獻綜述可以看出，幾乎所有研究者都關注多項式非線性系統(tǒng)。例如Duffing[21，25]，Vander Pol[14.18]和Duffing-Rayleigh[15]振子。然而，非線性多項式并不能準確地描述材料在大變形情況下的滯回現(xiàn)象，即材料或構件的本構關系或力一位移曲線依賴于它的加載歷程。就本文作者所知，極少有研究者關注滯回系統(tǒng)在隨機與諧和聯(lián)合激勵作用下的響應。然而，在很多工程實際中卻會出現(xiàn)這種情況，如近斷層地震作用下的鉛芯橡膠隔震結(jié)構。

本文提出一種求解色噪聲和確定性諧波聯(lián)合作用下單白由度B ouc-Wen系統(tǒng)響應的統(tǒng)計線性化方法。該方法基于系統(tǒng)響應可分解為確定性諧波和零均值隨機分量之和的假定?；谠摷俣ǎ蓪⒃瓬剡\動方程等效地化為兩組耦合、分別以確定性和隨機動力響應為未知量的非線性微分方程。隨后，利用諧波平衡法求解確定性運動方程，并利用統(tǒng)計線性化方法求解色噪聲激勵下的隨機運動方程。由此，可導出關于確定性諧波響應分量Fourier級數(shù)和隨機響應分量二階矩的非線性代數(shù)方程組。利用牛頓迭代法對上述耦合的代數(shù)方程組進行求解。最后，數(shù)值算例驗證此方法的適用性。

1 動力學方程

單自由度Bouc-Wen系統(tǒng)在確定性諧波和隨機色噪聲聯(lián)合激勵下的運動方程為：

因此，諧波和隨機聯(lián)合激勵下的原運動方程（式（1））和滯回方程（式（2》可轉(zhuǎn)化為確定性微分方程（式（9）和（12））和隨機微分方程（式（10）和（13）），且二者之間是耦合的。下節(jié)中，將利用諧波平衡法求解確定性分量的Fourier系數(shù)。

2 諧波響應分量的諧波平衡法

結(jié)合式（16），（17）和（27），（28）可求解確定性響應Fourier級數(shù)Co，Do，Uo，Vo。然而，上述方程中除未知響應Fourier系數(shù)外還耦合有未知隨機響應特征值（ρ，σx，σz）。因此，還需要更多代數(shù)方程使上述方程組完備。下節(jié)中，將對式（IO）和（13）使用統(tǒng)計線性化方法以得到ρ，σx，σz;與C0，D0，U0，V0之間的其他代數(shù)關系。

3 隨機響應分量的統(tǒng)計線性化方法

將式（34）-（37）代入式（32）和（33），可知等效線性參數(shù)是隨時間呈諧和變化的，因為其中含有均值過程μx和μz（見式（14）和（7））?？紤]到當t→∞。時標準差σx與σz趨于循環(huán)平穩(wěn)（cyclo-stationary），可消除由μx和μz引起的快變性。所以，等效線性化參數(shù)可取一個周期（T0=2π/ω0）內(nèi)的平均值，即：

從上述分析可見，等效線性參數(shù)ce和ke由7個未知量C0，D0，U0，V0，σx，σz和ρ確定。可通過隨機振動的狀態(tài)空間法得出隨機參數(shù)σx，σz，ρ等效線性化參數(shù)ce和ke的聯(lián)系。

作為演示，假定隨機激勵的功率譜密度為[30]：

本文利用軟化和硬化B ouc-Wen系統(tǒng)驗證所提出方法的適用性。軟化B ouc-Wen系統(tǒng)的滯回參數(shù)取A=1，γ= 0.5，β= 0.5，n=1'a=0.1;硬化Bouc-Wen系統(tǒng)β= -0.35，），γ=0.65。本文所提方法與Monte Carlo模擬（Monte Carlo simulation，MCS）的結(jié)果對比如圖1，2所示。其中，MCS中，樣本激勵由譜表現(xiàn)方法生成。圖1是軟化B ouc-Wen系統(tǒng)響應的對比結(jié)果，可見本文提出方法得到的響應均值和標準差與10000個樣本的MCS所得結(jié)果總體吻合良好。注意到，MCS的方差在達到平穩(wěn)后仍出現(xiàn)類似簡諧的抖動，這是由于確定性和隨機響應耦合效應造成的，其中還包含響應樣本統(tǒng)計的隨機性因素。對達到平穩(wěn)后的MCS方差進行若干整數(shù)周期上的時間平均可得到響應方差呈現(xiàn)諧波變化的基線值，以下誤差分析均以該基線值為標準。圖1（a）所示的位移響應對比中，二者所得均值幅值相差 2.65%;圖l（b）中，方差達到平穩(wěn)后呈諧和變化的幅值較小，所建議方法得到的平穩(wěn)方差與MCS估計的平穩(wěn)方差相差約-13.85%。本文提出的方法涉及對等效線性參數(shù)的時間平均，抹去了響應方差的諧波變化特征，值得進一步改進。試算表明：諧波頻率一定時，幅值越大，或諧波幅值一定時，頻率越接近共振頻率，響應方差的諧波變化特征越明顯。

同樣地，所建議方法對硬化系統(tǒng)也有很好的計算精度，如圖2所示。具體而言，位移響應均值的幅值相差- 0.43%，平穩(wěn)方差相差-12.19%。以上誤差均在一般統(tǒng)計線性化方法的合理誤差范圍之內(nèi)。

5.1簡諧激勵頻率的影響

需要注意的是，在推導式（18），（19）和（34）～（37）的過程中，假定了 的值為小量。當

的值由0到1逐漸增大時，式（18），（19）和（34）-（37）的近似值與其精確值之間相差如附錄中圖Al--A3所示。當諧波激勵頻率接近系統(tǒng)白振頻率時，或諧波激勵幅值增大時，諧波響應分量

會增大。因此，討論諧波激勵在不同幅值與頻率下方法的適用性是非常重要的。圖3和4為諧波激勵幅值F0=0.8時，響應標準差（

）和確定性響應幅值隨簡諧激勵頻率的變化曲線?？梢?，該情況下由本文所建議方法求得的響應標準差與10000個樣本Monte Carlo模擬所得到的結(jié)果符合較好。

Monre Carlo模擬結(jié)果表明，當激勵的頻率等于非線性結(jié)構的白振頻率時，

和

達到峰值。當F0= 0.8時，二者的峰值分別為2.23和1.20。其中，兩種方法得出的響應最大差別如表l所示。由表可知，在整個頻率范圍內(nèi)，F(xiàn)0=0.8時，所建議方法的最大誤差均在一般統(tǒng)計線性化方法的合理誤差范圍內(nèi)。

進一步研究此方法對于硬化Bouc-Wen系統(tǒng)的適用性。同樣地，圖5和6為諧波激勵幅值為F0=0.3時，隨機響應分量標準差（ ）和諧和響應分量幅值隨諧波激勵頻率變化的曲線以及所建議方

可見，本文所建議方法與Monte Carlo模擬值在多數(shù)情況下吻合較好。當F0= 0.3時，和 的峰值分別為0.93和0.96。兩種方法所得結(jié)果的最大誤差列于表2中。結(jié)果表明，F(xiàn)0=0.3時的最大誤差均在一般統(tǒng)計線性化方法誤差的合理范圍內(nèi)。

5.2 簡諧激勵幅值的影響

顯然，諧波激勵的幅值影響

）和

）的大小，從而進一步影響所建議方法的精度。就此，采用ω0=1（共振），討論所建議方法精度與簡諧激勵幅值的關系。對軟化Bouc-Wen系統(tǒng)，圖7和8分別為隨機動力響應分量的標準差（

）和諧和響應分量幅值在簡諧激勵頻率為ω0=1時，隨簡諧激勵幅值變化的曲線。

計算表明，指標

）隨簡諧激勵幅值單調(diào)變化。當ω0=1時，二指標最大值分別為2.52和1.05。圖7，8同時給出了共振頻率下，指標小于閾值1時，簡諧激勵幅值的范圍。當二指標均小于預定閾值時，可視為滿足本文所設假定條件。此時，將所建議方法得到的結(jié)果與MonteCarlo模擬之間最大相對誤差列于表3中。結(jié)果表明，滿足本文所設假定條件時，建議方法的誤差均在一般統(tǒng)計線性化方法誤差的合理范圍內(nèi)。此外，簡諧激勵幅值等于0時，對應系統(tǒng)處于完全隨機激勵的情況。由圖7可知，ω0=1時，系統(tǒng)隨機位移分量的標準差隨著簡諧激勵幅值增大而增大，隨機速度和滯回位移分量的標準差隨簡諧激勵幅值增大而減小。由圖8可知，ω0=1時確定性總位移、速度和滯回位移幅值隨簡諧激勵幅值增大而增大。當簡諧激勵幅值處于假定應用范圍時，本文所建議方法和MC模擬得到的確定性響應幅值之間的差別極小;簡諧激勵幅值不處于假定應用范圍時，本文所建議方法也能準確地捕捉上述趨勢。

同樣地，對于硬化Bouc-Wen系統(tǒng)，圖9和10分別為隨機響應分量標準差（ ）和確定性響應幅值隨簡諧激勵幅值的變化曲線。圖中均給出了兩種方法在激勵頻率為ω0=1下的響應對比。

指標

的值隨簡諧激勵幅值增大而增大，相應地，所建議方法的精度變差。當ω0=1時，指標最大值分別為3.50和3.43。同樣地，圖9和10給出了指標滿足預定閾值時的簡諧激勵幅值區(qū)間。此時，將兩種方法所得結(jié)果的最大相對誤差列于表4中。指標滿足本文所做假定時，建議方法與Monte Carlo對比的相對誤差在一般統(tǒng)計線性化方法的合理誤差范圍內(nèi)。同樣地，隨機響應分量標準差和確定性響應分量幅值均隨簡諧響應幅值有各白的變化趨勢，本文所建議方法均能在假定適用范圍內(nèi)較好地捕捉這一趨勢。

6 結(jié)論

本文提出了一種求解Bouc-Wen滯回系統(tǒng)在確定性諧波與色噪聲聯(lián)合激勵作用下的統(tǒng)計線性化方法。該方法基于系統(tǒng)響應可分解為確定性諧波和零均值隨機分量之和的假定?；谠摷俣ǎ瑢⒃瓬剡\動方程等效地化為了以確定性和隨機動力響應為未知量的兩組耦合的非線性微分方程。隨后，利用諧波平衡法求解了確定性運動方程，并利用統(tǒng)計線性化方法求解了色噪聲激勵下的隨機運動方程。由此，導出了關于確定性諧波響應分量Fourier級數(shù)和隨機響應分量二階矩的非線性代數(shù)方程組。利用牛頓迭代法求解了上述耦合的代數(shù)方程組。最后，數(shù)值算例驗證了此方法的適用性?？疾炝塑浕疊 ouc-Wen系統(tǒng)和硬化Bouc-Wen系統(tǒng)在不同激勵幅值和共振與非共振情況下的響應。結(jié)果表明了幾乎在所有滿足適用性條件的情況下，此方法都有合理的精度。注意到，本文提出采用統(tǒng)計線性方法求解聯(lián)合激勵下滯回系統(tǒng)的隨機動力響應，與基于馬爾可夫過程的方法相比，在犧牲了一定精度的情況下，大大拓展了該方法的適用性范圍。因此，更適合于求解工程隨機動力系統(tǒng)近似響應。

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