肖斌

拋物線是重要的圓錐曲線之-，在高考中多與其他曲線-起綜合命題，大小題型都可能出現(xiàn)。選擇題和填空題命題的重點(diǎn)多為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及簡(jiǎn)單的最值問題;解答題多為拋物線與圓的綜合性問題，互相滲透，各有側(cè)重?？v觀近五年高考全國卷，拋物線解答題深λ挖掘教材，依托經(jīng)典背景，聚焦主干知識(shí)，考查關(guān)鍵能力，靈動(dòng)多變，精彩紛呈，出現(xiàn)的頻率已經(jīng)不亞于橢圓。比如2021年全國卷高考數(shù)學(xué)有四個(gè)類別共6套試卷，而命制拋物線解答題的多達(dá)4套。其中全國甲卷理數(shù)第20題、文數(shù)第21題是一道以高等數(shù)學(xué)中的彭賽列定理為背景，將拋物線核心知識(shí)與圓、直線交匯滲透的探究類解答題，文理同題，分別作為次壓軸題和壓軸題出現(xiàn)。全國乙卷理數(shù)第21題是以高考中考查多次的阿基米德三角形性質(zhì)為背景，創(chuàng)設(shè)新的問題情境，考查用同構(gòu)思想構(gòu)建切點(diǎn)弦方程、用配方法求阿基米德三角形面積最值的拋物線試題;全國乙卷文數(shù)第20題是一道用均值不等式研究直線斜率最值的拋物線大題，活而不難，但易出錯(cuò)。2021年僅全國新高考工卷、Ⅱ卷解析幾何解答題分別考查雙曲線及橢圓（涉及圓）。若再調(diào)研之前的2016年至2020年全國I卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷，我們發(fā)現(xiàn)：這五年間理科數(shù)學(xué)15套試卷中，考查橢圓解答題的有10套（其中橢圓與拋物線結(jié)合問題、橢圓與圓結(jié)合問題各1套），考查拋物線解答題的有6套（其中橢圓與拋物線結(jié)合問題、拋物線與圓結(jié)合問題各1套）;這五年間文科數(shù)學(xué)的15套試卷中，考查橢圓解答題的有7套（其中橢圓與拋物線結(jié)合問題1套），考查拋物線解答題的有9套（其中拋物線與橢圓結(jié)合問題1套、拋物線與圓結(jié)合問題3套）。這些數(shù)字說明，拋物線與橢圓交替出現(xiàn)，平分秋色，頻繁亮相于高考最后三道把關(guān)大題之中。請(qǐng)同學(xué)們關(guān)注這些新熱點(diǎn)、新動(dòng)向，觸類旁通，積極應(yīng)對(duì)。

一、經(jīng)典基礎(chǔ)題-拋物線的定義及其幾何性質(zhì)問題

對(duì)拋物線的定義及其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的考查，通常出現(xiàn)在選擇題、填空題中間偏后的位置，以中檔難度居多。有時(shí)也出現(xiàn)在小題靠前的位置或大題的第一問中，屬于簡(jiǎn)單的必得分題。

高頻考點(diǎn)一拋物線的定義

命題方向1利用“拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離”進(jìn)行線段等量轉(zhuǎn)移

例1（2017年全國Ⅱ卷理數(shù)第16題）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，M是拋物線C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N。若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|=

解析：不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限。設(shè)拋物線的準(zhǔn)線L與x軸交于點(diǎn)F′，即FF′⊥L于點(diǎn)F。

作MB⊥L于點(diǎn)B，作NA⊥L于點(diǎn)A。

因?yàn)镸為FN的中點(diǎn)，所以線段BM為直角梯形AF'FN的中位線。

易得準(zhǔn)線1的方程為x=-2，于是|AN|=2，|F'F|=4。

在直角梯形AF′FN中，中位線之長(zhǎng)由拋物線的定義，得MF|=|MB=3。

由M為FN的中點(diǎn)，得|MN|=|F|=3。

故|FN|=|FM|+|MN|=3+3=6。

命題方向2利用拋物線的定義求解焦半徑問題

例2（2021年高考北京卷第12題改編）設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若FA+FB+FC=0，則|FA|+|FB|+|FC|=

解析：因?yàn)镕A+FB+FC=0，所以焦點(diǎn)F（1，0）為△ABC的重心，A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為點(diǎn)F的橫坐標(biāo)的三倍，即xA+xB+xc=3。

由拋物線的定義知，拋物線上的點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線x=-1的距離，即|FA|=|FA|=xA-（-1）=xA+1。同理可得|FB|=xB+1，|FC|=xc+1。

故|FA|+IFB|+|FC|=xA+1+xB+1+xc+1=6。

命題方向3利用拋物線的定義解決焦點(diǎn)弦問題

例3（2017年全國I卷理數(shù)第10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線11，L2，直線L1與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線L？與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，則川AB+|DE的最小值為（）。

A.16

B.14

C.12

D.10

解析：設(shè)直線AB的傾斜角為α，則直線故|AB|+|DE|的最小值為16，選A。

反思升華：已知F是拋物線y2=2px（衛(wèi)》0）的焦點(diǎn)，PQ為過焦，點(diǎn)的弦，其中P（x1，y1），Q（x2，y2），y1》y2，且弦PQ所在直線的傾斜角為0，對(duì)于焦半徑PF、QF，及焦，點(diǎn)弦PQ，有以下重要結(jié)論：

對(duì)稱軸的焦，點(diǎn)弦稱為通徑，其長(zhǎng)為2衛(wèi)，易得通徑是最短的焦，點(diǎn)弦）;

③斜率式，|PQ|=2p+2衛(wèi)k2（為直線PQ的斜率）。

高頻考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種情形，其對(duì)應(yīng)圖形、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、取值范圍、開口方向、焦半徑等重要的幾何性質(zhì)可歸納為表1，同學(xué)們應(yīng)在數(shù)形結(jié)合、異同對(duì)比的基礎(chǔ)上，熟練掌握并運(yùn)用。

考查拋物線幾何性質(zhì)的高考試題，常聚焦于模塊內(nèi)或模塊間的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合性考查，大多涉及拋物線的多個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，甚至與直線、圓、橢圓、雙曲線等其他解析幾何的主干知識(shí)交匯考查

命題方向1與拋物線的對(duì)稱性有關(guān)的問題

例4（2020年全國Ⅲ卷理數(shù)第5題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：y=2px（p》0）交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）。

反思升華：本題的常用解法是聯(lián)立直線與拋物線方程，求出D，E兩，點(diǎn)的坐標(biāo)，然后從直線的斜率角度（或向量的數(shù)量積角度）去處理，即用kD·koE=-1（或OD·O尼=0）去處理。而此解法獨(dú)辟蹊徑，巧用拋物線的對(duì)稱性獲得更簡(jiǎn)便的解法。

命題方向2拋物線的幾何性質(zhì)與圓的基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合問題

例5（2017年高考天津卷文數(shù)第12題）設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為1。已知點(diǎn)C在L上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A。若∠FAC=120°，則該

圓的方程為

解析：（解法一，利用向量夾角公式）易知焦點(diǎn)為F（1，0）。設(shè)圓心為C（-1，m），則A（0，m），AC=（-1，0），AF=（1，-m）。

故圓心為C（-1，/3），半徑為1，圓的方程為（x+1）2+（y-3）2=1。

（解法二，數(shù)形結(jié)合法）易知焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線1的方程為x=-1。

由圓心C在準(zhǔn)線L上，且圓C與y軸的正半軸相切，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1，圓的半徑為1，∠CAO=90°

又因?yàn)椤螰AC=120°，所以∠OAF=30°，|OA|=3。故圓心為C（-1，3），半徑為1，圓的方程為（x+1）2+（y-3）2=1。

命題方向3拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合問題

例6（2021年上海市春季高考第11

題）已知橢圓x+，-1（0《6《1）的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，以O(shè)為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)作拋物線交橢圓于P，且∠PF1F2=45°，則拋物線的準(zhǔn)線方程是

解析：設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），c》0，則拋物線方程為y2=4cx，其準(zhǔn)線方程為x=-c。

不妨設(shè)P在第一象限，易得直線PF，的斜率為tan45°=1，其方程為y=x+c。

由橢圓的定義得PF，+PF，-（2/2+2）c=2，解得c=2-1。

故拋物線的準(zhǔn)線方程為x=1-2。命題方向4拋物線的幾何性質(zhì)與雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合問題

例7（2012年高考山東卷試題改編）

點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為

則雙曲線的漸近線為

故拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=16y。

二、經(jīng)典主干題-直線與拋物線的位置關(guān)系問題

高頻考點(diǎn)一向量知識(shí)在直線與拋物線相交問題中的滲透

例8（2018年全國I卷理數(shù)第8題）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（-2，20）且斜率為3的直線與拋物線C交于M，V

解析：由題意得，直線MN的方程為y-

反思升華：本題也可設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），用韋達(dá)定理法“設(shè)而不求”得到x1+x2=5，x1x2=4去處理。

高頻考點(diǎn)二

拋物線的焦點(diǎn)弦（或一般弦）問題

命題方向1

拋物線的焦點(diǎn)弦（或一般弦）的斜率問題

例9（2021年上海夏季高考卷）已知拋物線y2=2px（p》0），若第一象限的點(diǎn)A、B在拋物線上，拋物線焦點(diǎn)為F，|AF=2，BF=4，|AB|=3，則直線AB的斜率為

解析：注意理解與靈活應(yīng)用拋物線的定義以及直線的斜率公式的特征，可得多種解法。

（解法一）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題設(shè)知B在A的右上方，即x2》x1，y2》y1。

故直線AB的斜率為

（解法二）過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1、B1。

作AH⊥BB1，垂足為H。

設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為P，由拋物線的定義，得|AA1|=|AF|=2，|BB，|=|BF|=4。

則|BH|=|BB1|-|HB1|=|BB，|-AA1=2。

反思升華：解法一，注意到直線斜率的坐標(biāo)公式特征，利用拋物線的焦半徑公式及兩點(diǎn)間的距離公式，分別整體求出點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)的差與縱坐標(biāo)的差后獲解;解法二，利用她物線的定義及平面幾何的性質(zhì)處理;解法三，利用拋物線的定義表達(dá)出焦半徑，然后整體相減得到點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)的差，最后利用弦長(zhǎng)公式求出直線AB的斜率。

命題方向2求拋物線的焦點(diǎn)弦（或一般弦）所在直線方程問題

例10（2018年全國Ⅲ卷理數(shù)第16題改編）已知點(diǎn)M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)。若∠AMB=90°，則直線L的方程為

解析：（解法一，韋達(dá)定理法）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）。拋物線C的焦點(diǎn)為F（1，0），顯然直線1的斜率不為0，故可設(shè)1的方程為x=my+1。

故直線l的方程為2x-y-2=0。（解法二，點(diǎn)差法和拋物線定義法）易知F的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)A（1，y1），B（x2，y2）。則y=4x1，y號(hào)=4x2，相減得：（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）。

又M'為線段AB的中點(diǎn)，所以M為線段A'B'的中點(diǎn)，MM'平行于x軸，yo=1。

于是y1+y2=2，k=2。

故直線L的方程為2x-y-2=0。（解法三，阿基米德三角形性質(zhì)“秒殺”法）易知拋物線C的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，M（-1，1）在準(zhǔn)線上。連接

MF，由阿基米德三角形性質(zhì)，得MF⊥AB。

易得直線MF的斜率為-2，故直線AB的斜率為2，其方程為2x-y-2=0。

反思升華：圓錐曲線的弦與過弦的端，點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫作阿基米德三角形。過拋物線上A，B兩，點(diǎn)作拋物線的切線，兩條切線相交于P，則稱△ABP為拋物線的阿基米德三角形。若AB恰為過拋物線焦點(diǎn)的弦，則△ABP有以下重要性質(zhì)：（1）交點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上;（2）△ABP為直角三角形，且PA⊥PB;（3）PF⊥AB。對(duì)于任意圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）中的阿基米德三角形均有以下特，點(diǎn)：過某一焦，點(diǎn)F作直線與圓錐曲線交于A，B兩，點(diǎn)，分別過A，B兩，點(diǎn)作切線，兩條切線相交于P，則交點(diǎn)P必在該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上。近年來，以阿基米德三角形作為數(shù)學(xué)文化背景的高考題、模擬題層出不窮，?？汲Ｐ隆?/p>

命題方向3與拋物線的焦點(diǎn)弦（或般弦）相關(guān)的三角形或四邊形面積問題

例11（2020年四川省巴中中學(xué)高二期末試題）拋物線y=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)。

（1）若AF=2FB，求直線AB的斜率;

（2）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O

關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值。

解析：（1）依題意知F（1，0）。設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），顯然直線AB的斜率不為0，設(shè)其方程為x=my+1。

代λy2=4x，得y2-4my-4=0。所以y1+y2=4m，y1y2=-4。①因?yàn)锳F=2FB，所以y1=-2y2。②

故直線AB的斜率為士2/2。

（2）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，知M是線段OC的中點(diǎn)，點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線

AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于△AOB的面積的2倍。

所以當(dāng)m=0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4，此時(shí)直線AB⊥x軸。

反思升華：對(duì)人教A版選修2-1中P69例4、P70例5深λ挖掘，可得到拋物線焦，點(diǎn)

弦的重要性質(zhì)，以此為背景的問題在高考題和模擬題中比比皆是。設(shè)經(jīng)過拋物線y-2px（p》0）的焦，點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原，點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2），y1》y2，且直線AB的傾斜角為0。當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k。

設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為L(zhǎng)，作AAL于點(diǎn)A，作BB′⊥L于點(diǎn)B'。設(shè)焦，點(diǎn)弦AB的中，點(diǎn)為M，作MM'⊥L于，點(diǎn)M'，則有：

≥2力，特別地，通常將垂直于對(duì)稱軸的焦，點(diǎn)弦稱為通徑，其長(zhǎng)為2衛(wèi)，易見通徑是最短的焦，點(diǎn)弦;

（5）相切關(guān)系，以焦半徑AF、BF為直徑的圓與y軸相切，以焦，點(diǎn)弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;

（6）直角關(guān)系，∠AM'B與∠A'FB均為直角;

（7）三，點(diǎn)共線關(guān)系，A，O，B及B，O，A均滿足三，點(diǎn)共線。

高頻考點(diǎn)三拋物線的中點(diǎn)弦（或弦中點(diǎn)）問題

命題方向1拋物線的中點(diǎn)弦位置關(guān)系問題

例12（2015年高考四川卷理數(shù)第10題）設(shè)直線1與拋物線y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓C：（x-5）2+y2=r2（r》0）相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)。若這樣的直線1恰有4條，則r的取值范圍是（）。

A.（1，3）

B.（1，4）

C.（2，3）

D.（2，4）

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）。

當(dāng)直線L的斜率不存在，即x1=x2時(shí)，符合條件的直線1必有兩條。

當(dāng)直線l的斜率存在，即x1≠x2時(shí)，yo≠0，因M為線段AB的中點(diǎn)，故y1+y2=2y0。

解得xo=3。

因?yàn)镸在拋物線的內(nèi)部，所以y《4xo=12。

由yo≠0，得0《y8《12。

因?yàn)镸（3，yo）在圓上，所以（3-5）2+y=r2，即y=r2-4。

因此，0《r2-4《12。

又r》0，解得2《r《4，選D。

反思升華：點(diǎn)M（xo，yo）在拋物線y2=2px（p》0）內(nèi)臺(tái)y6《2px0;點(diǎn)M（x0，y0）在拋物線y2=2px（p》0）上曰y=2px0;，點(diǎn)M（x0，yo）在地物線y2=2px（p》0）外臺(tái)y>2px0。

命題方向2拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某條直線對(duì)稱問題

例13（2016年高考江蘇卷第22題）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線1：x-y-2=0，拋物線C：y2=2px（p》0）。

（1）若直線1過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程。

（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線L對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q。

①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2-衛(wèi)，

②求衛(wèi)的取值范圍。

故拋物線C的方程為y2=8x。

（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），線段PQ的中點(diǎn)M（xo，yo）。

因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線1對(duì)稱，所以直線L垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為-1。

可設(shè)其方程為y=-x+b。

反思升華：第二問中“求衛(wèi)的取值范圍”的策略通常被稱為“一等一不等法”。所謂“一等”是指“弦PQ的中點(diǎn)M在對(duì)稱軸L上”;“-不等”是指“直線PQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則△》0”。此題也可由“點(diǎn)差法”處理。

三、經(jīng)典能力題—以拋物線為載體的壓軸題或次壓軸題

高頻考點(diǎn)一拋物線與其他曲線的交匯問題命題方向1拋物線與圓的交匯問題例14（2017年全國Ⅲ卷理數(shù)第20題）已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)（2，0）的直線

L交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓。

（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;

（2）設(shè)圓M過點(diǎn)P（4，-2），求直線L與圓M的方程。

解析：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），顯然直線L的斜率不為0，可設(shè)直線L的方程為x=my+2。

故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上。

（2）由（1）可得y1+y2=2m，x1+x2=m（y1+y2）+4=2m2+4。

由（1）得x1x2=4，y1y2=-4。

當(dāng)m=1時(shí)，直線1的方程為x-y-2=

0，M的坐標(biāo)為（3，1），圓M的半徑為/10，圓M的方程為（x-3）2+（y-1）2=10。

反思升華：由人教A版選修2-1中P73

第6題、P81第3題引申拓展，可得拋物線中以坐標(biāo)原，點(diǎn)○為直角頂，點(diǎn)的內(nèi)接直角三角形的重要性質(zhì)。設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線C：y2=2px（p≠0）上的點(diǎn)，O是坐標(biāo)原，點(diǎn)，且滿足∠AOB=90°，則有：（1）x1x2=4p2，y1y2=-4p2，即A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之積均是定值;（2）直線AB必過定點(diǎn)（2p，0）。本題第一小問是以此經(jīng)典性質(zhì)為背景逆向命制的，植根教材，銳意創(chuàng)新。

命題方向2

拋物線與橢圓的交匯問題

例15（2020年全國Ⅱ卷理數(shù)第19焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，橢圓C1的中心與拋物線C？的頂點(diǎn)重合。過F且與x軸重直的直線交橢圓C1于A，B兩點(diǎn)，交拋物線C：于C，D兩點(diǎn)，且CD-專AB。

（1）求橢圓C1的離心率;

（2）設(shè)M是橢圓C1與拋物線C2的公共

點(diǎn)，若MF|=5，求橢圓C1與拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解析：（1）由題意可設(shè)C2的方程為y2=4cx，其中c=/a2-b2。

不妨設(shè)A，C在第一象限，由題設(shè)得A，又拋物線C2的準(zhǔn)線方程為x=-c，則物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x。

反思升華：本題是一道拋物線與橢圓的交匯問題，考查了構(gòu)建齊次方程求橢圓的離心心率以及利用待定系數(shù)法和定義法求她物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查的知識(shí)，點(diǎn)很常見，題號(hào)也由最后兩道大題前移至第19題，此舉有利于避免考場(chǎng)上同學(xué)們見到解析幾何大題就頭疼、干脆放棄的現(xiàn)象。

高頻考點(diǎn)二定值問題

例16（2018年高考北京卷理數(shù)第19題）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）。

過點(diǎn)Q（0，1）的直線1與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于點(diǎn)M，直線PB交y軸于點(diǎn)N。

（1）求直線1的斜率的取值范圍;

解析：（1）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得=2。

所以拋物線的方程為y2=4x。

由題意可知，直線的斜率存在且不為

依題意△=（2k-4）2-4×k2×1》0，且k≠0，解得k《0或0k1。

又PA，PB與y軸相交，故直線L不過點(diǎn)（1，-2），從而k≠-3。

所以直線L的斜率的取值范圍是（-∞，-3）U（-3，0）U（0，1）。

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）。由（1）知直線PA的方程為

同理，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為

反思升華：定值問題求解的基本策略是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導(dǎo)和已知條件，消去變量，得到定值。為幫助記憶，可編成口訣：定值問題莫畏難，參數(shù)思想能通天;變量表示不變量，特殊引路證一般;斜率、點(diǎn)、角作參數(shù)，“設(shè)參”“用參”和“消參”;“三板斧”開路顯神功，勢(shì)如破竹當(dāng)先鋒。

高頻考點(diǎn)三動(dòng)點(diǎn)問題

例17（2021年四川省巴中市名校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C：y=2px（p》0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（3，yo）在拋物線C上，且|AF=4。

（1）求拋物線C的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)。

（2）已知直線1與拋物線相交于不同兩

點(diǎn)M、N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠MON=90°，求證直線恒過某定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

所以拋物線C的方程為y2=4x。

因?yàn)辄c(diǎn)A（3，yo）在拋物線C上，所以y=12→y。=士2/3，可得A（3，士23）。

（2）（解法一，韋達(dá)定理法）由題意知，直線L的斜率不為0，設(shè)直線L的方程為x-ty+n（n≠0）。

與拋物線的方程聯(lián)立，得y2-4ty-4n=0。設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），顯然x1，y1，x2，y2均不為0。

則△=16t2+16n》0，y1y2=-4n。

滿足△=16t2+64》0，則直線1的方程為x=ty+4。

故直線L恒過x軸上-定點(diǎn)（4，0）。（解法二，點(diǎn)差法）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則y=4x1，y2=4x2。

因?yàn)椤螹ON=90°，所以O(shè)M·ON=x1x2+y1y2=0。

又y1=4x1，y2=4x2，相減得：（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）。

所以直線L的方程為

此時(shí)直線1恒過定點(diǎn)（4，0）。

當(dāng)x1=x2，即L⊥x軸時(shí)，不妨假定點(diǎn)M在x軸上方、點(diǎn)N在x軸下方。

由拋物線的對(duì)稱性及∠MON=90°，易得M（4，4），N（4，-4）。

此時(shí)直線1的方程為x=4，也過定點(diǎn)（4，0）。

綜上，直線1恒過定點(diǎn)（4，0）。

反思升華：本題由人教A版選修2-1中P73第5題、第6題改編而成，可由韋達(dá)定理法或，點(diǎn)差法求解，它植根教材，凸顯主千，貼近高考?？上葘⒁C明的過定，點(diǎn)的直線方程表示為某參數(shù)的直線系方程的形式，再由直線系方程求出定，點(diǎn)。一般地，若得到直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=（x-xo），則直線必過定點(diǎn)（x0，yo）;若得到直線方程的斜截式y(tǒng)=kx+b，則直線必過定，點(diǎn)（0，b）。

高頻考點(diǎn)四探索性問題

例18（2019年全國I卷文數(shù)第21題）已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|=4，圓M過點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切。

（1）若點(diǎn)A在直線x+y=0上，求圓M的半徑。

（2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)

時(shí)，|MA|-MP|為定值？并說明理由。

解析：（1）因?yàn)閳AM過點(diǎn)A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上。

已知A在直線x+y=0上，且A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以M在直線y=x上，可設(shè)M（a，a）。

因?yàn)閳AM與直線x+2=0相切，所以圓M的半徑為r=|a+2|。

由已知得|AO|=2。又MòLAò，故2a2+4=（a+2）2，解得a=0或a=4。

故圓M的半徑r=2或r=6。

（2）存在定點(diǎn)P（1，0），使得|MA|-IMP|為定值。

理由如下：設(shè)M（x，y），由已知得圓M的半徑為r=|x+2|，|AO|=2。

由于Mδ⊥Aδ，故可得x2+y2+4=（x+2）2，化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為y2=4x。

因?yàn)榍€C：y2=4x是以點(diǎn)P（1，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，所以|MP|=x+1。

因?yàn)閨MA|-|MP|=r-|MP|=（x+2）-（x+1）=1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P。

反思升華：求解是否存在性探索題的基本思路遵循“三部曲”：假設(shè)存在-演繹推理-得出結(jié)論（或與結(jié)論矛盾）。

高頻考點(diǎn)五最值與取值范圍問題圓錐曲線中最值問題的基本解法一般有兩種：-是幾何法，即利用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)性質(zhì)求最值;二是代數(shù)法，即將圓維曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用配方法、基本不等式或三角函數(shù)的有界性獲解。

命題方向1化歸為二次函數(shù)求最值或取值范圍

例19（2021年全國乙卷理數(shù)第21題）已知拋物線C：x2=2py（p》0）的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4。

（1）求衛(wèi)的值;

（2）若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是拋物

線C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值。

圓M的圓心為M（0，-4），半徑為1，則則切線PA的方程為

同理，得切線PB的方程為

于是A（x1，y1），B（x2，y2）的坐標(biāo)都滿足方程x0x-2y-2yo=0，直線AB的方程為xox-2y-2yo=0。

點(diǎn)P到直線AB的距離點(diǎn)P在圓M上，故x-4yo=1-（yo+4）2-4y0=-y-12y-15=-（y0+6）2+21。

由已知可得-5≤y?！?3，所以當(dāng)y。=-5時(shí)，x-4y0取得最大值20。

故當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-5）時(shí)，△PAB的面積取得最大值205。

反思升華：本題是以阿基米德三角形為

深刻的數(shù)學(xué)文化背景命制出的精彩好題，它將拋物線、圓等解析幾何主體知識(shí)與求切，點(diǎn)弦方程的同構(gòu)思想、求二次函數(shù)最值的配方法等思想方法融于-體，既體現(xiàn)出高考命題的優(yōu)秀選拔功能，更彰顯著數(shù)學(xué)文化的德育教育作用。

命題方向2利用兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系求最值或取值范圍

例20（2021年高考浙江卷第21題）如圖1，已知F是拋物線y2=2px（p》0）的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且|MF=2。

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若斜率為2的直線L與直線MA，MB，AB，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且滿足|RN=PN·QN，求直線L在x軸上截距的取值范圍。

解析：（1）由題意知力=|MF|=2，故拋物線的方程為y2=4x。

（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+1（≠2），設(shè)A（x1y），B（xy），直線AB的方程代λ拋物線方程，得y2-4ty-4=0。

所以y1+y2=4t，y1y2=-4。

直線MA的方程為

設(shè)直線1的方程

反思升華：解決第二問的關(guān)鍵是將線段截距s的取值范圍。一般地，利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系，將新參數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為已知參數(shù)的范圍問題。

（責(zé)任編輯 徐利杰）