【摘 要】 本文通過(guò)對(duì)近三年立體幾何考查內(nèi)容分析、學(xué)生在立體幾何中存在問(wèn)題剖析和2022年高考立體幾何10大熱點(diǎn)問(wèn)題預(yù)測(cè)等方面進(jìn)行闡述，供考前備考參考.

【關(guān)鍵詞】 立體幾何;核心素養(yǎng);全國(guó)卷;熱點(diǎn)預(yù)測(cè)

立體幾何研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的主要內(nèi)容之一，其內(nèi)容包含立體幾何初步和空間向量?jī)刹糠? 對(duì)于立體幾何初步單元，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[1]要求學(xué)生以長(zhǎng)方體為載體，認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系;用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證;了解一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法;運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念[2]. 對(duì)于空間向量單元，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，利用類比的方法理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量的共性和差異，運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會(huì)向量方法和綜合幾何方法的共性和差異，運(yùn)用向量方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，感悟向量是研究幾何問(wèn)題的有效工具[3].下面我們從近三年考查立體幾何內(nèi)容分析、學(xué)生在立體幾何中存在問(wèn)題剖析和2022年高考立體幾何10大熱點(diǎn)問(wèn)題預(yù)測(cè)等方面進(jìn)行闡述，供考前備考參考.

1 近三年考查內(nèi)容分析

1.從近年來(lái)全國(guó)各套高考數(shù)學(xué)試題來(lái)看，立體幾何一般包括二至三道客觀小題，一道兩問(wèn)的主觀解答題，總分在22～27分之間，約占全卷總分的15%～18%，難度整體上相對(duì)保持穩(wěn)定，難易適中，分文理科的題目相同，順序微調(diào)，或者題干條件相同，問(wèn)題稍有區(qū)別，難度差逐漸縮小，有利于文理同卷的平穩(wěn)過(guò)渡.要求學(xué)生在不同的問(wèn)題情景中，運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證和度量計(jì)算等認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)，能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關(guān)系的想象力，建立空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)[4，5].客觀題以單項(xiàng)選擇題、多項(xiàng)選擇題或填空題呈現(xiàn)，除了涉及三視圖，空間圖形翻折，數(shù)學(xué)文化時(shí)給出圖形外，其它情形一般不給出圖形，主要考查畫(huà)圖、識(shí)圖和用圖的能力，側(cè)重于簡(jiǎn)單幾何體（柱、錐、臺(tái)，球）或簡(jiǎn)單組合體基本量的計(jì)算，相關(guān)性質(zhì)的考查等;主觀解答題以簡(jiǎn)單幾何體（柱、錐、臺(tái)）或不規(guī)則幾何體為載體，主要采用“一半證明、一半計(jì)算”相結(jié)合的模式，第一問(wèn)側(cè)重考查位置關(guān)系的證明，以垂直證明題型為主，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，第二問(wèn)側(cè)重度量關(guān)系的計(jì)算，以角或距離的運(yùn)算為主，解題方法一般包含綜合幾何方法或空間向量方法等兩種以上的計(jì)算方法，要求學(xué)生靈活地選擇解題方法，從不同的角度解決立體幾何問(wèn)題，其中一定有一種空間向量方法，要求學(xué)生能夠運(yùn)用空間向量解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)用空間向量解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路.

2.近三年全國(guó)卷考查內(nèi)容分析

年份卷別題號(hào)考? 點(diǎn)載體（有無(wú)圖形）分值

2021

新高考Ⅰ卷

3條件：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題：求母線長(zhǎng)圓錐（無(wú)）

12條件：正三棱柱、向量問(wèn)題（動(dòng)態(tài)開(kāi)放，定值，定性）：三角形周長(zhǎng)，體積，直線與直線垂直，直線與平面垂直正三棱柱（無(wú)）

20條件：三棱錐，等腰三角形側(cè)面與底面垂直

問(wèn)題：（1）異面直線垂直;（2）已知底面為含30度直角三角形，45度二面角，求三棱錐的體積有一側(cè)面與底面垂直的三棱錐（有）22分

新高考Ⅱ卷

4條件（數(shù)學(xué)建模）：球、三角函數(shù)問(wèn)題：求面積比球（無(wú)）

5條件：正四棱臺(tái)底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱長(zhǎng)問(wèn)題：求四棱臺(tái)體積正四棱臺(tái)（無(wú)）

11條件：正方體問(wèn)題：判斷直線與直線垂直正方體（有）

19條件：底面為正方形的四棱錐，棱長(zhǎng)問(wèn)題：（1）證明側(cè)面與底面垂直;（2）求二面角的余弦值四棱錐（有）27分

全國(guó)甲卷理科

6條件：切割正方體，正視圖問(wèn)題：側(cè)視圖切割正方體（有）

8條件（數(shù)學(xué)建模）：切割直三棱柱、解三角形問(wèn)題：求高度差切割直棱柱（有）

11條件：球面內(nèi)接側(cè)棱相等，底面為直角三角形的三棱錐問(wèn)題：三棱錐的體積球面三棱錐（無(wú)）

19條件：直三棱柱，有一側(cè)面為正方形，底面等腰三角形，線段中點(diǎn)，異面直線垂直

問(wèn)題：（1）證明異面直線垂直;（2）求無(wú)棱二面角正弦的最小值直三棱柱（有）27分

全國(guó)甲卷文科

7正方體切割、三視圖（同理科6）切割正方體（有）

14條件：圓錐，體積問(wèn)題：求側(cè)面積圓錐（無(wú)）

19條件：直三棱柱、有一側(cè)面為側(cè)面條件：正方形，底面等腰三角形，線段中點(diǎn)，異面直線垂直

問(wèn)題：（1）證明三棱錐體積;（2）求異面直線垂直直三棱柱（有）22分

全國(guó)乙卷理科

5條件：正方體，線段中點(diǎn)? 問(wèn)題：求異面直線所成角正方體（無(wú)）

16條件：三棱錐，正視圖? 問(wèn)題：側(cè)視圖，俯視圖三棱錐（有）

18條件：側(cè)棱與底面垂直，底面為矩形的四棱錐，線段中點(diǎn)，異面垂直問(wèn)題：（1）求線段長(zhǎng);（2）求二面角的正弦值

側(cè)棱與底面垂直的四棱錐（有）22分

全國(guó)乙卷文科

10同理科5

16同理科16

18條件：側(cè)棱與底面垂直，底面為矩形的四棱錐，線段中點(diǎn)，異面直線垂直問(wèn)題：（1）證明平面與平面垂直;（2）已知線段長(zhǎng)度，求四棱錐的體積側(cè)棱與底面垂直的四棱錐（有）22分

2020

新高考Ⅰ卷

4條件：地球;數(shù)學(xué)文化問(wèn)題：直線與平面所成角球（有）

16條件：底面為兩個(gè)正三角形組成的菱形，側(cè)面與底面垂直的直四棱柱;球

問(wèn)題：弧長(zhǎng)組合體（無(wú)）20條件：側(cè)棱與底面垂直，底面為正方形的四棱錐問(wèn)題：（1）證明直線與平面垂直;（2）求直線與平面所成角正弦最大值四棱錐（有）22分

海南卷（同新高考Ⅰ卷）22分

全國(guó)Ⅰ卷理科

3條件：正四棱錐，數(shù)學(xué)文化問(wèn)題：線段長(zhǎng)度比正四棱錐（有）

10條件：球;高與底面棱長(zhǎng)相等的三棱錐問(wèn)題：球的表面積球（無(wú)）

16條件：底面為含30度的直角三角形的棱錐展開(kāi)圖問(wèn)題：求角的余弦值三棱錐（有）

18條件：軸截面為正三角形的圓錐;線段長(zhǎng)度關(guān)系;

問(wèn)題：（1）證明直線與平面垂直;（2）求二面角的余弦值圓錐（有）27分

全國(guó)Ⅰ卷文科

3同理科3正四棱錐（有）

12同理科10球（無(wú)）

19條件：圓錐底面內(nèi)接正三角形，直角三角形問(wèn)題：（1）證明平面與平面垂直;（2）已知圓錐側(cè)面積求體積

圓錐（有）27分

全國(guó)Ⅱ卷理科

7條件：三視圖? 問(wèn)題：點(diǎn)的對(duì)應(yīng)位置不規(guī)則幾何體（有）

10條件：球面正三角形? 問(wèn)題：點(diǎn)到平面的距離球（無(wú)）

16條件：命題的真假，邏輯連接詞? 問(wèn)題：正確命題序號(hào)空間圖形（無(wú)）

20條件：有一側(cè)面為矩形，底面為正三角形的斜棱柱;中點(diǎn)問(wèn)題：（1）證明直線與直線平行;平面與平面垂直（2）已知直線與平面平行，線段長(zhǎng)度，求直線與平面所成角正弦值斜棱柱（有）27分

全國(guó)Ⅱ卷文科

11同理科10球（無(wú)）

16同理科16空間圖形（無(wú)）

20條件：有一側(cè)面為矩形，底面為正三角形的斜棱柱;中點(diǎn)問(wèn)題：（1）證明直線與直線平行;平面與平面垂直（2）已知線段長(zhǎng)度，直線與平面平行，60度角，求四棱錐體積斜棱柱（有）22分

全國(guó)Ⅲ卷理科

8條件：三視圖? 問(wèn)題：幾何體的表面積三視圖（有）

15條件：圓錐? 問(wèn)題：圓錐內(nèi)部半徑最大球的體積組合體（無(wú)）

19條件：長(zhǎng)方體，線段長(zhǎng)度比為2問(wèn)題：（1）證明點(diǎn)在平面內(nèi);（2）已知線段長(zhǎng)度，求二面角正弦值長(zhǎng)方體（有）22分

全國(guó)Ⅲ卷文科

9同理科8三視圖（有）16同理科15組合體（無(wú)）

19條件：長(zhǎng)方體，線段長(zhǎng)度比為2問(wèn)題：（1）已知線段相等，證明異面直線垂直;（2）證明點(diǎn)在平面內(nèi)長(zhǎng)方體（有）22分

2019

全國(guó)Ⅰ卷理科

12條件：球面內(nèi)接三棱錐，側(cè)棱相等，中點(diǎn)，直角問(wèn)題：求球的體積組合體（無(wú)）

18條件：底面為一角為60度菱形的直四棱柱，中點(diǎn)問(wèn)題：（1）證明直線與平面平行;（2）求二面角正弦值直四棱柱（有）17分

全國(guó)Ⅰ卷文科

16條件：點(diǎn)到直角兩邊距離相等問(wèn)題：求點(diǎn)到平面的距離（無(wú)）

19條件：同理科18題問(wèn)題：（1）證明直線與平面平行;（2）求點(diǎn)到平面的距離直四棱柱（有）

17分

全國(guó)Ⅱ卷理科

4條件（數(shù)學(xué)建模）：球問(wèn)題：求點(diǎn)到球面的距離球（無(wú)）

7條件：立體幾何命題與邏輯問(wèn)題：充要條件（無(wú)）

16條件（數(shù)學(xué)文化）：半正多面體問(wèn)題：（1）面數(shù);（2）棱長(zhǎng)半正多面體（有）

17條件：底面為正方形的長(zhǎng)方體，相交直線垂直問(wèn)題：（1）證明直線與平面垂直;（2）已知線段相等，求二面角正弦值長(zhǎng)方體（有）27分

全國(guó)Ⅱ卷文科

7同理科7

16同理科16

17條件同理科17問(wèn)題：證明直線與平面垂直;（2）已知線段相等，線段長(zhǎng)度，求四棱錐體積

22分

全國(guó)Ⅲ卷理科

8條件：平面與平面垂直，正方形，正三角形，中點(diǎn)問(wèn)題：（1）判斷線段是否相等;（2）判斷直線是否異面平面與平面垂直（有）16

條件：長(zhǎng)方體挖掉一個(gè)四棱錐，線段長(zhǎng)度問(wèn)題：求模型的質(zhì)量長(zhǎng)方體挖掉一個(gè)四棱錐（有）

19條件：由矩形，直角三角形和菱形組合圖形翻折組成幾何體，線段長(zhǎng)度，60度角問(wèn)題：（1）證明四點(diǎn)共面，證明平面與平面垂直;（2）求二面角大小由矩形，直角三角形和菱形組合圖形翻折組成幾何體（有）

22分

全國(guó)Ⅲ卷文科

8同理科8平面與平面垂直（有）

16同理科16長(zhǎng)方體挖掉一個(gè)四棱錐（有）

19條件：同理科19問(wèn)題：（1）證明四點(diǎn)共面，證明平面與平面垂直;（2）求四邊形面積由矩形，直角三角形和菱形組合圖形翻折組成幾何體（有）22分

2 立體幾何存在問(wèn)題剖析

1.識(shí)圖能力和用圖能力弱. 對(duì)有幾何圖形的問(wèn)題，幾何圖形觀察不夠，不能從平面幾何中走出來(lái)，正確認(rèn)識(shí)各元素的空間位置和圖形的空間結(jié)構(gòu);不能正確從幾何圖形的直觀圖或三視圖中想象對(duì)應(yīng)的三維結(jié)構(gòu)圖，從中提取所需要的基本圖形.

2.作圖能力薄弱.對(duì)于沒(méi)有圖形的客觀小題，不能作出滿足題意的幾何圖形.作出的圖形過(guò)大或過(guò)小都影響對(duì)幾何體的觀察;作出的圖形中，實(shí)線和虛線不分.可見(jiàn)線都是實(shí)線，看不到的線都是虛線.基本作圖能力的薄弱影響了學(xué)生對(duì)圖形的觀察與分析，制約了識(shí)圖能力的提高.

3.三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換能力不強(qiáng).立體幾何包含自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言.對(duì)于點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系是用“∈”還是“”分辨不清;不能正確地進(jìn)行語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)化，例如對(duì)應(yīng)命題真假判定題型，給出符號(hào)語(yǔ)言，不能借助長(zhǎng)方體圖形或?qū)嵨锬M實(shí)驗(yàn)進(jìn)行判斷.

4.邏輯推理不嚴(yán)謹(jǐn).證明過(guò)程主觀臆斷，邏輯混亂;表達(dá)不準(zhǔn)確，定理內(nèi)容記憶不準(zhǔn)確，使用定理時(shí)有漏寫(xiě)條件現(xiàn)象.5.運(yùn)算不準(zhǔn)確.在計(jì)算幾何圖形的面積或體積時(shí)用錯(cuò)公式;計(jì)算組合體的面積或體積時(shí)有漏算或多算現(xiàn)象;使用向量方法解題時(shí)，向量符號(hào)不加箭頭，將點(diǎn)的坐標(biāo)，法向量求錯(cuò).

6.解題過(guò)程不完整.在解題過(guò)程中需要添加的輔助線不加說(shuō)明;解題過(guò)程中出現(xiàn)條件中沒(méi)有的字母;在利用空間向量解題時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系之前需要證明垂直關(guān)系的沒(méi)有進(jìn)行論證;沒(méi)有建立空間直角坐標(biāo)系的過(guò)程或錯(cuò)用左手坐標(biāo)系.3 2022年高考立體幾何10大熱點(diǎn)問(wèn)題預(yù)測(cè)

熱點(diǎn)1 與球相關(guān)問(wèn)題

解答與球相關(guān)的問(wèn)題時(shí)一般不需要畫(huà)球，關(guān)鍵是定球心的位置（利用球的定義確定球心，補(bǔ)體確定球心或者利用兩條垂線的交點(diǎn)確定球心），定球半徑長(zhǎng)，注意兩點(diǎn)：（1）將球的問(wèn)題化歸為由球心和其它點(diǎn)組成的多面體問(wèn)題解答;（2）用好球中垂徑定理，R2=r2+d2，其中，R表示球半徑長(zhǎng)，r表示球截面圓的半徑長(zhǎng)，d表示球心距.在使用球中“垂徑定理”解題時(shí)，注意幾何體中三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）球心O;（2）截面Γ圓心O1;（3）截面Γ上的特殊點(diǎn).

題1 已知球O的面上四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，則球O的體積等于.

1.答案：9π2 .

題2 （單選題）已知平面α截一球面得圓M，過(guò)圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為4π，則圓N的面積為（? ）.

A. 7π?? B.9π?? C.11π?? D.13π

2.答案：D.

熱點(diǎn)2 與邏輯相關(guān)問(wèn)題

以立體幾何問(wèn)題為載體的命題真假的判定題型，如果題目中沒(méi)有給出圖形，常常借助長(zhǎng)方體圖形或利用直尺紙張模擬試驗(yàn)排除不正確的命題.注意和充要條件相結(jié)合的立體幾何命題真假的判定.

題3 （多選題）如圖1，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，則下列結(jié)論正確的是（? ）.

A. PD⊥BF

B.線段PE的長(zhǎng)是點(diǎn)P到直線DE的距離

C.過(guò)點(diǎn)C作直線AE的垂線，則此垂線必垂直于面PAE

D.直線PD與平面ABC所成的角為45°

3.答案：ABD.題4 （單選題）設(shè)α，β，γ為平面，m，n，l為直線，則m⊥β的一個(gè)充分條件是（? ）.

A.α⊥β，α∩β=l，m⊥l

B.α∩β=m，α⊥γ，β⊥γ

C.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α

D.n⊥α，n⊥β，m⊥α

4.答案：D.

題5 （多選題）已知M是正方體ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（? ）.

A.過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B1C1都相交

B.過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B1C1都垂直

C.過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B1C1都相交

D.過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B1C1都平行

5.答案：ABD.

熱點(diǎn)3 平行問(wèn)題

平行問(wèn)題是解答題中重要的證明題型，包含直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行.底面為平行四邊形，矩形，菱形，梯形等均含有平行關(guān)系.涉及線段中點(diǎn)的問(wèn)題一般和三角形中位線定理、梯形中位線定理相聯(lián)系.注意空間直線與直線平行的證明題型.

題6 如圖2所示，在三棱錐PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH.

（1）求證：AB∥GH;（2）求二面角DGHE的余弦值.

6.答案：（1）證明EF∥GH;（2）-45.

題7 如圖3，在四棱錐PABCD中，AD∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD，E為邊AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成角為90°.

（1）在PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說(shuō)明理由;（2）若二面角PCDA的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

7.答案：（1）延長(zhǎng)AB，DC相交于點(diǎn)M，點(diǎn)M滿足題意;此問(wèn)答案不唯一.說(shuō)明：延長(zhǎng)AP到N，使AP=PN，則所找點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn);（2）13.

熱點(diǎn)4 垂直問(wèn)題

垂直問(wèn)題是解答題中重要的證明題型，包含直線與直線垂直，直線與平面垂直，平面與平面垂直.底面為矩形，菱形，直角梯形，對(duì)角線互相垂直的梯形，箏形等圖形均含有垂直關(guān)系.注意空間直線與直線垂直的證明題型，平面與平面垂直的證明題型，以及已知垂直關(guān)系的條件解答其它問(wèn)題的題型.圖4

題8 如圖4，已知四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BC上.

（1）若P是DD1的中點(diǎn)，證明：AB1⊥PQ;

（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值為37，求四面體ADPQ的體積.

8.答案：（1）化歸為直線與平面垂直或者利用向量數(shù)量積為0證明;（2）24.

題9 如圖5，四棱錐SABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC⊥平面SBC.圖5

（1）證明：SE=2EB;（2）求二面角ADEC的大小.

9.答案：（1）證明DE⊥SB;（2）120°.

熱點(diǎn)5 空間角

空間角是刻畫(huà)空間圖形相對(duì)傾斜程度的幾何量，是解答題中重要的計(jì)算題型，包含異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角.若用綜合幾何法，第1步“找、作、證”平面角，第2步在三角形中求角，注意角的范圍;若用空間向量法，需要證明、建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出已知與未知點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算求解，注意角的大小與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.注意幾種角并存題目和角的最值問(wèn)題.

題10 二面角αlβ的大小是60°，線段ABα，B∈l，AB與l所成角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是.圖6

10.答案：34.

題11 如圖6，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜邊AB=4.Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角BAOC是直二面角.動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上.

（1）求證：平面COD⊥平面AOB;

（2）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO與CD所成角的余弦值;

（3）求CD與平面AOB所成角最大時(shí)的正切值.

11.答案：（1）證明CO⊥平面AOB;（2）64;（3）233.熱點(diǎn)6 作圖問(wèn)題

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫(huà)圖和對(duì)圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系的想象力.“推理性作圖題型”包括確定空間點(diǎn)的位置、作滿足條件的直線、作滿足條件的截面等，要求學(xué)生寫(xiě)作法，保留痕跡，然后說(shuō)明理由，直觀考查了學(xué)生的遷移和應(yīng)用能力. 注意利用幾何中的公理、判定定理和性質(zhì)定理等結(jié)論進(jìn)行操作確認(rèn)和推理認(rèn)證.圖7

題12 如圖7，已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

（1）證明：G 是AB的中點(diǎn);（2）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積.

12.答案：（1）證明PG⊥AB;（2）在平面PAB內(nèi)，過(guò)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)為點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F;（3）四面體PDEF的體積為43.

題13 如圖8，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD的中點(diǎn).

（1）在平面ABC內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說(shuō)明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1;

（2）設(shè)（1）中的直線l交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，求二面角AA1MN的余弦值.

13.答案：（1）在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線l∥BC，然后論證;（2）155.

熱點(diǎn)7 距離問(wèn)題

空間距離是刻畫(huà)空間圖形相對(duì)遠(yuǎn)近程度的幾何量，是解答題中重要的計(jì)算題型，包含兩點(diǎn)間的距離（含多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上兩點(diǎn)間最短距離）、點(diǎn)到直線間的距離、點(diǎn)到平面間的距離、直線與直線間的距離、直線與平面間的距離和平面與平面間的距離等.求距離時(shí)，若用綜合幾何法，第1步利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理或相關(guān)結(jié)論確定垂足位置，第2步解三角形求距離線段的長(zhǎng);若用空間向量法，利用相關(guān)距離公式計(jì)算求解.注意“等積法”求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離.題14 在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1.若二面角CABC1的大小為60°，則點(diǎn)C到平面ABC1的距離為.

14.答案：34.

題15 在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為.

15.答案：255.

熱點(diǎn)8 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題包括空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)等，解答此類問(wèn)題要注意運(yùn)動(dòng)前后有關(guān)幾何元素的“不變性”與“不變量”. 注意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題，對(duì)于求相關(guān)幾何量的范圍或最值問(wèn)題時(shí)常常和基本不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)相關(guān)聯(lián).

題16 （單選題）在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2.

將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（? ）.

A.2π3?? B.4π3

C.5π3?? B.2π

16.答案：C.

題17 如圖9，在三棱錐PABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，AB=AD=3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=.

17.答案：-14.

題18 （單選題）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z，（x，y，z大于零），則四面體PEFQ的體積（? ）.

A.與x，y，z都有關(guān)

B.與x有關(guān)，與y，z無(wú)關(guān)

C.與y有關(guān)，與x，z無(wú)關(guān)

D.與z有關(guān)，與x，y無(wú)關(guān)

18.答案：C.

題19 如圖10，已知平面四邊形ABCD中，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是.

19.答案：69.熱點(diǎn)9 開(kāi)放型題型

立體幾何中開(kāi)放性問(wèn)題包括存在型、舉例型和結(jié)構(gòu)不良型等，這需要學(xué)生根據(jù)題目條件去探索結(jié)論成立的條件，或者根據(jù)結(jié)論去探究問(wèn)題成立的條件.對(duì)于存在型問(wèn)題可以先猜后證或者利用空間向量法計(jì)算解答.

題20 已知正方形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，如圖11所示，記二面角ADEC的大小為θ（0<θ<π）.

（1） 證明BF∥平面ADE;

（2）若△ACD為正三角形，試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角θ的余弦值.

20.答案：（2）點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上， cosθ=14.

題21 如圖12，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PFPC=13.

（1）求證：CD⊥平面PAD;（2）求二面角FAEP的余弦值;（3）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且PGPB=23.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由.

21.答案：（1） 33;（2） 直線AG在平面AEF內(nèi).

熱點(diǎn)10 數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，把數(shù)學(xué)問(wèn)題與生活情境相結(jié)合，讓數(shù)學(xué)生活化，生活數(shù)學(xué)化，使學(xué)生在實(shí)際生活中體會(huì)到數(shù)學(xué)的用途，并運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題. 將考查方式與育人方式相結(jié)合，通過(guò)真實(shí)的幾何問(wèn)題情境體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心價(jià)值.題22 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸.

（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸）

22.答案：3.

題23 （單項(xiàng)題）《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬.設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是（? ）.

A.4?? B.8?? C.12?? D.16

23.答案：D.

立體幾何知識(shí)點(diǎn)的考查覆蓋面廣，且形式多樣，選擇題、填空題和解答題三類題型，一應(yīng)俱全.在注重考點(diǎn)全覆蓋的基礎(chǔ)上，以考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為主線，既重點(diǎn)考查了有關(guān)線面平行與垂直關(guān)系的判斷等必備知識(shí)，又通過(guò)角度求解、距離計(jì)算和面積體積計(jì)算等考查學(xué)生的關(guān)鍵能力與學(xué)科素養(yǎng)，以中檔試題為主，體現(xiàn)“通過(guò)立體幾何的基本圖形，在考查必備知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)通性、通法的考查”的命題思路.

參考文獻(xiàn)

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[4] 教育部考試中心.聚焦核心素養(yǎng) 考查關(guān)鍵能力——2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析[J].中國(guó)考試，2021（07）：7076.

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作者簡(jiǎn)介 劉才華（1969—），山東寧陽(yáng)人，泰山名師，市學(xué)科帶頭人，中學(xué)高級(jí)教師;發(fā)表論文260余篇.