黎 磊，蔡 粵，李文軍，劉婷婷，萬慧軍

(井岡山大學 數(shù)理學院 物理系，江西 吉安 343009)

剛體定軸轉動是大學物理、普通物理力學部分以及理論力學中的重要內容，而其中轉動慣量這個知識點有著重要的物理意義，它是物體在轉動中慣性大小的量度，其在科學實驗、工程技術等領域也是一個非常重要的參量．教材[1]中討論了勻質的圓環(huán)和圓盤剛體對垂直環(huán)(或盤)平面且過其中心軸的轉動慣量，文獻[2-5]在直角坐標系下利用橢圓的參數(shù)方程計算了橢圓環(huán)剛體繞垂直于環(huán)平面且通過中心的軸旋轉的轉動慣量，文獻[6]中用直角坐標法和廣義柱面坐標法計算了橢圓柱體繞對稱軸轉動的轉動慣量，文獻[7]中用質量投影法討論了六面體、橢圓盤、橢圓柱、圓臺等幾種特殊形狀勻質剛體繞對稱軸轉動的轉動慣量，文獻[8]用質量投影法計算了橢圓柱面剛體繞對稱軸轉動的轉動慣量．本研究直接根據(jù)轉動慣量的定義，在極坐標系下求解了橢圓環(huán)和橢圓盤對垂直環(huán)(或盤)平面且過橢圓焦點和過中心的軸的轉動慣量，并且數(shù)值計算了轉動慣量隨橢圓離心率的變化關系．本研究計算過程簡單，物理圖像清楚，是對課本知識的延伸，且有利于學生理解轉動慣量的求法以及掌握極坐標的運用．

1 橢圓環(huán)和橢圓盤剛體轉動慣量的推導

1.1 橢圓環(huán)

首先計算橢圓環(huán)對過焦點且垂直于環(huán)面的轉軸的轉動慣量JF．如圖1(a)所示，以左焦點F為極坐標原點，x軸的正半軸為極軸，將橢圓方程用平面極坐標表示為

圖1 橢圓環(huán)(盤)示意圖

(1)

將式(1)代入轉動慣量的積分公式得

(2)

其中λ為橢圓環(huán)的質量線密度，m為橢圓環(huán)的質量，L為橢圓環(huán)的周長．

極坐標下弧長的微分為

(3)

對式(3)積分，可以將橢圓的周長表示為

(4)

將(3)、(4)兩式代入式(2)中，可得橢圓環(huán)對過焦點且垂直于環(huán)面的轉軸的轉動慣量JF：

(5)

接下來，我們計算橢圓環(huán)對過中心且垂直于環(huán)面的轉軸的轉動慣量JO．如圖1(b)所示，以橢圓的中心為極坐標原點，x軸的正半軸為極軸，可將橢圓方程用平面極坐標表示為

(6)

將式(6)代入極坐標下弧長的微分得

(7)

根據(jù)轉動慣量的定義，橢圓環(huán)對過中心且垂直于環(huán)面轉軸的轉動慣量JO為

(8)

其中，有

(9)

1.2 橢圓盤

(10)

將式(1)代入式(10)可得橢圓盤對過焦點且垂直于盤面轉軸的轉動慣量：

(11)

同理，求橢圓盤對過中心且垂直于盤面轉軸的轉動慣量JO時，以橢圓中心為極坐標原點，將式(6)代入式(10)，可得

(12)

2 數(shù)值分析與討論

2.1 橢圓環(huán)

我們分別數(shù)值計算橢圓環(huán)對過焦點F和過中心O且垂直環(huán)面的轉軸的轉動慣量JF和JO隨橢圓離心率e的變化關系．固定a=3，m=10，作出橢圓環(huán)的JF-e，JO-e曲線，如圖2、圖3所示．

圖2 橢圓環(huán)轉動慣量JF隨離心率e的變化曲線

圖3 橢圓環(huán)轉動慣量JO隨離心率e的變化曲線

2.2 橢圓盤

接下來，我們分別數(shù)值計算橢圓盤對過焦點F和過中心O且垂直盤面的轉軸的轉動慣量JF和JO隨橢圓盤離心率e的變化關系．固定a=3，m=10，作出JF-e和Jo-e曲線，如圖4、圖5所示．

圖4 橢圓盤轉動慣量JF隨離心率e的變化曲線

圖5 橢圓盤轉動慣量JO隨離心率e的變化曲線

3 小結

本文利用極坐標系巧妙地求解了勻質橢圓環(huán)和橢圓盤對過焦點和過中心且垂直于環(huán)、盤面的轉軸的轉動慣量，并數(shù)值計算了固定質量和長軸時，轉動慣量隨橢圓離心率的變化關系．發(fā)現(xiàn)隨著離心率的增大，橢圓環(huán)對過焦點且垂直于環(huán)面轉軸的轉動慣量也開始增大，但在離心率快到1時，會出現(xiàn)一小段下降．而橢圓環(huán)對過中心且垂直于環(huán)面轉軸的轉動慣量隨著離心率的增大而減?。送?，橢圓盤對過焦點且垂直于盤面轉軸的轉動慣量隨著離心率的增大而增大，而其對過中心且垂直于盤面轉軸的轉動慣量則隨著離心率的增大而減?。痉椒ㄓ嬎氵^程簡單，物理圖像清晰，本研究不僅是對大學物理、普通物理以及理論力學課本上圓環(huán)和圓盤轉動慣量知識點的擴充，也有利于學生更深刻地理解轉動慣量的定義，掌握轉動慣量的計算方法．另外，極坐標的運用讓學生深刻理解極坐標系解決問題的優(yōu)勢．數(shù)值分析的過程則有利于激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生獨立探索、創(chuàng)新研究和思維發(fā)散的能力，提高教學質量．