李良，龍廣成，謝友均，曾曉輝，潘自立，東懷正

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2.中鐵第二勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，四川 成都 610019；3.西藏鐵路建設(shè)有限公司，西藏 拉薩 851400)

粗集料是工程中用量最多、最重要的建筑原材料[1]，構(gòu)成了混凝土的基本骨架，占混凝土總體積的60%～80%。粗集料對混凝土拌合物硬化后的強(qiáng)度、收縮變形、耐久性和工作性能有重要影響[2]。因此，探索粗集料的幾何形狀特征、顆粒級配的科學(xué)、高效表征評價(jià)方法具有重要意義。粗集料形狀特征包括顆粒組成、形貌特征、棱角性等?，F(xiàn)有規(guī)范采用了顆粒級配、針片狀含量等指標(biāo)來評價(jià)粗集料的幾何性質(zhì)特征。一些研究者也采用了數(shù)學(xué)分析方法、二維數(shù)字化技術(shù)手段對粗集料顆粒級配、粒徑大小和形狀特征進(jìn)行了研究[3-6]?？傮w上，粗集料顆粒構(gòu)成及其形狀特征的研究還存在不足，亟待加強(qiáng)現(xiàn)代數(shù)字化、信息化技術(shù)在粗集料顆粒組成、形狀特征精細(xì)化測試方面的研究，繼而優(yōu)化粗集料級配及混凝土多元體系中的分布，最終改善混凝土工作性能、力學(xué)性能和耐久性。近年來，粗集料形狀特征的研究得到廣泛關(guān)注。李國強(qiáng)等[7-8]推導(dǎo)了從一維、二維到三維粗集料的級配分形維數(shù)、表面積分形維數(shù)和體積分形維數(shù)的計(jì)算公式。也有研究者開發(fā)相應(yīng)的圖像采集和分析系統(tǒng)，以及用數(shù)字圖像技術(shù)實(shí)現(xiàn)粗集料二維圖像分析處理，得到粗集料輪廓的形狀特征[9]。MASAD 等[10]采用腐蝕-膨脹法來量化粗集料顆粒紋理。KOMBA 等[11]基于球諧變換法計(jì)算提出了粗集料的三維形狀指標(biāo)。BANGARU等[12]使用傅里葉級數(shù)擬合了粗集料圖像輪廓，并提出評價(jià)粗集料形貌的指標(biāo)。然而，這些研究方法都有一定的局限性，如粗集料的分形描述能夠定性地描述粗集料在混凝土中的分布，但不能精確得到粗集料的形狀參數(shù)；二維數(shù)值圖像處理只能對粗集料的輪廓進(jìn)行描述，無法得到三維的形狀參數(shù)，且描述棱角性和紋理的指標(biāo)受二維圖像的像素影響較大，對粗集料的拍攝角度，拍攝環(huán)境要求較高，操作比較復(fù)雜。相比之下，三維掃描技術(shù)可以快速還原出粗集料的真實(shí)表面，得到更為精確、全面的粗集料幾何形狀參數(shù)，具有顯著的優(yōu)越性。鑒于此，本文結(jié)合三維掃描技術(shù)和數(shù)字化技術(shù)研究粗集料的級配和形狀特征?；诜中螏缀螌W(xué)理論和MATLAB 程序計(jì)算得到粗集料的級配分形維數(shù)對粗集料級配進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上提出粗集料的球度、長短軸長比和粒徑離散度等指標(biāo)評價(jià)粗集料的形狀特征，繼而結(jié)合級配分形維數(shù)計(jì)算得到粗集料的表面積分形維數(shù)描述粗集料表面粗糙程度，最終為實(shí)現(xiàn)粗集料幾何形狀性質(zhì)的科學(xué)化、精準(zhǔn)化和高效化表征評價(jià)提供技術(shù)支持。

1 粗集料形貌特征的數(shù)值描述

1.1 粗集料形貌的三維掃描與重構(gòu)

利用HSCAN 型三維掃描儀掃描粗集料表面。三維掃描儀由2 個(gè)相機(jī)與激光器組成，分辨率有0.05 mm 和0.02 mm 可供選擇。采集數(shù)據(jù)為粗集料表面各點(diǎn)的云坐標(biāo)。三維掃描儀對粗集料表面進(jìn)行掃描時(shí)，掃描平面上張貼標(biāo)記點(diǎn)并放置需要掃描的粗集料。通過對每顆粗集料進(jìn)行2次不同角度的掃描，用三維圖形處理軟件對2次掃描的公共面進(jìn)行拼接，可實(shí)現(xiàn)粗集料三維結(jié)構(gòu)的重建與表面三維坐標(biāo)的獲取。真實(shí)粗集料照片和重構(gòu)粗集料圖如圖1所示。

圖1 粗集料掃描處理及重構(gòu)結(jié)果Fig.1 Results of coarse aggregate scanning and reconstruction

1.2 粗集料幾何參數(shù)的獲取

通過激光三維掃描技術(shù)可獲得粗集料準(zhǔn)確的幾何尺寸參數(shù)如圖2所示，包括長軸、中軸、短軸等。隨機(jī)選取5～9.5 mm，9.5～16 mm 和16～20 mm 3 種尺寸范圍粗集料各10 顆進(jìn)行三維掃描，得到相應(yīng)的軸長、面積、體積等參數(shù)，列于表1中(對各粒徑范圍粗集料僅列出3 顆的數(shù)據(jù))。按式(1)可得粗集料表面積系數(shù)Ks與體積系數(shù)Kv比：

表1 粗集料表觀尺度參數(shù)掃描計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results of aggregate apparent scale parameters scanning

式中：x為粗集料的粒徑，統(tǒng)一為粗集料的最大尺寸(長軸長)；S為粗集料的表面積；V為粗集料的體積。

1.3 粗集料形狀的數(shù)值綜合表征

1.3.1 外形特征評價(jià)參數(shù)

粗集料的形狀多不規(guī)則，考慮實(shí)際粗集料的三維形狀特征，結(jié)合三維圖像技術(shù)，將粗集料在x，y和z3 個(gè)方向上的長度從大到小定義為長、中和短軸長(如圖2)，采用球度參數(shù)來描述粗集料的不規(guī)則程度，由式(2)能夠計(jì)算粗集料的球度Ψ[13]，解決了二維數(shù)字圖像和傳統(tǒng)測量粗集料形狀特征參數(shù)不準(zhǔn)確的問題[14]。

圖2 粗集料三維形狀幾何尺寸計(jì)算結(jié)果Fig.2 Calculation results of three dimensional shape and geometric dimension of aggregate

根據(jù)得到的長軸長dl和短軸長ds，定義長短軸長比來描述粗集料針片狀特征，由式(3)能夠算得粗集料的長短軸長之比α；假定粗集料的形狀為理想球形，則在任意方向上(包括x，y和z3個(gè)基本方向)的粒徑尺寸都相同。根據(jù)粗集料實(shí)際在x，y和z3 個(gè)方向的不同粒徑尺寸，定義粗集料3 個(gè)方向的最大尺寸與3 個(gè)尺寸均值的比值為粒徑離散度，用粒徑離散度λ來描述粗集料的不規(guī)則程度，由式(4)可以算得。

式中：Ψ，α，λ分別為粗集料的球度、長短軸長比和粒徑離散度；dl，dm，ds分別為粗集料的長軸、中軸和短軸長。

1.3.2 不同粒徑粗集料的形狀特征評價(jià)

以下采用上述定義的球度、長短軸長比和粒徑離散度3個(gè)形狀特征參數(shù)，來描述評價(jià)粗集料的外形特征。基于掃描得到的30 顆粗集料的形狀參數(shù)，可計(jì)算得到每一顆粗集料的3 個(gè)形狀特征參數(shù)，并分析其與各自粗集料粒徑之間的關(guān)系，以粗集料的最大線度尺寸(長軸長dl)作為粗集料的粒徑，分析粗集料球度、長短軸長比和粒徑離散度與粗集料粒徑之間的關(guān)系，結(jié)果如圖3所示。

粗集料的球度值在0～1 之間，且球度值越接近1，粗集料形狀越規(guī)則[13]。如圖3，這批試驗(yàn)粗集料球度良好，球度值為0.7～0.9，均值為0.88；離散度值均大于1，有少數(shù)接近1，最大可達(dá)1.3；值得注意的是，粒徑離散度與球度基本呈現(xiàn)關(guān)于y=1函數(shù)的對稱分布，粗集料球度越接近1，其粒徑離散度也越接近1，粗集料形狀越規(guī)則；另外，可以發(fā)現(xiàn)粗集料的長短軸長比值大于其離散度指標(biāo)，且長短軸長比值與粒徑離散度的分布大體相同，粗集料的長短軸長比值越大，粒徑離散度也越大，粗集料的形狀越不規(guī)則。

圖3 粗集料形狀特征參數(shù)與粒徑關(guān)系計(jì)算結(jié)果Fig.3 Calculation results of the relationship between aggregate shape characteristic parameters and particle size

總體而言，所調(diào)查3種粒徑粗集料的形狀特征與粒徑相關(guān)性不顯著；所提出的粗集料球度、長短軸長比和粒徑離散度3個(gè)參數(shù)之間具有較好的相關(guān)性和聯(lián)系，基本能對粗集料外形特征進(jìn)行描述，而對于粗集料球形度(三維尺度的一致度)描述，長短軸長比指標(biāo)更具顯著性和敏感性。

1.4 粗集料分形特征

1.4.1 顆粒級配分形維數(shù)

李國強(qiáng)等[7]提出的粗集料級配分形維數(shù)的計(jì)算是通過粗集料的篩選通過率來得到的，在進(jìn)行粗集料三維掃描時(shí)發(fā)現(xiàn)，粗集料篩分無法全面準(zhǔn)確獲取其三維尺寸，粗集料形狀的不規(guī)則性導(dǎo)致粗集料三維方向上的尺寸不盡相同，采用對應(yīng)孔徑的篩子對粗集料進(jìn)行篩分時(shí)，任一方向尺寸小于篩子孔徑，其他方向尺寸卻大于篩子孔徑的粗集料也可進(jìn)入下一個(gè)級配。所以在篩分粗集料的過程中，粗集料的粒徑區(qū)分不夠準(zhǔn)確，進(jìn)而導(dǎo)致粗集料級配分形維數(shù)的計(jì)算誤差。本文基于盒子計(jì)數(shù)法對粗集料表面點(diǎn)云坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可更準(zhǔn)確地得出粗集料級配分形維數(shù)。

盒子計(jì)數(shù)法[15]將一個(gè)三維表面劃分為多個(gè)立方體單元，每個(gè)立方體單元視為一個(gè)盒子，三維表面各點(diǎn)的不同高度視為盒子的高度。用各個(gè)高度不同的盒子對三維表面進(jìn)行覆蓋，最后統(tǒng)計(jì)完全覆蓋表面的盒子數(shù)目與定義的立方體盒子的尺寸。按照分形的定義，盒子數(shù)與盒子尺寸分別取對數(shù)之后的函數(shù)斜率，即為分形維數(shù)，可通過MAT‐LAB程序計(jì)算得到，具體計(jì)算步驟如下：

1) 導(dǎo)入粗集料三維點(diǎn)云坐標(biāo)進(jìn)行分析，尋找空間中相鄰的4 個(gè)均不為0 的數(shù)據(jù)點(diǎn)，定義為數(shù)組a，即將粗集料表面離散出的點(diǎn)云坐標(biāo)，微分任意4 個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面用盒子進(jìn)行覆蓋，按數(shù)組a中的數(shù)據(jù)，根據(jù)相應(yīng)的分形尺寸來計(jì)算需要的分形盒子數(shù)。

2) 對分形盒子數(shù)和分形尺度分別取對數(shù)，畫出對應(yīng)的散點(diǎn)圖并進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得到多項(xiàng)式(直線)斜率，即分形維數(shù)值。

3) 將每顆粗集料的點(diǎn)云坐標(biāo)數(shù)據(jù)導(dǎo)入到寫好的MATLAB程序中，即可進(jìn)行計(jì)算。以5～9.5 mm的其中一顆粗集料為例，得到粗集料分形維數(shù)坐標(biāo)圖，分形維數(shù)坐標(biāo)圖中直線斜率即為粗集料級配分形維數(shù)，算得斜率值為2.845 3(一般粗集料的級配分形維數(shù)值在2～3 之間[7])，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 某粒徑粗集料的級配分形坐標(biāo)及結(jié)果Fig.4 Fractal coordinate and result diagram of a gradation of a certain particle size aggregate

圖5進(jìn)一步給出了不同粒徑(5～20 mm)30顆粗集料的級配分形維數(shù)變化結(jié)果。

圖5 粗集料級配分形維數(shù)對粒徑的變化關(guān)系結(jié)果Fig.5 Results of relationship between fractal dimension of aggregate particle size and particle size

從圖5可以發(fā)現(xiàn)，對應(yīng)粒徑區(qū)間的粗集料級配分形維數(shù)隨著粒徑(粗集料長軸長dl)的增大而減小。若以所有調(diào)查粗集料的級配分形維數(shù)的質(zhì)量加權(quán)平均值來作為5～20 mm 連續(xù)級配下粗集料的級配分形維數(shù)，可算得連續(xù)級配粗集料的級配分形維數(shù)Dc=2.768。

1.4.2 顆粒表面積分形維數(shù)

從一維的級配粒徑分形到二維的表面積分形，可根據(jù)式(5)來計(jì)算得到粗集料顆粒表面積分形維數(shù)[8]。傳統(tǒng)的測量方式和二維圖像處理技術(shù)都無法準(zhǔn)確得到單個(gè)粗集料的表面積和體積，進(jìn)而無法準(zhǔn)確得出粗集料的表面積分形維數(shù)。陳開端[16]通過測定粗集料的吸水量來測量粗集料的表面積，采用10 顆粗集料表面積的平均值來消除誤差。但這種方法效率較低。利用三維掃描技術(shù)實(shí)現(xiàn)了單個(gè)粗集料表面積和體積的快速測量，可按照式(5)準(zhǔn)確算得各粗集料的表面分形維數(shù)Ds。

式中：R為粗集料的比表面積；S為粗集料表面積；M0為粗集料的質(zhì)量；ks/kv為粗集料體積系數(shù)與表面積系數(shù)比；xmax，xmin分別取粗集料的最大和最小線度尺寸dl，ds(長軸長、短軸長)；D為所求粗集料的級配分形維數(shù)；δmin為分形盒子的最小尺寸，在MATLAB中取0.06 mm。

圖6給出了不同粒徑粗集料的表面積分形維數(shù)計(jì)算結(jié)果。從圖中結(jié)果可以看出，在不同的級配粒徑范圍內(nèi)，粗集料表面積分形維數(shù)對粒徑的變化趨勢相同，都隨著粗集料粒徑的增大而減?。粚Ρ葓D5 和圖6 可以發(fā)現(xiàn)，粗集料的級配分形維數(shù)和表面積分形維數(shù)，在相應(yīng)級配范圍內(nèi)，都隨著粒徑的增大而減小；不同的是，相對于表面積分形維數(shù)，級配分形維數(shù)與粗集料粒徑的相關(guān)性更強(qiáng)，整體隨粒徑的增大呈下降趨勢。

圖6 粗集料表面積分形維數(shù)對粒徑的變化關(guān)系結(jié)果Fig.6 Relationship between aggregate surface integral dimension and particle size change results

1.4.3 粗集料表面粗糙度

基于三維掃描得到的粗集料表面積和體積參數(shù)，可以描述粗集料表面的粗糙程度。粗集料表面越粗糙，在增大粗集料表面積的同時(shí)，并不會造成粗集料體積的大幅度增加。通過式(6)計(jì)算得到粗糙度指標(biāo)(即粗集料真實(shí)表面積與體積的比值μ)，來對粗集料的粗糙程度進(jìn)行評價(jià)。粗集料越粗糙，單位體積的粗集料表面積越大。

式中：S為粗集料表面積；V為粗集料體積。

圖7 為不同粒徑粗集料的表面粗糙度計(jì)算結(jié)果，圖8進(jìn)一步給出了粗集料表面積分形維數(shù)與粗集料粗糙度之間的關(guān)系結(jié)果。

圖7結(jié)果顯示，隨著粗集料粒徑的增大，粗集料表面粗糙度呈現(xiàn)明顯降低。從圖8 中可以發(fā)現(xiàn)，粗集料的表面分形維數(shù)隨著粗集料粗糙度的增大而呈現(xiàn)增加趨勢，兩者具有較好的相關(guān)關(guān)系。這可從2個(gè)參數(shù)的涵義得到解釋，粗集料的表面積是符合分形特征的，由式(5)可以得出，粗集料表面積分形維數(shù)隨比表面積的增大呈現(xiàn)非線性增加[8]；由式(6)推導(dǎo)出粗集料粗糙度與比表面積的換算公式(7)可知，粗集料粗糙度同樣隨比表面積的增大而增大。由此可知，粗集料的表面積分形維數(shù)與粗糙度之間具有較好的相關(guān)性。

圖7 不同粒徑粗集料的表面粗糙度隨粗集料粒徑的變化結(jié)果Fig.7 Surface coarseness of aggregates with different particle sizes varies with aggregate particle sizes

圖8 粗集料表面積分形維數(shù)與粗糙度的變化關(guān)系結(jié)果Fig.8 Relationship between aggregate surface integral dimension and roughness

式中：M0為粗集料質(zhì)量；S為粗集料表面積；ρ為粗集料密度；R為粗集料比表面積。

2 基于級配分形維數(shù)的粗集料級配分析

2.1 粗集料顆粒級配與分形維數(shù)的關(guān)系

從上述得到的粗集料級配分形維數(shù)結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，在不同粒徑區(qū)間內(nèi)，粗集料的級配分形維數(shù)呈現(xiàn)出隨粗集料最大粒徑增加而減小的變化規(guī)律，這表明粗集料級配與其級配分形維數(shù)之間存在密切聯(lián)系?；陬w粒體系最緊密堆積原理以及FULLER 等[17-18]提出的顆粒級配計(jì)算模型，并結(jié)合李國強(qiáng)等[7]的研究結(jié)果，可推導(dǎo)得到粗集料級配分形公式，如式(8)所示。

式中：P(x)為最大粒徑為x的粗集料通過率；D為連續(xù)級配粗集料的平均級配分形維數(shù)Dc；x為粗集料的最大線性尺寸(長軸長dl)；xmax，xmin分別為連續(xù)級配區(qū)間的最大、最小粒徑。

式(8)中指數(shù)“3-D”是分布模量參數(shù)，這個(gè)參數(shù)對于粗集料級配的合理性非常重要，參數(shù)的取值不同，所得結(jié)果也不同，這取決于分?jǐn)?shù)維數(shù)D的合理計(jì)算獲取，分形維數(shù)D代表粗集料系統(tǒng)顆粒粒徑分布特征參數(shù)。本文采用上述按質(zhì)量加權(quán)得到連續(xù)級配粗集料的級配分形維數(shù)作為公式中的D。根據(jù)前述得到的5～20 mm 連續(xù)級配粗集料的級配分形維數(shù)Dc(2.768)，代入式(8)中，可得到粒級范圍級配通過率函數(shù)如式(9)所示：

2.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

采用篩分試驗(yàn)對粗集料級配與級配分形維數(shù)關(guān)系的合理性進(jìn)行了驗(yàn)證?；诂F(xiàn)行規(guī)范選擇5～20 mm 連續(xù)粒級的碎石粗集料5 kg，通過篩分試驗(yàn)得到各粒級的通過率，如表2所示。

表2 試驗(yàn)選取的5～20 mm粗集料篩分粒級分布結(jié)果Table 2 Grain-size distribution results of 5～20 mm aggregate screen selected in the test

由圖9中的結(jié)果可知，式(9)計(jì)算得到的級配通過率曲線與篩分試驗(yàn)測試值兩者具有高度的一致性。這表明可由式(9)計(jì)算得到合理的顆粒級配組成。因此，可利用激光三維掃描和數(shù)值分析技術(shù)，精確得到粗集料級配分形維數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)粗集料級配的表征。

圖9 粗集料級配的數(shù)值分析結(jié)果和篩分試驗(yàn)結(jié)果對比圖Fig.9 Comparison of numerical analysis results and screening test results of aggregate gradation

3 結(jié)論

1) 激光三維掃描和數(shù)值分析技術(shù)可快速重構(gòu)出粗集料的真實(shí)形狀并準(zhǔn)確測量出三維形狀參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了粗集料形狀更準(zhǔn)確表征。

2) 根據(jù)三維掃描技術(shù)得到的粗集料三維形狀參數(shù)，提出了球度、長短軸長之比和粒徑離散度3個(gè)指標(biāo)，均可較好地對粗集料形狀特征進(jìn)行表征評價(jià)。其中，長短軸長之比指標(biāo)表征評價(jià)粗集料形狀特征更具顯著性和敏感性。

3) 采用數(shù)值技術(shù)進(jìn)一步處理三維掃描測試結(jié)果，可快速得到粗集料的級配分形維數(shù)、表面積分形維數(shù)以及表面粗糙度指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了粗集料幾何特征的數(shù)值描述和評價(jià)。粗集料級配分形維數(shù)、表面分形維數(shù)均隨著顆粒粒徑不同而變化，且表面分形維數(shù)與表面粗糙度之間存在密切聯(lián)系。

4)采用質(zhì)量加權(quán)得到的粗集料級配分形維數(shù)，建立了粗集料顆粒級配通過率計(jì)算函數(shù)，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果一致，為粗集料顆粒級配分析的數(shù)字化、高效化提供了技術(shù)支持。