付琳琳，逄海萍

(青島科技大學(xué)自動化與電子工程學(xué)院，山東 青島 266100)

1 引言

磁耦合諧振式無線電能傳輸(magnetic-coupled resonant wireless power transmission，MCR-WPT)，具有傳輸距離遠(yuǎn)、效率高以及功率大等優(yōu)點[1]-[2]，在無線充電領(lǐng)域有良好的應(yīng)用前景。在無線充電過程中，需要根據(jù)電池荷電狀態(tài)控制從電網(wǎng)側(cè)流向電池的功率，目前功率控制的方式主要有原邊逆變器的移相控制、變頻控制以及前級附加DC/DC控制等。

移相控制可以方便地通過調(diào)節(jié)逆變器的移相角實現(xiàn)蓄電池的恒壓或恒流充電[3]-[4]，但逆變輸出電流會隨移相角的變化發(fā)生不同程度的畸變，并且不能實現(xiàn)逆變器在整個充電過程中的零電壓開關(guān)(zero voltage switch， ZVS)。變頻控制通過調(diào)節(jié)逆變器的工作頻率來調(diào)節(jié)充電電壓或電流[5]-[6]，可以實現(xiàn)逆變器的ZVS，但工作頻率偏離諧振頻率，會使系統(tǒng)的傳輸效率降低。前級附加DC/DC控制是在逆變器之前添加DC/DC變換器，通過調(diào)節(jié)DC/DC變換器的占空比來獲得穩(wěn)定的充電電壓或電流，控制精度較高，且能夠?qū)崿F(xiàn)逆變器在整個充電過程中的ZVS。相比于前兩種方式，后者在整個功率調(diào)整范圍內(nèi)的效率是最高的[7]-[8]。

準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)，而對于帶前級DC/DC的MCR無線充電系統(tǒng)，由于系統(tǒng)含有DC/DC變換器、高頻逆變器以及高頻整流器等多種非線性開關(guān)電路并且MCR電路工作在諧振狀態(tài)，具有高階次、變結(jié)構(gòu)、非線性等特點，使其準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型的建立變得復(fù)雜和困難。

本文首先對帶前級DC/DC的MCR無線充電系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及特點進(jìn)行分析，然后用狀態(tài)空間平均法(state space average，SSA)和廣義狀態(tài)空間平均法(generalized state space average，GSSA)分別對不同的非線性單元進(jìn)行建模，并最終獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。通過Matlab軟件對系統(tǒng)模型進(jìn)行驗證，并對系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制特性進(jìn)行分析。

2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與動態(tài)建模

2.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及特點

帶前級DC/DC的MCR無線充電系統(tǒng)如圖1所示。系統(tǒng)由DC/DC單元、MCR-WPT單元、電池負(fù)載三部分組成。其中電池負(fù)載用可變電阻負(fù)載來代替。

圖1 帶前級DC/DC的MCR無線充電系統(tǒng)圖

設(shè)vin是工頻交流通過整流得到的不可控直流電源，DC/DC單元在此采用Buck結(jié)構(gòu)，通過調(diào)節(jié)開關(guān)管S的占空比改變高頻逆變器直流母線電壓vg，從而實現(xiàn)終端負(fù)載的電壓和電流控制。在Buck輸出端接有電容C以減小Buck開關(guān)過程對逆變器的影響，同時為逆變器提供穩(wěn)定的輸入電壓。

MCR-WPT單元中，四個MOSFET管S1～S2構(gòu)成高頻逆變器，開關(guān)S1、S4與S2、S3交替導(dǎo)通和關(guān)斷，逆變器輸出正負(fù)交替的矩形波，當(dāng)原邊發(fā)射回路處于諧振狀態(tài)時開關(guān)管可以實現(xiàn)ZVS通斷。Lp、Cp與Ls、Cs分別構(gòu)成原、副邊串聯(lián)補償磁耦合諧振網(wǎng)絡(luò)，M為發(fā)射線圈和接收線圈之間的互感系數(shù)，RLp與RLs分別這兩個線圈的內(nèi)阻。假設(shè)原、副邊的電感電容參數(shù)一致，兩側(cè)電路以相同頻率諧振，經(jīng)磁場耦合完成能量傳遞。D1～D4構(gòu)成高頻整流電路，接收線圈獲得的交流電經(jīng)過整流及電容Cf濾波后向負(fù)載RL供電。

系統(tǒng)中含有Buck開關(guān)變換器和MCR-WPT串聯(lián)諧振開關(guān)變換器，很難直接對其統(tǒng)一建模。Buck與其后級的諧振開關(guān)變換器之間接有電容C，該電容除了具有濾波穩(wěn)壓的作用外，還可以實現(xiàn)前后兩類變換器之間的解耦，因此可以將兩級單元分開建模。

前級Buck單元只含直流變量，電感電容的自然頻率遠(yuǎn)低于其開關(guān)頻率，使用SSA法建立其小信號模型[9]。MCR-WPT單元中的諧振網(wǎng)絡(luò)會產(chǎn)生交流變量，SSA法不再適用。GSSA是利用有限階的傅里葉級數(shù)之和將周期系統(tǒng)的狀態(tài)變量近似線性化，能準(zhǔn)確描述狀態(tài)變量的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)行為[10]-[11]，因此本文采用GSSA法對MCR-WPT單元建模。

2.2 DC/DC單元的建模

設(shè)Buck變換器中開關(guān)管S的開關(guān)周期為Ts，開關(guān)頻率fs=1/Ts，S導(dǎo)通的占空比為d(t)，將MCR-WPT單元與電阻負(fù)載RL看作一個等效電阻R，并將R作為Buck變換器負(fù)載。Buck變換器的開關(guān)周期平均模型是非線性模型[12]，設(shè)變換器在某一穩(wěn)態(tài)工作點處各變量d(t)、vin(t)、iL(t)、vC(t)及vg(t)的穩(wěn)態(tài)值分別為D、Vin、IL、VC及Vg，根據(jù)狀態(tài)空間平均法得到它的小信號模型

(1)

由(1)可求得Buck變換器輸出電壓-輸入電壓傳遞函數(shù)Gvgvin(s)和輸出電壓-占空比傳遞函數(shù)Gvgd(s)分別為

(2)

(3)

2.3 MCR-WPT單元的建模

假設(shè)MCR-WPT單元的開關(guān)均為理想開關(guān)，逆變器的開關(guān)周期為Td，開關(guān)頻率fd=1/Td，且與發(fā)射回路和接收回路的固有諧振頻率fc相同。將MCR-WPT單元簡化為圖2所示的等效電路。

圖2 MCR-WPT單元的等效電路圖

圖2中iLp為逆變器輸出電流，iLs為整流橋輸入電流。對于系統(tǒng)中非線性原邊逆變環(huán)節(jié)和副邊整流環(huán)節(jié)，分別采用開關(guān)函數(shù)p(t)和s(t)表示它們的能量變換關(guān)系。在Simulink中對系統(tǒng)仿真可知逆變器輸出電壓p(t)vg與整流橋輸入電壓s(t)vcf的相位相差1/4個周期，即函數(shù)p(t)和s(t)的相位差為90°，則p(t)和s(t)的表達(dá)式分別為

(4)

(5)

選取原邊電容電壓vcp，原邊電感電流iLp，副邊電容電壓vcs，副邊電感電流iLs，輸出電壓vcf作為狀態(tài)變量，根據(jù)KCL、KVL得到時域微分方程

(6)

其中，△=M2-LpLs。

方程組(6)是非線性的，對其求解非常困難，在此采用GSSA方法將原始信號用共軛低階諧波分量來近似，并利用傅里葉級數(shù)相關(guān)性質(zhì)對非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行近似線性化[13]。

周期為T的連續(xù)變量x(t)傅里葉級數(shù)的指數(shù)展開形式為

(7)

其中，ω=2π/T為x(t)基波角頻率，〈x〉k為k次傅里葉系數(shù)，且

(8)

根據(jù)式(8)求得開關(guān)函數(shù)p(t)和s(t)的k階傅里葉系數(shù)分別為

(9)

(10)

由式(11)可以得到變量x(t)的時域表達(dá)式。

狀態(tài)變量vcf為直流變量，采用零次諧波分量〈vcf〉0來代表其特性；狀態(tài)變量vcp、iLp、vcs、iLs為交流變量，零次諧波分量近似為零，且奇次諧波分量共軛對稱，在諧振狀態(tài)下，具有良好的正弦特性，因此，只考慮它們的1階傅里葉級數(shù)〈vCP〉1、〈iLP〉1、〈vcs〉1、〈iLs〉1即可。

(12)

其中，

E2=[0]

可以看出，式(12)是一個9階的線性方程，且方程的系數(shù)與單元參數(shù)相關(guān)，一般情況下，當(dāng)元件選定后，原、副邊的電感電容值在運行過程中變化很小，但線圈間距離或者負(fù)載值的變化會導(dǎo)致方程系數(shù)的改變。

由(11)可推導(dǎo)出MCR-WPT單元的輸入電壓到輸出電壓的傳遞函數(shù)：

(13)

2.4 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

前級Buck單元的輸出即為后級MCR-WPT單元的輸入，即u2(t)=y1(t)，將兩級單元模型串聯(lián)到一起，整個系統(tǒng)模型框圖可由圖3表示：

圖3 系統(tǒng)模型框圖

(14)

Gvod(s)=Gvovg(s)Gvgd(s)

(15)

3 模型的仿真驗證與分析

3.1 仿真參數(shù)

利用Matlab軟件對系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真驗證，具體參數(shù)為： 輸入電壓vin=40V，Buck電感L=1.5mH，Buck電容C=65nF，Buck等效負(fù)載R=7.5Ω，Buck開關(guān)頻率fs=100kHz，諧振頻率fc=85kHz，原、副邊諧振電感Lp=Ls=116.86μH，其內(nèi)阻RLp=RLs=0.5Ω，諧振互感M=18μH，原、副邊諧振電容Cp=Cs=30nF，濾波電容Cf=10μF，系統(tǒng)負(fù)載RL=20Ω。

3.2 模型的仿真驗證

為驗證所建系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，在Simulink下搭建系統(tǒng)的拓?fù)淠Ｐ?，如圖4所示，并與由所建數(shù)學(xué)模型得到的變量時域運動軌跡進(jìn)行對比。在數(shù)學(xué)模型(14)中，Buck單元的電感電流、輸出電壓以及負(fù)載輸出電壓為直流變量， MCR-WPT單元原、副邊的諧振電壓與電流為交流變量，且交流變量的運動行為相同，在模型驗證只取原邊電容電壓進(jìn)行分析。

圖4 基于系統(tǒng)拓?fù)淠Ｐ偷姆抡鎴D

圖5 控制信號及擾動作用下的直流變量波形對比圖

從圖5中可以看出，在階躍信號作用下的動態(tài)過渡過程中，兩種模型的響應(yīng)存在相位與幅值上的微小差異，而在輸入電壓小信號擾動作用下兩種模型的直流變量波形幾乎完全一致。初始階躍響應(yīng)過程的差異一方面是由于在DC/DC單元建模時將其后級負(fù)載看作一個固定的等效電阻，然而實際上它是非線性負(fù)載；另一方面是由于DC/DC變換器的數(shù)學(xué)模型是小信號模型，且對MCR-WPT單元建模時將直流變量與交流變量分別用傅里葉級數(shù)的零階分量和一階分量進(jìn)行了近似處理。

設(shè)系統(tǒng)各變量的初始條件為零，對模型(14)求解，根據(jù)式(11)得到狀態(tài)變量的時域運行軌跡，同時基于Simulink拓?fù)淠Ｐ瓦M(jìn)行仿真，得到兩種模型下原邊電容電壓vcp的時域運動軌跡對比圖，如圖6所示。

從圖6中可以看出，兩種模型下原邊電容電壓vcp的時域運動軌跡幾乎重合，在初始動態(tài)過渡過程中存在相位和幅值上的微小差異。在0.025秒時給輸入電壓加入擾動，vcp經(jīng)過短暫的振蕩過渡后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，并且在擾動過渡過程中及進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，兩種模型下的電壓波形都是吻合的。

圖6 原邊電容電壓vcp時域運動軌跡對比圖

由以上分析可以得出，對于帶前級Buck控制的MCR無線充電系統(tǒng)所建立的數(shù)學(xué)模型與實際系統(tǒng)模型具有較高的吻合度。

3.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析

基于已建立的數(shù)學(xué)模型對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，將3.1節(jié)中的參數(shù)值代入式(15)繪制系統(tǒng)Bode圖如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)Bode圖

原始系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，其直流增益及低頻增益約35.7dB 的水平線，系統(tǒng)以斜率-20dB/dec 穿越 0dB 線，相位交越頻率為2.25kHz，增益裕量為16.4dB，剪切頻率為778Hz，相位裕量位30.3°，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3. 4 控制特性分析

本系統(tǒng)通過對前級DC/DC變換器占空比的調(diào)節(jié)實現(xiàn)來終端負(fù)載功率的控制，下面根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型對占空比-功率控制特性進(jìn)行分析。

系統(tǒng)輸出電壓為直流變量，其幅值可以用〈vcf〉0表示，則系統(tǒng)的輸出功率為

(16)

x=-A-1Bu

(17)

解得電感L的穩(wěn)態(tài)電流為

(18)

穩(wěn)態(tài)輸出電壓為

(19)

其中，a是一個與系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)的值，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出功率為

(20)

系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，輸入電流Iin與電感L的電流

Iin=DIL

(21)

則系統(tǒng)的效率為

(22)

根據(jù)表1提供的數(shù)據(jù)，可以得到a=0.0232，由式(20)和式(22)得到不同占空比下輸出功率、傳輸效率的特性曲線如圖8所示。

圖8 輸出功率和傳輸效率與占空比的關(guān)系曲線

從圖8可以看出，通過調(diào)節(jié)DC/DC單元的占空比，能夠很好地實現(xiàn)對輸出功率的控制，并且在功率調(diào)整的同時系統(tǒng)的傳輸效率保持不變。

4 結(jié)論

本文采用SSA法和GSSA法對帶前級DC/DC控制的MCR無線充電系統(tǒng)建立了其線性化數(shù)學(xué)模型，并基于Matlab軟件對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了驗證，結(jié)果表明，所建模型與實際系統(tǒng)模型具有較高的吻合度?；诖四Ｐ?，分析了系統(tǒng)穩(wěn)定性及控制特性，分析結(jié)果表明，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并且在不改變系統(tǒng)傳輸效率的前提下，前級DC/DC單元可以很好地實現(xiàn)對輸出功率的控制。本文所建立的數(shù)學(xué)模型，可為系統(tǒng)的性能分析和控制器的設(shè)計提供可靠的依據(jù)。