白 羽，方慧靈，張 艷

（1.北京建筑大學(xué) 理學(xué)院，北京 102616；2.建筑結(jié)構(gòu)與環(huán)境修復(fù)功能材料北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102616）

引 言

在實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中，玻璃纖維的拉伸或聚合物的擠出過程都會涉及到流體繞楔形體的流動(dòng).當(dāng)聚合物溶液流過楔形體表面時(shí)，由于流體與楔形體表面之間存在溫差，所以最終流體會加熱或冷卻到設(shè)定的溫度.Falkner 等[1]首次研究了流體繞楔形體流動(dòng)的邊界層問題.Lin 等[2]提出相似求解的方法，討論了在強(qiáng)迫對流下流體繞楔形體的流動(dòng)與傳熱問題.在Lin 等工作的基礎(chǔ)上，Kuo[3]利用微分變換法求解了流體繞楔形體流動(dòng)的邊界層方程.Afify 等[4]考慮了熱源存在下納米磁流體在楔形體上的流動(dòng)，并得到了數(shù)值解.Ashraf 等[5]通過討論浮升力和熱輻射的影響，進(jìn)一步擴(kuò)展了Afify 等的工作，他們發(fā)現(xiàn)對流參數(shù)會促進(jìn)流體的流動(dòng).此外，一些研究還考慮了時(shí)間的影響.Mahdy 等[6]研究了納米流體在浮升力作用下繞多孔楔形體的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng).Kebede 等[7]對納米流體流過非穩(wěn)態(tài)拉伸楔形體時(shí)的傳熱和傳質(zhì)進(jìn)行了分析.大多數(shù)研究者通常研究納米流體通過楔形體的流動(dòng)，而關(guān)于黏彈性流體沿拉伸楔形體的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)與傳熱的分析很少.

流體流經(jīng)楔形體表面或平板時(shí)，除壁面的拉伸會使得流體產(chǎn)生拉伸流動(dòng)和剪切流動(dòng)之外，在一定條件下，由于流體自身的黏性還會在壁面處出現(xiàn)滑移形式的運(yùn)動(dòng)，即壁面處的速度滑移現(xiàn)象.控制速度滑移現(xiàn)象的產(chǎn)生在實(shí)際工業(yè)中是十分重要的，因此該現(xiàn)象吸引了研究者們的廣泛關(guān)注.朱婧等[8]對磁流體在具有冪律速度的拉伸板上的滑移流動(dòng)進(jìn)行了討論.Zhu 等[9]研究了在Brown 運(yùn)動(dòng)和熱泳影響下的納米流體的二階滑移流動(dòng).許曉勤等[10]建立了黏性流體在可滲透拉伸板上的二階滑移模型，并分析了該模型中駐點(diǎn)流問題.最近，Megahed[11]探索了Maxwell 流體在嵌入多孔介質(zhì)的拉伸板上的滑移流動(dòng).

經(jīng)典的Fourier 定律常常被用來描述熱傳遞過程.然而，由于該定律是一個(gè)拋物型能量方程，那么當(dāng)初始擾動(dòng)發(fā)生時(shí)，所考慮的介質(zhì)會迅速受到影響.因此，為了克服這一缺點(diǎn)，Cattaneo[12]在Fourier 定律中引入了熱松弛時(shí)間，即用來調(diào)節(jié)和評估加熱區(qū)傳熱所需的時(shí)間.在Cattaneo 的啟發(fā)下，Christov[13]得到了上隨體Maxwell-Cattaneo 定律.之后，基于Cattaneo-Christov 熱通量模型，Hayat 等[14]討論了非線性表面上的駐點(diǎn)流動(dòng)問題.Shehzad 等[15]研究了Oldroyd-B 流體在可滲透拉伸板上的流動(dòng).Zhang 等[16]采用Cattaneo-Christov 熱通量模型，分析了變導(dǎo)熱系數(shù)下的Maxwell-冪律流體的傳熱行為.然而，Cattaneo-Christov 熱通量模型只描述了熱松弛時(shí)間的影響，而忽略了熱延遲時(shí)間的影響.因此，Bai 等[17]提出了松弛-延遲雙擴(kuò)散模型來研究變導(dǎo)熱系數(shù)的Oldroyd-B 納米流體在拉伸板上的傳熱傳質(zhì)現(xiàn)象.

本文研究了松弛-延遲熱通量模型中，上隨體Oldroyd-B 流體繞非穩(wěn)態(tài)拉伸的楔形體上的滑移流動(dòng)與傳熱問題.在傳熱過程中還同時(shí)考慮了熱輻射和對流換熱邊界條件的影響.采用相似變換將偏微分方程組轉(zhuǎn)化為常微分方程組，并用同倫分析法[18]求得了方程的近似解析解.最后，通過圖形分析了部分參數(shù)對速度場及溫度場的影響.

1 數(shù)學(xué)模型

考慮Oldroyd-B 流體在楔形體上的非穩(wěn)態(tài)滑移流動(dòng)與傳熱問題.如圖1，楔形體表面沿x軸方向延伸，y軸垂直于楔形體表面.流體流動(dòng)是由拉伸速度為Uw=bxm/(1-at)的楔形表面和速度為Ue=dxm/(1-at)的環(huán)境流體所產(chǎn)生的，其中a，b和d是正常數(shù).同時(shí)，m=ω/(2-ω)表示Falkner-Skan 冪律參數(shù)(0≤m≤1)，其中ω 是Hartree壓力梯度，它與楔形體的總夾角Ω有關(guān)，即ω=Ω/π.此外，利用松弛-延遲熱通量模型研究了流體的傳熱現(xiàn)象.

圖1 物理模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the physical model

Oldroyd-B 流體的流動(dòng)控制方程為

其中，u和v分別為x和y方向上的速度分量，t，ν，λ1，λ2，g，βT和T分別表示時(shí)間、流體的運(yùn)動(dòng)黏度系數(shù)、松弛時(shí)間參數(shù)、延遲時(shí)間參數(shù)、重力加速度、體積熱膨脹系數(shù)和流體溫度.

Cattaneo-Christov 熱通量模型為

這里，q是熱通量，λ3為熱松弛時(shí)間參數(shù)，V是速度矢量，k為導(dǎo)熱系數(shù).對于不可壓縮流體，?·V=0.因此，式(3)可以表示為

然而，式(4)忽略了傳熱過程中的熱延遲時(shí)間的影響，在Cattaneo-Christov 熱通量模型中引入熱延遲時(shí)間參數(shù)，可得到松弛-延遲熱通量模型[17]：

其中，λ4為熱延遲時(shí)間參數(shù).

流體的溫度控制方程為

這里，α=k/(ρcp)是流體的熱擴(kuò)散率，ρ 為流體的密度，cp為定壓比熱容，qr為輻射熱通量.

經(jīng)過線性的Rosseland 近似，輻射熱通量定義為

其中，σ*是Stefan-Boltzmann 常數(shù)，k*為平均吸收系數(shù).將T4在T∞處進(jìn)行Taylor 展開，可以得到T4=4T∞3T-3T∞4.即

在考慮速度滑移現(xiàn)象和對流換熱情況下，邊界條件為：當(dāng)y=0 時(shí)，

當(dāng)y→∞時(shí)，

其中，L表示滑移參數(shù)，hf是對流換熱系數(shù)，楔形體表面的溫度為Tw=T∞+T0Uwxν-1(1-at)-1/2，T∞為環(huán)境流體的溫度.

采用如下的流函數(shù)及相似變量：

將式(11) 代入式(2)、(6)、(8)～(10) 中，得到對應(yīng)的常微分方程與邊界條件：

當(dāng)η=0 時(shí),

當(dāng)η→∞時(shí),

其中，A為非穩(wěn)態(tài)參數(shù)，β1為松弛時(shí)間參數(shù)，β2為延遲時(shí)間參數(shù)，λ 為對流參數(shù)，Grx為局部Grashof 數(shù)，Rex為局部Reynold 數(shù)，β3為熱松弛時(shí)間參數(shù)，β4為熱延遲時(shí)間參數(shù)，Rd為熱輻射參數(shù)，Pr為Prandtl 數(shù)，S為駐點(diǎn)參數(shù)，δ 為速度滑移參數(shù)，Nu為Nusselt 數(shù)，

2 同倫分析方法

采用同倫分析方法求解在相應(yīng)的邊界條件(14)和(15)下的常微分方程(12)及(13).首先，初始猜測解和輔助線性算子分別為

這里

其中

并且輔助線性算子滿足如下關(guān)系：

其中，ai(i=1, 2, ··· , 5)是任意常數(shù).

Ship Functional Efficiency of Multi-Branch Towed Acoustic Array System in Deceleration State

下面構(gòu)造零階形變方程：

相應(yīng)的邊界條件為

非線性算子定義為

這里，q∈[0,1]是嵌入?yún)?shù)，hf和hθ是輔助參數(shù)，Hf(η)與Hθ(η)為輔助函數(shù)，選取Hf(η)=Hθ(η) =e-η.

相應(yīng)的n階形變方程為

其對應(yīng)的邊界條件可轉(zhuǎn)化為

3 結(jié)果與討論

在同倫分析方法中，輔助參數(shù)的選取對解析解的收斂性具有重要意義.圖2 和圖3 分別給出了確定輔助參數(shù)hf和hθ的曲線圖，為方便計(jì)算，我們選取hf=1.5,hθ=0.3.從表1 中可以看到，當(dāng)前結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)[4]的結(jié)果具有較好的一致性.此外，默認(rèn)m=0.5,A=0.4,β1=0.1,β2=0.06,S=0.3, λ=0.3, δ=0.4,β3=0.9,β4=0.5,Pr=0.8,Nu=0.4,Rd=0.6，并從物理角度解釋了部分參數(shù)對速度場和溫度場的影響.

圖2 hf -f"(0)曲線圖Fig.2 The hf -f"(0) curve

圖3 hθ-θ′(0)曲線圖Fig.3 The hθ-θ′(0) curve

表1 同倫解f"(0)與文獻(xiàn)[4]結(jié)果的比較Table 1 Comparison of the values of f"(0) with the results of ref.[4]

圖4 描述了Falkner-Skan 冪律參數(shù)m對速度場的影響.當(dāng)m=0 時(shí)，楔體的整個(gè)角度Ω=0，即楔形體表面是水平的.從圖中可以看到，隨著m的增加，流體的流速增加，并且動(dòng)量邊界層的厚度明顯變薄，這是由于m越大，浮升力越大，從而促進(jìn)流體的流動(dòng).圖5 描繪了非穩(wěn)態(tài)參數(shù)A對速度場的影響.已知A與環(huán)境流體運(yùn)動(dòng)速率d成反比，因此A越大對應(yīng)的d越小，導(dǎo)致流體的速度減慢.

圖4 不同m 下的速度分布Fig.4 Velocity distributions for different m values

圖5 不同A 下的速度分布Fig.5 Velocity distributions for different A values

圖6 展示了滑移參數(shù)δ 的變化對速度場的影響.可以看到，當(dāng)δ 增大時(shí)，流體的速度也隨之加快.從物理角度來說，δ 的增大會使得流體的黏性降低，從而流動(dòng)中的摩擦阻力減小，因此流體的速度變快.圖7 為不同的延遲時(shí)間參數(shù)β2下，速度場的變化情況.延遲時(shí)間是流體中建立剪切應(yīng)力的時(shí)間，當(dāng)延遲時(shí)間增加時(shí)，黏性效應(yīng)變小，從而提高了流動(dòng)速度.

圖6 不同δ 下的速度分布Fig.6 Velocity distributions for different δ values

圖7 不同β2 下的速度分布Fig.7 Velocity distributions for different β2 values

圖8 描繪了對流參數(shù)λ 的變化對速度場所產(chǎn)生的影響.對流參數(shù)越大，產(chǎn)生的浮升力越大，導(dǎo)致流動(dòng)加速，速度增大.圖9 反映了Nu增大時(shí)溫度場的變化趨勢，這時(shí)，溫度是關(guān)于Nu的增函數(shù).Nu的增大意味著對流換熱系數(shù)增大，進(jìn)而使楔形體表面的換熱增加，流體被加熱，因此溫度升高.

圖8 不同λ 下的速度分布Fig.8 Velocity distributions for different λ values

圖9 不同Nu 下的溫度分布Fig.9 Temperature distributions for different Nu values

圖10 和圖11 分別表示了變化的熱松弛時(shí)間參數(shù)β3與熱延遲時(shí)間參數(shù)β4對溫度場所造成的影響.隨著β3的增大，為達(dá)到更多的熱通量，導(dǎo)致從流體到拉伸板的熱傳輸速度加快，因此熱量從流體中散失，即流體的溫度降低.值得注意的是，熱延遲時(shí)間對溫度的影響恰與熱松弛時(shí)間對溫度的影響相反.從圖11 中可以看到，當(dāng)β4增大時(shí)，溫度場隨之升高并且熱邊界層的厚度增大.這是因?yàn)闊嵫舆t時(shí)間的增加與較小的熱通量有關(guān)，這種較低的熱通量會使得溫度升高.

圖10 不同β3 下的溫度分布Fig.10 Temperature distributions for different β3 values

圖11 不同β4 下的溫度分布Fig.11 Temperature distributions for different β4 values

圖12 反映了Pr的變化對溫度場的影響.增大的Pr對應(yīng)于較弱的熱擴(kuò)散率，此時(shí)會造成溫度的減小.因此，Pr值越大，溫度越低.圖13 為熱輻射參數(shù)Rd對溫度場的影響，當(dāng)熱輻射參數(shù)Rd的值越大時(shí)，流體的溫度越高且熱邊界層的厚度越厚.由于較大的Rd表示以熱輻射的方式向流體供應(yīng)更多的熱量，從而導(dǎo)致流體的溫度增大.

圖12 不同Pr 下的溫度分布Fig.12 Temperature distributions for different Pr values

圖13 不同Rd 下的溫度分布Fig.13 Temperature distributions for different Rd values

4 結(jié) 論

本文從理論上討論了松弛-延遲熱通量模型中，上隨體Oldroyd-B 流體在速度滑移和熱輻射影響下繞楔形體的非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)與傳熱問題.此外，還考慮了浮升力以及對流換熱邊界條件對流動(dòng)和傳熱的影響.采用同倫分析法得到相似變換后常微分方程的近似解析解，并從物理的角度分析了部分參數(shù)對速度場及溫度場的影響.當(dāng)Falkner-Skan 冪律參數(shù)增大時(shí)，即楔形體的楔角變大，此時(shí)產(chǎn)生較強(qiáng)的浮升力會導(dǎo)致流體的流速變快.隨著滑移參數(shù)的增大，流體的黏性效應(yīng)減弱，進(jìn)而促進(jìn)流體的流動(dòng).此外，增大的熱延遲時(shí)間參數(shù)會使得流體的溫度升高.

致謝本文作者衷心感謝北京建筑大學(xué)市屬高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目-QN 青年科研創(chuàng)新專項(xiàng)-青年教師科研能力提升計(jì)劃(X21027; X21030; X21031)對本文的資助.