周 杰，趙婷婷，陳青青，王志勇，王志華

（1.太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)研究所，太原 030024；2.材料強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030024）

引 言

非均質(zhì)材料通常指由兩種或者兩種以上材料組成的復(fù)合材料，細(xì)觀力學(xué)認(rèn)為，材料細(xì)觀尺度下的特性對(duì)其宏觀性能具有決定性的影響.其中，混凝土由骨料、水泥砂漿和初始孔隙和裂縫等組成，是一種典型的非均質(zhì)復(fù)合材料.隨著計(jì)算力學(xué)的發(fā)展，不同學(xué)者使用數(shù)值計(jì)算方法在細(xì)觀尺度下研究了混凝土材料的力學(xué)響應(yīng)，涉及強(qiáng)度、彈性模量、導(dǎo)熱性能等問題[1-4].但是，由于不同細(xì)觀組分形態(tài)、分布、力學(xué)參數(shù)差異顯著，建立細(xì)觀模型特征與材料宏觀性能之間的多尺度關(guān)聯(lián)具有難度.如今，隨著深度學(xué)習(xí)技術(shù)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，為跨尺度的力學(xué)研究問題提供了方向.不同于其他研究，本文基于計(jì)算力學(xué)和深度學(xué)習(xí)方法，提出了一種準(zhǔn)確、快速預(yù)測(cè)混凝土細(xì)觀模型應(yīng)力-應(yīng)變曲線的方法.

Hinton 和Salakhutdinov[5]首次提出了深度學(xué)習(xí)框架.深度學(xué)習(xí)是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，基于大量數(shù)據(jù)信息，通過搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型就可以在復(fù)雜輸入輸出數(shù)據(jù)之間建立隱式函數(shù)關(guān)系.隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，深度學(xué)習(xí)為越來越多的領(lǐng)域帶來靈感和啟發(fā)，尤其在計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域中有著突出的表現(xiàn)[6].其中，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為深度學(xué)習(xí)模型中最重要的結(jié)構(gòu)之一[7]，被廣泛應(yīng)用于圖像識(shí)別、分類，語義分割[8]，目標(biāo)檢測(cè)[9]等不同的場(chǎng)景，涵蓋了生活、交通、安全、醫(yī)療、工程、社交媒體等諸多領(lǐng)域.深度學(xué)習(xí)正在成為一種改變“游戲規(guī)則”的技術(shù)[10].在復(fù)合材料力學(xué)性能預(yù)測(cè)方面，其同樣也發(fā)揮著越來越突出的作用.近年來，不同學(xué)者先后開展了大量相關(guān)研究工作：Ye 等[11]提出了一種改進(jìn)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以具有任意形狀和分布的夾雜物復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)為窗口圖像，預(yù)測(cè)其有效彈性模量和Poisson 比.Li 等[12]提出利用計(jì)算力學(xué)方法和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，預(yù)測(cè)了具有五種組成成分隨機(jī)頁巖模型的彈性模量.Yang 等[13]利用深度學(xué)習(xí)方法預(yù)測(cè)了由兩相材料構(gòu)成的復(fù)合材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線.Shin 等[14]通過數(shù)碼相機(jī)獲得了真實(shí)混凝土表面圖片和深度學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)試件抗壓強(qiáng)度.

應(yīng)力-應(yīng)變曲線是反映材料力學(xué)性能的重要表達(dá)形式，具有高維度特點(diǎn)，強(qiáng)度、等效彈性模量等重要宏觀性能都能夠從應(yīng)力-應(yīng)變曲線中獲取.因此，本文基于GoogLeNet 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及訓(xùn)練集，實(shí)現(xiàn)了對(duì)混凝土細(xì)觀模型單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行預(yù)測(cè).首先介紹了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和GoogLeNet 模型，對(duì)數(shù)據(jù)集的收集過程以及數(shù)據(jù)集的預(yù)處理方式進(jìn)行了詳細(xì)闡述.其次使用數(shù)據(jù)集訓(xùn)練改進(jìn)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在測(cè)試集上進(jìn)行預(yù)測(cè).從預(yù)測(cè)曲線中提取彈性模量和峰值應(yīng)力兩個(gè)重要的力學(xué)性能，定量地評(píng)估了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)精度.最后根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果得出初步結(jié)論，對(duì)未來的工作提出規(guī)劃.

1 GoogLeNet 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1.1 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是深度學(xué)習(xí)的代表算法之一[15]，其基本組成如圖1 所示.和傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類似，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同樣是由具有權(quán)重、偏置等參數(shù)的人工神經(jīng)元構(gòu)成，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)主要包括輸入層、卷積層、池化層、全連接層和輸出層等.其中，圖像從輸入層進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).卷積層是整個(gè)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)和核心，其功能是對(duì)輸入層接收的圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取.池化層又稱為下采樣層，位置一般處于卷積層的下一層，目的是對(duì)卷積層采集到的特征信息進(jìn)行選擇和過濾.通常，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過多個(gè)卷積層和池化層堆疊，可以逐步提取圖像特征信息，最后有效掌握整個(gè)圖像所表達(dá)的特征.

圖1 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本組成Fig.1 The basic composition of a CNN

1.2 GoogLeNet 和inception 模塊

隨著先進(jìn)算法的不斷挖掘，研究人員提出了AlexNet[16]、GoogLeNet[17]、VGGNet 和ResNet 等不同模型的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).不同于其他的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，GoogLeNet 使用inception 模塊代替卷積層.本文使用的inception 模塊如圖2 所示，由1×1，3×3，5×5 的卷積核以及3×3 的最大池化層組成.Inception 模塊對(duì)輸入特征圖同時(shí)進(jìn)行多個(gè)不同類型的卷積層以及最大池化層操作最后再聚合，相當(dāng)于對(duì)一個(gè)特征圖執(zhí)行多次非線性操作并疊加，能夠獲取不同感受野(receptive field)[18]下的特征信息.在增加網(wǎng)絡(luò)深度的同時(shí)改善了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的稀疏性，能顯著降低參數(shù)規(guī)模.

圖2 Inception 模塊Fig.2 The inception module

1.3 激活函數(shù)

激活函數(shù)的功能是增加神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性特性，有助于建立神經(jīng)元輸入和輸出之間的復(fù)雜映射.早期神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使用的激活函數(shù)（sigmoid 和tanh 等）如圖3(a)～(c)所示，適用于訓(xùn)練淺層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在反向傳播過程中會(huì)出現(xiàn)梯度消失、學(xué)習(xí)困難等情況.Nair 和Hinton[19]提出將ReLU 函數(shù)作為深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，如圖3(d)所示.ReLU 函數(shù)的梯度只有0 和1，這在一定程度上抑制了部分神經(jīng)元的活性，無論在正向傳播還是反向傳播中都顯著地減少了計(jì)算資源，提高了訓(xùn)練效率.

圖3 激活函數(shù)：(a) sigmoid；(b) tanh；(c) Leaky ReLU；(d) ReLUFig.3 Activation functions: (a) sigmoid; (b) tanh; (c) Leaky ReLU; (d) ReLU

2 建立數(shù)據(jù)集

2.1 數(shù)值模擬試驗(yàn)

本文在筆者現(xiàn)有工作[4,20]的基礎(chǔ)上，考慮到孔隙以及骨料在基質(zhì)中分布的不確定性和隨機(jī)性，借助基于Monte-Carlo 方法的隨機(jī)骨料模型[21]進(jìn)行混凝土二維細(xì)觀模型建模：通過Monte-Carlo 方法產(chǎn)生滿足均勻分布的隨機(jī)變量，并且保證在基體空間中，骨料與骨料、骨料與孔隙間、孔隙與孔隙之間兩兩分離.骨料的粒徑同樣需要滿足一定的分布，使用Walaraven 公式[22]表示二維平面中隨機(jī)骨料的分布：

式中，Pc為不同骨料級(jí)配在二維平面中出現(xiàn)的概率，Pk為骨料體積占混凝土體積的百分比，D0為當(dāng)前級(jí)配骨料粒徑.

為了增加數(shù)據(jù)集的樣本空間，設(shè)置骨料體積分?jǐn)?shù)范圍在20%～40%之間，孔隙率范圍在0%～10%之間.如圖4的有限元模型，試件尺寸為150 mm×150 mm，骨料級(jí)配采用三級(jí)配，粒徑分別為18 mm，12 mm，6 mm，孔隙直徑取為2 mm[23]，骨料顆粒形狀和孔隙形狀均假設(shè)為圓形[24]，骨料與孔隙數(shù)目分別通過Walaraven 公式以及孔隙率計(jì)算.

圖4 混凝土細(xì)觀模型Fig.4 Concrete’s meso-model

在材料參數(shù)方面，由于骨料相比砂漿基質(zhì)有較高的強(qiáng)度，不會(huì)產(chǎn)生貫穿裂縫引起的斷裂破壞，使用線彈性模型模擬骨料的力學(xué)性能；水泥砂漿的力學(xué)行為與混凝土相似，宏觀應(yīng)力-應(yīng)變曲線達(dá)到峰值應(yīng)力后都會(huì)出現(xiàn)軟化行為，采用ABAQUS 中的混凝土損傷塑性（concrete damage plasticity）模型[25]模擬其損傷及斷裂行為.本文中，各細(xì)觀組分的材料參數(shù)按照文獻(xiàn)[26]定義，見表1.

表1 細(xì)觀組分的力學(xué)參數(shù)Table 1 Mechanical parameters of meso-compositions

鑒于表現(xiàn)良好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要大量數(shù)據(jù)集進(jìn)行訓(xùn)練，本文通過編寫ABAQUS 內(nèi)置腳本語言Python 程序自動(dòng)實(shí)現(xiàn)前處理操作，包括重復(fù)且繁瑣的建立隨機(jī)骨料模型、賦予材料屬性、施加荷載、劃分網(wǎng)格等一系列操作.使用ABAQUS/standard 隱式模塊進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，采用準(zhǔn)靜態(tài)單軸壓縮實(shí)驗(yàn)加載，如圖5 所示，在試件底部邊界約束豎向位移，并且在底部邊界中點(diǎn)處約束水平位移；有限元模擬采用位移控制加載，在試件頂部邊界施加均勻位移荷載.最后獲取對(duì)應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線.一共收集訓(xùn)練集1 512 組、驗(yàn)證集168 組、測(cè)試集21 組.

圖5 單軸壓縮實(shí)驗(yàn)加載示意圖Fig.5 Diagram of uniaxial compression test loading

2.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

2.2.1 細(xì)觀模型窗口圖像預(yù)處理

輸入數(shù)據(jù)會(huì)對(duì)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出結(jié)果產(chǎn)生較大影響，需要對(duì)輸入圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理操作.首先將輸入的細(xì)觀模型窗口圖像編碼為RGB 色彩的數(shù)據(jù)形式，不同的細(xì)觀組分需要設(shè)置不同顏色，在本文中，綠色代表骨料，藍(lán)色代表砂漿，而紅色代表孔隙.另外，用于訓(xùn)練以及測(cè)試的圖像分辨率設(shè)置為200 dpi，部分圖像數(shù)據(jù)集如圖6 所示.

圖6 混凝土細(xì)觀模型圖像Fig.6 The image of concrete meso-structure

2.2.2 應(yīng)力-應(yīng)變曲線預(yù)處理

經(jīng)過數(shù)值模擬得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線是由無數(shù)點(diǎn)組成的高維度數(shù)據(jù)，將未經(jīng)處理的應(yīng)力-應(yīng)變曲線作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出數(shù)據(jù)，會(huì)顯著增加神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的負(fù)擔(dān)，消耗大量計(jì)算資源的同時(shí)降低神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)效率.鑒于此，本文分兩個(gè)步驟簡(jiǎn)化應(yīng)力-應(yīng)變曲線[7]：1）使用曲線上41 個(gè)固定橫坐標(biāo)的點(diǎn)表征一條應(yīng)力-應(yīng)變曲線；2）不同的應(yīng)力-應(yīng)變曲線之間，41 個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是重復(fù)的信息，因此可以暫時(shí)省略，只保留縱坐標(biāo)的信息.經(jīng)過以上兩步簡(jiǎn)化，如圖7 所示，每條應(yīng)力-應(yīng)變曲線簡(jiǎn)化表達(dá)為41 維的向量.

圖7 應(yīng)力-應(yīng)變曲線預(yù)處理Fig.7 Preprocessing of the stress-strain curve

2.2.3 自定義損失函數(shù)

由于預(yù)測(cè)任務(wù)目標(biāo)為41 維的向量，是多回歸問題，因此需要修改GoogLeNet 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層激活函數(shù)：應(yīng)力數(shù)值的值域包含于ReLU 函數(shù)的值域，所以采用ReLU 函數(shù)作為最后輸出層的激活函數(shù)，設(shè)定輸出維度為41，分別對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)化后的應(yīng)力-應(yīng)變曲線.另一方面，損失函數(shù)是反向傳播中權(quán)重更新的基礎(chǔ)，具有多種形式，不同的問題需要設(shè)置對(duì)應(yīng)的損失函數(shù).本文通過自定義的均方根誤差（RMSE）函數(shù)作為損失函數(shù)：

式中L(y,)為損失值，y為真實(shí)的應(yīng)力值，y?為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的應(yīng)力值.

3 訓(xùn)練過程及預(yù)測(cè)結(jié)果

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)中參數(shù)規(guī)模巨大，為了提高并行計(jì)算和訓(xùn)練效率，本實(shí)驗(yàn)在搭載了NVIDIA GeForce GTX 1650 的計(jì)算機(jī)上完成.基于深度學(xué)習(xí)開源框架Keras 搭建GoogLeNet 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在TensorFlow[27]后端上進(jìn)行訓(xùn)練.依賴的Python 庫有Pillow、h5py、protubuf、numpy 等.

3.1 訓(xùn)練過程

訓(xùn)練過程使用Adam[28]優(yōu)化器作為反向傳播算法.設(shè)定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)率為1E-3，批處理大小為4，epoch 值Eepoch為100.訓(xùn)練過程中訓(xùn)練集和驗(yàn)證集的損失曲線如圖8 所示.從圖中可以觀察到，隨著訓(xùn)練迭代輪次的逐步增加，驗(yàn)證損失顯著減少最后趨于穩(wěn)定.

圖8 訓(xùn)練集和驗(yàn)證集損失曲線：(a)訓(xùn)練集損失曲線；(b)驗(yàn)證集損失曲線Fig.8 Loss curves of the training set and the validation set: (a) the loss curve of the training set; (b) the loss curve of the validation set

3.2 預(yù)測(cè)結(jié)果

訓(xùn)練過程中，當(dāng)驗(yàn)證集損失值降低到最小為1.061 時(shí)，載入對(duì)應(yīng)的權(quán)重參數(shù)到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以快速預(yù)測(cè)得到測(cè)試集的應(yīng)力-應(yīng)變曲線.圖9 為部分測(cè)試集的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線和預(yù)測(cè)得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線對(duì)比情況.

圖9 部分測(cè)試集的預(yù)測(cè)結(jié)果和數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比：(a) 骨料體積分?jǐn)?shù)39%，孔隙率1%；(b) 骨料體積分?jǐn)?shù)39%，孔隙率6%；(c) 骨料體積分?jǐn)?shù)39%，孔隙率9%；(d) 骨料體積分?jǐn)?shù)40%，孔隙率1%；(e) 骨料體積分?jǐn)?shù)40%，孔隙率3%；(f) 骨料體積分?jǐn)?shù)40%，孔隙率8%Fig.9 Comparison of prediction results with numerical test data: (a) aggregate volume fraction at 39%, porosity at 1%; (b) aggregate volume fraction at 39%,porosity at 6%; (c) aggregate volume fraction at 39%, porosity at 9%; (d) aggregate volume fraction at 40%, porosity at 1%; (e) aggregate volume fraction at 40%, porosity at 3%; (f) aggregate volume fraction at 40%, porosity at 8%

通過觀察預(yù)測(cè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，基于混凝土細(xì)觀模型圖像信息，使用訓(xùn)練良好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)得到的曲線能夠擬合真實(shí)曲線.在彈性階段，預(yù)測(cè)曲線與真實(shí)曲線幾乎重合；在塑性階段，曲線的擬合效果存在一定差異.分析認(rèn)為：在彈性階段，混凝土內(nèi)部幾乎不產(chǎn)生損傷演化，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入的圖像信息和彈性階段的細(xì)觀模型差異細(xì)微，所以曲線擬合效果好；隨著荷載的持續(xù)施加，混凝土內(nèi)部獨(dú)立微裂縫之間開始貫通，形成宏觀裂縫，造成混凝土局部破壞，此時(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入的圖像和細(xì)觀模型差異逐漸顯著，圖像信息與細(xì)觀模型匹配度降低，一定程度上增加了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的難度.

3.3 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測(cè)試結(jié)果對(duì)比

表2 展示了基于數(shù)據(jù)集的不同卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的對(duì)比.可以看出，在引入了算法更為先進(jìn)的inception模塊后，GoogLeNet 無論是在模型參數(shù)數(shù)量還是驗(yàn)證集損失上都具有明顯的優(yōu)勢(shì).GoogLeNet 訓(xùn)練所花費(fèi)的時(shí)間，分別是AlexNet 和ResNet 的60.3%和36.8%.其次，在驗(yàn)證集損失方面，GoogleNet 和ResNet 分別為1.016 和1.773，而AlexNet 高達(dá)6.139.圖10 展示了不同卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線對(duì)比.通過觀察可以得到：AlexNet 無論是在彈性階段還是塑性階段都無法較好地?cái)M合曲線；ResNet 則無法較好地預(yù)測(cè)和捕獲應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值應(yīng)力信息；GoogLeNet 無論在彈性階段還是曲線峰值處都有著良好的預(yù)測(cè)效果.

表2 各卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的對(duì)比Table 2 Comparison of CNN models

圖10 不同CNN 預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison of different CNN prediction results

3.4 定量評(píng)估預(yù)測(cè)結(jié)果

從全局定量地描述曲線預(yù)測(cè)結(jié)果難度較大，本文從應(yīng)力-應(yīng)變曲線中提取到峰值應(yīng)力和等效彈性模量?jī)蓚€(gè)重要力學(xué)性能，使用相對(duì)誤差定量評(píng)估局部曲線預(yù)測(cè)結(jié)果的精度.相對(duì)誤差計(jì)算方法如下：

式中，εr為相對(duì)誤差，P代表預(yù)測(cè)值，A代表真實(shí)值.

如圖11(a)、(c)所示，從預(yù)測(cè)曲線中提取到的等效彈性模量和峰值應(yīng)力都分布在直線附近，表明預(yù)測(cè)結(jié)果和真實(shí)結(jié)果非常接近.如圖11(b)所示，在21 組測(cè)試數(shù)據(jù)中，20 組峰值應(yīng)力相對(duì)誤差小于10%，10 組峰值應(yīng)力的相對(duì)誤差小于2%.在圖11(d)中，20 組測(cè)試數(shù)據(jù)的等效彈性模量相對(duì)誤差小于5%，10 組測(cè)試數(shù)據(jù)的彈性模量相對(duì)誤差小于2%.

圖11 預(yù)測(cè)結(jié)果：(a) 峰值應(yīng)力預(yù)測(cè)值；(b) 峰值應(yīng)力預(yù)測(cè)值誤差；(c) 彈性模量預(yù)測(cè)值；(d) 彈性模量預(yù)測(cè)值誤差Fig.11 Predictions: (a) peak stress prediction; (b) errors of peak stress prediction; (c) elastic modulus prediction; (d) errors of elastic modulus of prediction

4 結(jié)論及展望

本文以混凝土這種非均質(zhì)復(fù)合材料為研究對(duì)象，基于細(xì)觀模型圖像信息，利用GoogLeNet 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)混凝土細(xì)觀模型進(jìn)行了單軸抗壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線預(yù)測(cè).經(jīng)過大量數(shù)據(jù)訓(xùn)練得到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在測(cè)試集上預(yù)測(cè)得到的曲線與數(shù)值計(jì)算得到的曲線吻合度較高.研究結(jié)果表明，基于GoogLeNet 的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠提取混凝土細(xì)觀模型中的特征信息，表現(xiàn)出良好的泛化能力.這項(xiàng)研究為高效、準(zhǔn)確地建立混凝土細(xì)觀模型和應(yīng)力-應(yīng)變曲線之間的非線性映射提供了方法，展示了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模式下混凝土跨尺度力學(xué)行為研究的潛力.

在建立混凝土二維細(xì)觀模型時(shí)，為了減少數(shù)值模擬計(jì)算時(shí)間，提高數(shù)據(jù)收集的效率，我們假設(shè)骨料和孔隙的幾何形狀為圓形，以后的工作中，會(huì)建立包含幾何形狀更為復(fù)雜的二維細(xì)觀模型數(shù)據(jù)集，同樣可以使用CT 掃描圖像建立細(xì)觀模型數(shù)據(jù)集.不僅僅局限于混凝土，對(duì)于其他非均質(zhì)復(fù)合材料也同樣可以采取類似的研究方法，甚至推廣到新型復(fù)合材料的設(shè)計(jì)研究.在未來的工作中，我們一方面將引入成功的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ突蛘咚惴?，?shí)現(xiàn)材料宏觀性能的更高效預(yù)測(cè)；另一方面，將成熟的有限元方法逐步“嵌入”到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，將數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的深度學(xué)習(xí)方法變得可解釋，也是一個(gè)值得攻克的難點(diǎn).