彭 剛 陳映彤 (廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 541004)

東京大學是日本最頂尖的綜合性大學，匯聚了日本一流的人力資本和學術資源.在日本 近代數(shù)學的發(fā)展中，東京大學扮演了舉足輕重的角色——1877年日本東京數(shù)學會和東京大學 理學部成立，日本現(xiàn)代數(shù)學研究正式拉開帷幕.曾獲菲爾茲獎和沃爾夫獎的著名數(shù)學家小平邦彥(Kunihiko Kodaira，1915—1997)就曾在東京大學工作過.時至今日，東京大學仍是日本最重要的數(shù)學研究機構.

與日本其他著名高校一樣，東京大學每年通過大學入學考試為其選拔大批優(yōu)秀后備人才，不斷增強本校數(shù)學研究的力量.日本著名大學入學考試作為選拔高水平人才的得力方式，其試題的設置方式與內(nèi)容均值得我們借鑒．本文對東京大學2021年數(shù)學入學考試試題進行解析，希望對當前中國實施的“強基計劃”提供參考.

1 試題概述

日本國公立大學的選拔一般由兩場考試構成——學生首先需通過全國統(tǒng)一的大學入學考試，成績合格后才有資格參加國家公立大學自主組織的入學考試

.

東京大學自主組織的入學考試數(shù)學試題分為理科卷和文科卷，本文介紹的即為2021年東京大學入學考試中的理科數(shù)學試題

.

依據(jù)日本最大的教育輔導社河合塾提供的數(shù)據(jù)，2021年東京大學理科數(shù)學試題的總體難度與2020年持平，較2019年有所上升

.

試題中的題目均為解答題，共6大題(每個大題都包含若干個小題)，總分為120分，考試總時長為150分鐘

.

從內(nèi)容方面來看，這些題目涉及的知識領域包括初等數(shù)論、初等代數(shù)、解析幾何以及微積分

.

下面我們對這6道問題進行解析

.

2 試題解析

第1題

已知

a

,

b

為實數(shù)，平面直角坐標系中有拋物線

C

：

y

=

x

+

ax

+

b

，它與拋物線

y

= -

x

有兩個交點，且兩個交點的橫坐標分別滿足

x

∈(-1,0)，

x

∈(0,1)

.

(1)在平面直角坐標系中表示出點(

a

,

b

)的范圍；(2)在平面直角坐標系中表示出拋物線

C

的范圍

.

解

(1)由得2

x

+

ax

+

b

=0

.

設

f

(

x

)=2

x

+

ax

+

b

，依題意知

f

(

x

)的圖象與

x

軸的兩個交點為(

x

,0),(

x

,0)，且 -1<

x

<0,0<

x

<1

.

由

x

,

x

的分布可知即從而得到平面直角坐標系中點(

a

,

b

)的范圍(如圖1所示，

a

軸上的點除外)

.

圖1

(2)設(1)中點(

a

,

b

)的范圍為

D

，拋物線通過的范圍設為

E

，(

x

,

y

)為

E

中任意一點，則(

x

,

y

)滿足的條件為：在

xOy

平面上，滿足

y

=

x

+

ax

+

b

且(

a

,

b

)在

D

中；這等價于：在

aOb

平面上，直線

b

=-

xa

+

y

-

x

與

D

有公共點

.

令

g

(

a

)=-

xa

+

y

-

x

，可分為以下四種情況討論：①當-

x

≤-1即

x

≥1時，有所以

x

-2

x

<

y

<

x

+2

x

；②當-1≤-

x

≤0即0≤

x

≤1時，有所以

x

-2<

y

<

x

+2

x

；③當0≤-

x

≤1即-1≤

x

≤0時，有所以

x

-2<

y

<

x

-2

x

；④當-

x

≥1即

x

≤-1時，有所以

x

+2

x

<

y

<

x

-2

x.

綜上可知，

E

的邊界為

y

=

x

-2

x

，

y

=

x

+2

x

，

y

=

x

-2，進一步可得到直角坐標系中

E

的圖形，如圖2

.

圖2

點評

本題主要考查平面內(nèi)兩條拋物線的位置關系，內(nèi)容屬于“解析幾何”，難度層次為“標準”

.

本題分為兩小問，第(1)問較為常規(guī)，本質(zhì)上是關于一元二次方程根的分布問題，解決策略是將其轉(zhuǎn)換為一元二次函數(shù)的圖象與

x

軸的交點情況來處理

.

第(2)問要求動拋物線的移動范圍，此類問題在我國高考和競賽中都較為少見，其解決策略是“反客為主”，把(

a

,

b

)視為動點，從而將動拋物線與定拋物線的相交問題轉(zhuǎn)化為動直線與定區(qū)域的相交問題，具有一定的挑戰(zhàn)性

.

第2題

已知

f

(

z

)=

az

+

bz

+

c

(

a

,

b

,

c

為復數(shù))，i為虛數(shù)單位

.

(1)設

α

,

β

,

γ

為復數(shù)，且

f

(0)=

α

，

f

(1)=

β

，

f

(i)=

γ

時，請用含

α

,

β

,

γ

的式子表示

a

,

b

,

c

；(2)當

f

(0),

f

(1),

f

(i)均為區(qū)間[1,2]中的實數(shù)時，請在復平面內(nèi)表示

f

(2)的范圍

.

解

(1)由題意得即從而解得(2)設

f

(2)=4

a

+2

b

+

c

=

ω

，將(1)的結果代入

f

(2)中，有=

α

(-1-2i)+

β

(3+i)+

γ

(-1+i)，其中，

α

,

β

,

γ

是滿足1≤

α

≤2，1≤

β

≤2， 1≤

γ

≤2的實數(shù)

.

設-1-2i=

z

,3+i=

z

,-1+i=

z

，則當1≤

α

≤2且1≤

β

≤2時，由復數(shù)加法的幾何意義可知，

αz

+

βz

的范圍為一個平行四邊形(圖3)

.

圖3 圖4

假設這個平行四邊形的邊界及內(nèi)部為

D

，

D

中的各點再加上

γz

(1≤

γ

≤2)，便可得到

ω

即

f

(2)的范圍(圖4)

.

點評

本題主要考查復數(shù)的運算及其幾何表示，內(nèi)容屬于“初等代數(shù)”，難度層次為“較難”

.

本題有兩問，第(1)問求

a

,

b

,

c

的表達式，為常規(guī)計算

.

第(2)問求

f

(2)的范圍，涉及三個變量，難度較大；此問的解題策略是“逐步推進”——先研究兩個變量的情況，然后在此基礎上研究三個變量

.

就表達方式而言，求解第(2)問時既可以利用復數(shù)加法的幾何意義，也可以轉(zhuǎn)換成向量的加法，二者本質(zhì)上是相通的

.

第3題

已知函數(shù)的圖象為

C.C

在點

A

(1,

f

(1))處的切線為

l

：

y

=

g

(

x

)

.

(1)若

C

與

l

只存在一個與點

A

不同的交點，求該點的橫坐標；(2)設(1)中交點的橫坐標為

α

，求定積分

解

(1)由知又所以

l

的方程為令

g

(

x

)=

f

(

x

)，即解得

x

=

x

=1,

x

=-3

.

因此

C

與

l

異于

A

的交點為(-3，

g

(-3))，因此所求的橫坐標為-3

.

(2)由題意

令容易得到

下面使用換元法來計算

I

和

I

.

令則從而有

綜上可知

點評

本題主要考查切線方程求解及定積分的計算，屬于“微積分”的內(nèi)容，難度層次為“標準”

.

本題中的求導運算和積分運算均比較常規(guī)，但對計算的準確性提出了較高的要求

.

第4題

回答以下問題：(1)若正奇數(shù)

K

,

L

和正整數(shù)

A

，

B

滿足

KA

=

LB

，且

K

與

L

除以4的余數(shù)相同，證明：

A

與

B

除以4的余數(shù)也相同；(2)正整數(shù)

a

,

b

滿足

a

>

b

，令證明：存在正奇數(shù)

K

,

L

滿足

KA

=

LB

；(3)

a

,

b

滿足(2)中條件，且

a

,

b

同奇偶，證明：與除以4的余數(shù)相同；(4)求除以4的余數(shù)

.

解

(1)由于4|(

K

-

L

)，令

K

-

L

=4

n

(

n

為整數(shù))，則

K

=

L

+4

n

．又

KA

=

LB

，故(

L

+4

n

)

A

=

LB

，即

L

(

A

-

B

)=-4

nA

，而

L

為奇數(shù)，所以

A

-

B

是4的倍數(shù)，從而得到

A

與

B

被4除的余數(shù)相同

.

(2)依題可知，

令

r

=4

a

(4

a

-4)·…·(4

a

-4

b

+4)，

r

=(4

a

+1)(4

a

-3)·…·(4

a

-4

b

+1)，

r

=(4

a

-2)(4

a

-6)·…·(4

a

-4

b

+2)，

r

=(4

a

-1)(4

a

-5)·…·(4

a

-4

b

+3)，以及

t

=4

b

(4

b

-4)·…·8·4，

t

=(4

b

+1)(4

b

-3)·…·5·1，

t

=(4

b

-2)(4

b

-6)·…·6·2，

t

=(4

b

-1)(4

b

-5)·…·7·3，

高級氧化模塊又稱做深度氧化模塊，在高溫高壓、電、聲、光輻照、催化劑等反應條件下，產(chǎn)生具有強氧化能力的羥基自由基(·OH)，使大分子難降解有機物氧化成低毒或無毒的小分子物質(zhì)的修復模塊。高級氧化模塊具有處理效率高，泛用性好，體積小等優(yōu)點，廣泛應用于各種污染場地地下水處理。西玖環(huán)保通過多年經(jīng)驗積累，對高級氧化模塊處理工藝進行優(yōu)化，達到業(yè)內(nèi)較高的處理效率和設備壽命。一套設備可以拆卸成多個模塊運輸?shù)较乱粋€污染場地繼續(xù)使用，有效降低地下水處理成本，大大提高了資源利用率。

則有從而得到

令

L

=

r

r

(2

a

-1)(2

a

-3)·…·(2

a

-2

b

+1)，

K

=

t

t

(2

b

-1)(2

b

-3)·…·3·1，此時

K

,

L

均為正奇數(shù)，且滿足即有

KA

=

LB.

(3)易知

r

≡

t

(mod 4)，

r

≡

t

(mod 4)，又2|(

a

-

b

)，故4|(2

a

-2

b

)，即2

a

≡ 2

b

(mod 4)，從而有(2

a

-1)(2

a

-3)·…·(2

a

-2

b

+1)≡(2

b

-1)(2

b

-3)·…·(2

b

-2

b

+1)=(2

b

-1)(2

b

-3)·…·3·1(mod 4)．因此

K

≡

L

(mod 4)，結合(2)的結論便可得到(4)由(3)可知所以除以4的余數(shù)為3

.

點評

本題主要考查整除和同余理論，內(nèi)容屬于“初等數(shù)論”，難度層次為“較難”

.

本題共有4個小問，并且它們環(huán)環(huán)相扣，問題的設計很精妙

.

本題引入了組合數(shù)，因而增加了題目的難度，解題者需要根據(jù)(1)中的結論，將組合數(shù)展開中的諸多整數(shù)按照模4的余數(shù)進行分類，并通過換元來簡化運算，具有很強的技巧性

.

第5題

已知

α

為正實數(shù)，關于

θ

的函數(shù)

f

(

θ

)為平面上

A

，

P

兩點距離的平方，這兩點的坐標分別為

A

(-

α

，-3)，

P

(

θ

+sin

θ

,cos

θ

)(0≤

θ

≤π)

.

(1)證明：當0<

θ

<π時，存在唯一的

θ

使得

f

′(

θ

)=0；

解

(1)依題可知

f

(

θ

)=

AP

=(

θ

+sin

θ

+

α

)+(cos

θ

+3)，則

f

′(

θ

)=-4sin

θ

+2(

θ

+

α

)cos

θ

+2(

θ

+

α

)，

f

″(

θ

)=-2(

θ

+

α

)sin

θ

-2cos

θ

+2，

f

?(

θ

)=-2(

θ

+

α

)cos

θ.

由

f

?(

θ

)的正負可得到

f

″(

θ

)的單調(diào)性，如下表所示：

θ00,π2 π2π2,π πf?(θ)-0+f″(θ)0↘2-π-2α↗4

因為所以存在使得

f

″(

β

)=0．又

f

″(

θ

)在內(nèi)單調(diào)遞增，故這樣的

β

是唯一的

.

由

f

″(

θ

)的正負繼續(xù)可以得到

f

′(

θ

)的單調(diào)性，如下表所示：

θ0(0,β)β(β,π)πf″(θ)-0+f'(θ)4α↘f'(β)↗0

因為

f

′(

θ

)在(

β

,π)內(nèi)單調(diào)遞增，所以

f

′(

β

)<

f

′(π)=0，而

f

′(

θ

)在(0,

β

)內(nèi)單調(diào)遞減，且

f

′(0)=4

α

>0，所以在(0,

β

)中存在唯一一個

γ

使得

f

′(

γ

)=0

.

(2)由

f

′(

θ

)的正負可以得到

f

(

θ

)的單調(diào)性，如下表所示：

θ0(0,γ)γ(γ,π)πf'(θ)+0-0f(θ)f(0)↗f(γ)↘f(π)

從上表容易看出

f

(

θ

)的最大值為

f

(

γ

)，依題意有從而得到即-4解得

α

的范圍為

點評

本題主要考查零點定理、函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，屬于“微積分”的內(nèi)容，難度層次為“標準”

.

本題有兩小題，其中第(1)題十分有特色，解答過程中涉及多個存在性問題

.

與第3題主要考查計算不同，本題帶有濃厚的“分析”味道，解題者既需要清晰的邏輯思維，又需要有較強的直覺能力

.

第6題

已知

b

,

c

,

p

,

q

,

r

為常數(shù)，下式為關于

x

的一個恒等式：

x

+

bx

+

c

=(

x

+

px

+

q

)(

x

-

px

+

r

)

.

(1)當

p

≠0時，用

p

,

b

表示

q

,

r

；(2)當

p

≠0時，設(

a

為常數(shù))，請寫出一組滿足[

p

-(

a

+1)][

p

+

f

(

a

)

p

+

g

(

a

)]=0的有理系數(shù)整式

f

(

t

)與

g

(

t

)；(3)若

a

為整數(shù)，關于

x

的四次多項式可分解為二次有理系數(shù)多項式的乘積，求

a.

解

(1)由

x

+

bx

+

c

=(

x

+

px

+

q

)(

x

-

px

+

r

)=

x

+(

q

+

r

-

p

)

x

+

p

(

r

-

q

)

x

+

qr

知當

p

≠0時，有(2)當

p

≠0時，由可得即

p

-4

cp

-

b

=0

.

將代入上式得到

p

+(4

a

+3)(

a

+1)

p

-(

a

+1)(

a

+2)=0，從而有[

p

-(

a

+1)][

p

+(

a

+1)

p

+(

a

+1)(

a

+2)]=0

.

故滿足條件的一組整式

f

(

t

)與

g

(

t

)為

f

(

t

)=

t

+1，

g

(

t

)=(

t

+1)(

t

+2)

.

(3)令其中

p

,

q

,

r

均為有理數(shù)

.

①當

p

=0時，

P

(

x

)=(

x

+

q

)(

x

+

r

)=

x

+(

q

+

r

)

x

+

qr

，此時有易知

a

=-2，

r

=-

q

，從而有這與

q

是有理數(shù)矛盾

.

②當

p

≠0時，由(2)知

p

滿足[

p

-(

a

+1)][

p

+(

a

+1)

p

+(

a

+1)(

a

+2)]=0，由于

p

+(

a

+1)

p

+(

a

+1)(

a

+2)恒大于0，所以

p

-(

a

+1)=0，即又當

p

為有理數(shù)時，

q

,

r

均為有理數(shù)，故只需為有理數(shù)即可

.

令(

m

,

n

為互質(zhì)的正整數(shù))，則有

m

(

a

+1)=

n

．由于

a

為整數(shù)，所以

m

整除

n

.

由于

m

,

n

互質(zhì)，所以

m

,

n

也互質(zhì)，從而有

m

=1，即

m

=1，此時有

a

+1=

n

，所以(

a

+

n

)(

a

-

n

)=-1，解得當

a

=0時，

點評

本題主要考查代數(shù)式的運算，內(nèi)容屬于“初等代數(shù)”，難度層次為“較難”

.

本題具有較強的綜合性，解題步驟也較多，對解題者的計算準確性要求很高．此外，本題涉及較多的字母(除了主元

x

外，還有6個表示常量的字母

a

,

b

,

c

,

p

,

q

,

r

)，因而解題者需要具備較強的信息處理能力

.

3 結語

2020年1月，中國教育部頒布文件《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》．該文件聚焦國家重大戰(zhàn)略需求，決定從2020年起取消高校自主招生考試，在試點的36所高校實施“強基計劃”，以提升基礎學科人才選拔和人才培養(yǎng)質(zhì)量．

通過對中國2020年“強基計劃”中部分大學的試題與東京大學的入學試題的對比，不難發(fā)現(xiàn)兩國的試題各具特點．中國實施“強基計劃”的部分著名高校試題題目數(shù)量較多，比如北京大學和清華大學的試題都是20道，復旦大學的試題有33道，并且題型均為選擇題，因而考查的知識面比較廣；而東京大學的自主招生考試題目較少，但均為解答題，因而能更深入地考查學生的數(shù)學思維和數(shù)學表達能力．此外，東京大學入學試題對微積分這一內(nèi)容的要求很高；事實上，微積分這一內(nèi)容是日本各大高校入學考試中的重要考查對象，相對而言我國的高校在這方面則要求不高．東京大學等日本頂級大學的入學數(shù)學試題為當前中國數(shù)學資優(yōu)生的培養(yǎng)與選拔提供了重要參考．