顧曉峰 (江蘇省錫山高級中學(xué) 214174)

在經(jīng)歷“八省聯(lián)考數(shù)學(xué)”的“驚心動魄”后，2021年新高考數(shù)學(xué)I卷最終回歸平靜．沒有讓學(xué)生發(fā)懵的三項數(shù)列遞推，沒有陌生的臺體公式，也沒有抽象難懂的曲率，試卷命題遵循新課標(biāo)的“四基”要求，秉持“立德樹人”的核心目標(biāo)，在繼承2020年新高考I卷(山東卷)命題風(fēng)格的同時也作出了一些創(chuàng)新．試卷的諸多亮點值得品味與反思，其中呈現(xiàn)出的新動向與新變化也將深刻影響2022年高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)教學(xué)．

1 試卷分析

2021年新高考I卷由教育部考試中心命制，為山東、河北、湖北、湖南、江蘇、廣東、福建七省使用．同2020年新高考I卷一樣，試卷不分文理，且以2017版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為本確定考試范圍，在試卷結(jié)構(gòu)上大體保持一致，但也出現(xiàn)了一些變化：

(1)多選題分值由原來“部分選對得3分”調(diào)整為“部分選對得2分”，增加了該題型的區(qū)分度；

(2)壓軸填空題變?yōu)殡p空題，既擴大了考查知識的范圍，也利于學(xué)生逐步探究并盡量得分，在豐富命題形式的同時照顧到了學(xué)生心態(tài)；

(3)未出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良的開放性試題；

(4)除立體幾何題外，解答題中其余考點的位置均發(fā)生了變化，其中三角函數(shù)題由原來第一題后移至第三題，變化較大．

考試內(nèi)容整體分布合理，試題堅持體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的特點，難度把握上科學(xué)調(diào)控，具有很好的選拔性，本文將分三個層面對試題進行評析．

2 試題評析

2.1 穩(wěn)固基礎(chǔ)——立足主干知識方法的覆蓋

2.1.1考點分布

2021年新高考I卷必修和選擇性必修考點分布如表1、表2所示．

表1 2021年新高考I卷必修考點分布

表2 2021年新高考I卷選擇性必修考點分布

2.1.2考點分析

與2020年新高考I卷對比[1]，試卷加大了對三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)、概率和空間向量與立體幾何的考查，體現(xiàn)命題對核心主干知識的回歸．如解析幾何涉及了四題，且分別考查了圓、橢圓、雙曲線與拋物線，考查形式涵蓋了所有題型，難度設(shè)置從容易到中檔再到較難．試卷不再對相等與不等關(guān)系、初等函數(shù)和計數(shù)原理進行單獨考查，弱化了統(tǒng)計、立體幾何初步的相關(guān)內(nèi)容，表明命題考慮到了知識的作用，凸顯出預(yù)備知識與部分基礎(chǔ)知識的工具性，符合新課標(biāo)的要求．

試題不僅對基礎(chǔ)知識覆蓋全面，也強化了對數(shù)學(xué)基本思想方法與技能的考查：分類與整合(第4,12,15,19題等)，數(shù)與形結(jié)合(第7,11,12,16題等)，化歸與轉(zhuǎn)化(第5,7,10,19題等)，函數(shù)與方程(第7,19,21,22題等)．試題的解決以通性通法為主，淡化特殊技巧，其中第1～6,9～10,13～14,17～18和19～22題的第(1)問均屬于容易題，側(cè)重考查了知識、公式、概念和基本性質(zhì)的直接應(yīng)用．縱觀整張試卷，其穩(wěn)健固本、立足基礎(chǔ)的特點顯現(xiàn)得淋漓盡致．

2.2 重視能力——凸出關(guān)鍵能力的考查

關(guān)鍵能力是評價學(xué)習(xí)者認(rèn)識、分析與解決問題水平的核心指標(biāo)，基于數(shù)學(xué)新課程改革的核心素養(yǎng)要求以及《中國高考評價體系》的理論指引，一般將高考數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查定位于四項：閱讀理解、信息整理、語言表達(dá)與批判性思維[2]．

2.2.1信息閱讀與整理

2.2.2批判性思維

批判性思維是數(shù)學(xué)理性思維的高度表現(xiàn)，它促使學(xué)生面對新問題情境時，能夠綜合運用已有知識進行獨立分析，多角度理解，主動尋找問題解決的途徑，并能夠?qū)徱曔^程的嚴(yán)謹(jǐn)性與合理性．

例2(全國I卷第7題)若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則( )．

A．eb

C．0

本題表面上看是幾何問題，實質(zhì)上需要通過設(shè)出切點(x0,ex0)，然后表示切線并轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的方程ex0(1-x0+a)=b有兩個不等根，再構(gòu)造f(x)=ex(1-x+a)，畫其草圖研究它與直線y=b何時有兩個交點．問題的解決需要學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的幾何意義與利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的知識深入理解，同時熟練運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程的思想對問題進行轉(zhuǎn)化，這對批判性思維能力的要求較高．其實對于一部分學(xué)生來說，還可以發(fā)現(xiàn)過(a,b)要能作y=ex的兩條切線，則(a,b)一定在曲線y=ex的下方且在x軸上方，這就直接得0

例3(全國I卷第19題)記△ABD的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC．

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

本題第(1)問直接使用正弦定理便可解決，屬基礎(chǔ)題，但第(2)問將不少學(xué)生“卡住”，究其原因是無法整合已知條件．其實，BA,BD,BC分別是c,b,a，點D為AC邊上靠近C的三等分點，目標(biāo)指向∠ABC，這些“蛛絲馬跡”幫助我們聯(lián)想起利用向量的“定比分點公式”能將它們整合在一起，再于△ABC中對∠ABC用余弦定理，聯(lián)立各關(guān)系式最終得出a,c的關(guān)系．除了利用向量知識外，也可以通過作輔助線(如過D作DE∥BC交AB于E)再算兩次余弦值(如cos∠BED,cos∠ABC)來獲得a,c關(guān)系式．本題的難點在于如何通過條件構(gòu)建兩個關(guān)于a,b,c,∠ABC的關(guān)系式，這要求考生能有效識別信息要素間關(guān)系，對三角、向量、平幾等知識協(xié)同應(yīng)用.這是對批判性思維的深度考查．

多項選擇題是近兩年來在新高考中新增的題型，因其需對各選項逐個檢查判斷或進行比對排除，故能較好地檢測學(xué)生的批判性思維能力．比如2021全國I卷第11題，一些考生習(xí)慣性地以為在選項C與D中應(yīng)該二選其一，但∠PBA無論最大還是最小，PB都與圓相切，這意味著PB是相同的，故基于理性判斷應(yīng)大膽兼選．第12題可以相對容易地排除選項A和C，在不計算選項D的情況下便可選BD．

2.2.3語言表達(dá)

如果說閱讀理解是信息的輸入過程，那么語言表達(dá)就是信息的輸出過程．高考數(shù)學(xué)的語言表達(dá)強調(diào)書寫的規(guī)范性、過程的條理性與結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密性，閱卷教師將依據(jù)呈現(xiàn)出的內(nèi)容來判斷學(xué)生對基本知識、定理與公式的理解，對思想方法的掌握與理性思維水平的高低，因此語言表達(dá)能力顯得尤為關(guān)鍵．

圖1

例4(全國I卷第20題)如圖1，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O是BD的中點．

(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積．

本題第(1)問要求準(zhǔn)確使用面面垂直的性質(zhì)定理以及線面垂直的定義，證明過程需做到規(guī)范、簡明、邏輯鏈連續(xù)完整，這是語言表達(dá)的基本要求．第(2)問如若選擇建立空間直角坐標(biāo)系解決，則要求學(xué)生能準(zhǔn)確表述并證明建系的過程，且由于逆向設(shè)問(已知二面角大小)，需先設(shè)出A的坐標(biāo)，通過建立方程求得AO長，再利用體積公式求解．當(dāng)然，第(2)問也可以過點E作EF∥AO交BD于F，過F作FG⊥BC交BC于G，連結(jié)EG，再嚴(yán)格論證∠EGF為二面角的平面角，并結(jié)合有關(guān)平幾知識推出AO的長．無論何種做法，都需要言明從立體幾何轉(zhuǎn)化為空間向量(或平幾)操作的合理性，且只有流暢而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)才能清晰地展現(xiàn)思維的過程和結(jié)果．

2.3 追求本質(zhì)——回歸原始概念和典型問題的理解

數(shù)學(xué)是建立在原始概念基礎(chǔ)上的學(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)是對概念的內(nèi)涵與外延深入挖掘后再加以應(yīng)用．倘若失去對概念本質(zhì)的認(rèn)識，那么解題便成為“無本之木，無源之水”，因此高考命題不斷關(guān)注著對數(shù)學(xué)本源性的考查．

例5(全國I卷第8題)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( )．

A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立

C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立

本題考查了相互獨立事件的定義，這恰恰擊中許多學(xué)生備考中的盲點．依據(jù)定義，對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．從本質(zhì)上說，事件A與B相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)是事件A(或B)發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，其強調(diào)的是對概率的影響，因而在解題時應(yīng)分別檢驗兩事件各自發(fā)生的概率之乘積與同時發(fā)生的概率是否相等，也就是必須回歸到原始定義，而不能憑生活經(jīng)驗直覺判定．

新高考不僅重視對原始概念的深度理解，還熱衷于對典型問題進行再創(chuàng)新．比如2020年全國I卷壓軸題考查了直線過定點與“隱圓”問題，2021年全國I卷的壓軸題也有“熟悉的味道”．

例6(全國I卷第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

3 教學(xué)建議

2021年是全國新高考I卷命題第二年，試題呈現(xiàn)出的共性特點或許是未來高考數(shù)學(xué)的風(fēng)向標(biāo)，試題表現(xiàn)出的動態(tài)變化也提醒我們在教學(xué)中需要與時俱進．基于2021年與2020年全國I卷的分析，對2022年高考復(fù)習(xí)教學(xué)提出幾點建議：

(1)回歸教材，認(rèn)真回顧和理解概念的生成與發(fā)展，關(guān)注具有“源于教材但又高于教材”特點的問題．以本為本，保證主干知識復(fù)習(xí)的全面性，如解析幾何中四類曲線都有可能成為考點．

(2)適當(dāng)弱化新定義型問題的訓(xùn)練，重視數(shù)學(xué)應(yīng)用型、數(shù)學(xué)文化型問題解題素養(yǎng)的提升．如加強學(xué)生閱讀理解的積極性和有效性，設(shè)置與生活文化相關(guān)的問題情境并滲透數(shù)學(xué)知識與方法，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力．

(3)2021年全國I卷中有不少試題可從多角度解決(如第4，6，7，12，13，14，19，20題等)，這要求在備考復(fù)習(xí)中規(guī)避“題海戰(zhàn)術(shù)”，給予學(xué)生充足時間思考，重視對問題的源與流進行深入研究，甚至可以舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維．

(4)2020年、2021年全國I卷的最后三道解答題考查的知識點均為立體幾何、解析幾何與導(dǎo)數(shù)，在復(fù)習(xí)過程中可加強對這三大板塊中典型問題的研究．這兩年均在解答題的三角題與數(shù)列題中的一題上設(shè)置了些障礙(2020年數(shù)列題、2021年三角題)，學(xué)生需增強歸納、總結(jié)的探究能力與知識方法之間綜合應(yīng)用的能力．同時，在復(fù)習(xí)(尤其是一輪復(fù)習(xí))中重視師生互動與板演，密切關(guān)注學(xué)生口頭和書面語言表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性與規(guī)范性．