鄭清勇

(山東師范大學(xué)附屬中學(xué))

分析2021年北京卷的概率試題可以發(fā)現(xiàn),該題以“新冠肺炎”為背景,考查了新冠肺炎檢測(cè)效率,給出了“k合1檢測(cè)法”,命題新穎獨(dú)特,角度較好,下面我們一起賞析這道試題.

1 真題分析

例1(2021年北京卷18)為加快新冠肺炎檢測(cè)效率,某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測(cè)法”,即將k個(gè)人的拭子樣本合并檢測(cè),若為陰性,則可確定所有樣本都是陰性的;若為陽(yáng)性,則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè).現(xiàn)有100人,已知其中2人感染病毒.

(1)(ⅰ)若采用“10合1檢測(cè)法”,且兩名患者在同一組,求總檢測(cè)次數(shù);

(ⅱ)已知10人分成一組,分10組,兩名感染患者在同一組的概率為,定義隨機(jī)變量X為總檢測(cè)次數(shù),求檢測(cè)次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

(2)若采用“5合1檢測(cè)法”,檢測(cè)次數(shù)Y的期望為E(Y),試比較E(X)和E(Y)的大小(直接寫(xiě)出結(jié)果).

本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列、期望,考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

(1)(ⅰ)若采用“10合1檢測(cè)法”,每組檢測(cè)一次,則共檢測(cè)10次;又兩名患者在同一組,需要再檢測(cè)10次,因此一共需要檢測(cè)20次.

(ⅱ)由題意可得X的所有可能取值為20,30.故

所以X的分布如表1所示.

表1

(2)由題意可得Y的所有可能取值為25,30.故

所以Y的分布列如表2所示.

表2

綜上,E(X)＜E(Y).

離散型隨機(jī)變量的期望和方差應(yīng)用問(wèn)題的解題策略如下.1)求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能取值,寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列,正確運(yùn)用期望、方差公式進(jìn)行計(jì)算.2)要注意觀察隨機(jī)變量的概率分布特征,若屬于二項(xiàng)分布,則可用二項(xiàng)分布的期望與方差公式計(jì)算.3)在實(shí)際問(wèn)題中,若兩個(gè)隨機(jī)變量ξ1,ξ2的期望較為接近時(shí),就需要用D(ξ1)與D(ξ2)比較兩個(gè)隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度.一般地,將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案,若各方案的期望相同,則選擇方差最小的方案作為最優(yōu)方案.

2 反思與思考

例1給出了兩種檢測(cè)方法,即“10合1檢測(cè)法”和“5合1檢測(cè)法”,那么這里不由地會(huì)思考,是否還可以給出其他的檢測(cè)方案呢?

例2若例1中采用“4合1檢測(cè)法”,求檢測(cè)次數(shù)Z的分布列和數(shù)學(xué)期望E(Z).

由題意可得Z的所有可能取值為29,33.故所以Z的分布列如表3所示.

表3

例3已知某醫(yī)院現(xiàn)有4份疑似新冠肺炎病人的待檢血液樣本,若采用逐份檢驗(yàn)的方式,樣本檢驗(yàn)的次數(shù)記為ζ1,若采用“4合1檢測(cè)法”,樣本檢驗(yàn)的次數(shù)記為ζ2,如果E(ζ1)＝E(ζ2),求每份血液樣本呈陽(yáng)性的概率p(0＜p＜1).

由題意知E(ζ1)＝4,ζ2的所有可能取值為1,5,P(ζ2＝1)＝(1-p)4,P(ζ2＝5)＝1-(1-p)4,所以

由E(ζ1)＝E(ζ2),得4＝5-4(1-p)4,解得p＝

鏈接練習(xí)

1.(多選題)為排查新型冠狀病毒肺炎患者,需要進(jìn)行核酸檢測(cè).現(xiàn)有兩種檢測(cè)方式:(1)逐份檢測(cè);(2)混合檢測(cè):將其中k份核酸樣本分別取樣混合在一起檢測(cè),若檢測(cè)結(jié)果為陰性,則這k份核酸樣本全為陰性,因而這k份核酸樣本只要檢測(cè)1次就夠了,如果檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性,為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽(yáng)性,就需要對(duì)這k份核酸樣本再逐份檢測(cè),此時(shí),這k份核酸樣本的檢測(cè)次數(shù)總共為k＋1次.假設(shè)在接受檢測(cè)的核酸樣本中,每份樣本的檢測(cè)結(jié)果是陰性還是陽(yáng)性都是獨(dú)立的,并且每份樣本是陽(yáng)性的概率都為p(0＜p＜1),若k＝10,運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷下列哪些p值能使得混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)方式(參考數(shù)據(jù):lg0.794≈-0.1)( ).

A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1

2.黨中央、國(guó)務(wù)院高度重視新型冠狀病毒核酸檢測(cè)工作,中央應(yīng)對(duì)新型冠狀病毒的感染肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組會(huì)議作出部署,要求盡力擴(kuò)大核酸檢測(cè)范圍,著力提升檢測(cè)能力.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),疑似病例核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率為p(0＜p＜1).現(xiàn)有6例疑似病例,分別對(duì)其取樣、檢測(cè),既可以逐個(gè)化驗(yàn),也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn),混合樣本中只要有病毒,則化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性,若混合樣本呈陽(yáng)性,則需將該組中備用的樣本再逐個(gè)化驗(yàn).若混合樣本呈陰性,則判定該組各個(gè)樣本均為陰性,無(wú)需再化驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案.方案一:6個(gè)樣本逐個(gè)化驗(yàn);方案二:6個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn);方案三:6個(gè)樣本均分為兩組,分別混合在一起化驗(yàn).在新冠肺炎疫情爆發(fā)初期,由于檢測(cè)能力不足,化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小,則方案越“優(yōu)”.

(1)若p＝,按方案一,求6例疑似病例中至少有1例呈陽(yáng)性的概率;

(2)若t＝(1-p)3,現(xiàn)將該6例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn),當(dāng)方案三比方案二更“優(yōu)”時(shí),求t的取值范圍.

鏈接練習(xí)參考答案

1.CD.

提示:若混合檢測(cè)方式,樣本需要檢測(cè)總次數(shù)Y的可能取值為1,11.因此

故Y的分布列如表4所示.

表4

若逐份檢測(cè)方式,樣本需要檢測(cè)總次數(shù)X,則E(X)＝10,要使得混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)方式,需E(Y)＜E(X),即11-10×(1-p)10＜10,即1-p＞10-0.1.

又lg0.794≈-0.1,所以1-p＞10lg0.794＝0.794,p＜1-0.794＝0.206,所以0＜p＜0.206.

2.(1)用X表示6例疑似病例中化驗(yàn)呈陽(yáng)性的人數(shù),則隨機(jī)變量X～B(6,),由題意可知P(x≥1)＝1-P(x＝0)＝1-6 例疑似病例中至少有1 例呈陽(yáng)性的概率為

(2)方案二:混合一起檢驗(yàn),記檢驗(yàn)次數(shù)為ξ,則ξ的可能取值為1,7,所以P(ξ＝1)＝t2,P(ξ＝7)＝1-t2,則E(ξ)＝t2＋7(1-t2)＝7-6t2.

方案三:每組的三個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn),記檢驗(yàn)次數(shù)為η,則η的所有可能取值為2,5,8,所以

(完)