劉海濤
(安徽省蕪湖市第一中學(xué))
由于立體幾何問題能有效考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),它已經(jīng)成為近些年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn),??汲P?立體幾何問題常與其他知識(shí)融合、滲透,且常以數(shù)學(xué)文化或?qū)嶋H問題為背景命題,情境新穎,題干冗長,學(xué)生往往不易讀懂題意,難以將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題.縱觀近幾年的高考題及各級(jí)各類模考題,立體幾何一般穩(wěn)定在兩小題一大題,分值約占總分的15%,考查態(tài)勢(shì)基本穩(wěn)定,主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積、體積,空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的證明,空間中的角與距離等知識(shí).解決此類問題首先需要讀懂題目所敘述的實(shí)際情境或文化背景,抽象出空間幾何體所屬模型,最后利用函數(shù)、方程(組)、不等式(組)、平面幾何的動(dòng)點(diǎn)軌跡等知識(shí)解答.因此,在立體幾何的復(fù)習(xí)中,必須強(qiáng)化閱讀理解意識(shí)、模型意識(shí)、函數(shù)意識(shí)、方程(組)意識(shí)、不等式意識(shí)及動(dòng)點(diǎn)的軌跡意識(shí).下面通過六道典型例題,淺談在立體幾何的復(fù)習(xí)備考中,增強(qiáng)以上六個(gè)意識(shí)的重要性,以供讀者參考.
以數(shù)學(xué)文化或?qū)嶋H問題為背景命制的立體幾何問題,通常題目文字?jǐn)⑹鲚^長、數(shù)據(jù)較多,需要學(xué)生具有良好的閱讀理解、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)抽象概括能力,審題時(shí)要把握好題目的關(guān)鍵條件、注意挖掘隱含信息.
例1我國南北朝時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家祖暅提出了祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異.”意思是,夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截,若截面面積都相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí),構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱,與半球(如圖1-甲)放置在同一平面上,然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn),圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體(如圖1-乙),用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí),可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等,由此可證明新幾何體與半球體積相等,即=πR2·R-·R=.現(xiàn)將橢圓=1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體(如圖1-丙),類比上述方法,運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于( ).
圖1
A.32π B.24π
C.18π D.16π
構(gòu)造一個(gè)底面半徑為2,高為3的圓柱,在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn),圓柱上底面為底面的圓錐,設(shè)截面與頂點(diǎn)距離為h(0≤h≤3)時(shí),小圓錐的底面半徑為r,則即r=,所以截面面積為4π-
把y=h代入=1,解得x2=,則橄欖球形幾何體的截面面積為πx2=4π-,由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積為
故選D.
解答該題的關(guān)鍵是讀懂題意,對(duì)于不知道體積公式的幾何體,通過構(gòu)造同高等底半徑的圓柱且從內(nèi)部挖去適當(dāng)?shù)膱A錐的空間幾何體,繼而計(jì)算得到高相等時(shí)截面面積相等,根據(jù)祖暅原理求得待求幾何體的體積.
在解決立體幾何問題時(shí),對(duì)于題中給出特殊條件的空間幾何體,我們往往可以借助特殊空間幾何體予以分析,如求空間幾何體的外接球問題,對(duì)于滿足三條棱兩兩垂直或三組對(duì)棱分別相等的三棱錐,我們可以將其頂點(diǎn)放入符合條件的長方體中,用長方體模型求其外接球.在復(fù)習(xí)備考中,我們要熟記一些特殊的空間幾何體模型,解題時(shí)嘗試用特殊模型輔助分析往往可簡化解題過程,達(dá)到事半功倍的效果.
例2在平行四邊形ABCD中,AB=BC=3,cosA=,以BD為折痕,將△BDC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)E處,且滿足AE=AD,則三棱錐E-ABD的外接球的表面積為________.
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA=9,即BD=3,則AE=AD=BD=BE=3,DE=AB=,則三棱錐E-ABD的每組對(duì)棱長分別相等.又因?yàn)殚L方體的面對(duì)角線可構(gòu)成三組對(duì)棱長分別相等的三棱錐,設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,不妨設(shè)=3,所以該長方體的外接球即為三棱錐E-ABD的外接球,所以外接球的半徑為
若用幾何法找球心,再求半徑,過程復(fù)雜,運(yùn)算量大,而根據(jù)三棱錐的三組對(duì)棱長分別相等的幾何特征,將其放入長方體模型中考慮外接球問題,思路自然流暢,解答過程簡捷易懂.
立體幾何題中有關(guān)求值(最值、范圍等)的問題,通常要選取變量(角度、線段長度、線段比值等)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值(最值、值域等).
例3如圖2所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)面SCD⊥底面ABCD,△SAB是邊長為2的等邊三角形,點(diǎn)P,Q分別為側(cè)棱SA,SB上的動(dòng)點(diǎn),記s=DP+PQ+QC,則s的最小值的取值范圍是________.
圖2
由底面ABCD為矩形得BC⊥CD,又平面SCD⊥平面ABCD,平面SCD∩平面ABCD=CD,BC?平 面ABCD,所 以BC⊥平 面SCD,又SC?平 面SCD,則BC⊥SC.同理可得AD⊥SD,又AD=BC,SA=SB,所以△SAD≌△SBC,則SC=SD.將側(cè)面SAD,SAB,SBC展開后,展開圖如圖3所示,則s的最小值的取值范圍即為CD的取值范圍.
圖3
求解側(cè)面上的線段長之和的最小值問題時(shí),利用側(cè)面展開圖,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,確定最小值.由于本題中線段長度不定,涉及最小值的取值范圍求解,我們需利用某一變量表示出所求的最小值,故考慮將問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域問題.本題因涉及平面幾何,故采用三角函數(shù)與解三角形的知識(shí)來求解相對(duì)簡單,用三角函數(shù)表示出所求線段長后,再利用三角恒等變換知識(shí)化簡,最終轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)值域的求解問題.
在立體幾何問題中,有些已知線面角或二面角大小,探究點(diǎn)的位置關(guān)系或線段長度問題因涉及一個(gè)或多個(gè)變量,無法建立函數(shù)關(guān)系,這時(shí)可以通過方程(組)建立相應(yīng)關(guān)系,再根據(jù)題意進(jìn)行解答.
例4如圖4-甲所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,點(diǎn)M,N分別在邊AB,BC上,沿直 線MD,DN,NM分別將△AMD,△CDN,△BMN折起,點(diǎn)A,B,C重合于一點(diǎn)P,得到如圖4-乙所示的三棱錐P-MND.
圖4
(1)證明:平面PMD⊥平面PND;
(2)若cos ∠DNP=,DP=5,求直線DP與平面DMN所成角的正弦值.
(1)略.
(2)由題意得MA=MB=MP,NB=NC=NP,AD=DC=DP.設(shè)AM=a,BN=b,如圖5-甲所示,作DH⊥BC,則
圖5
因?yàn)樵擃}涉及的線段長度較多,所以考慮設(shè)AM=a,BN=b,通過幾何關(guān)系的分析得到方程組,解出a,b的值,從而算出所求線面角,體現(xiàn)了立體幾何計(jì)算中的方程組意識(shí).
立體幾何題中遇到求取值范圍、最值,比較大小、證明不等關(guān)系等問題時(shí),除了構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式解題,有時(shí)借助不等式能更快地解決問題.
例5已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面的射影O為△ABC的垂心,若S△ABC·S△OBC=,且三棱錐P-ABC的外接球半徑為3,則S△PAB+S△PBC+S△PCA的最大值為_________.
如圖6 所示,連接AO并延長交BC于D,由題意知AD⊥BC,又PO⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PO⊥BC,PO∩AD=O,
圖6
所以BC⊥平面PAD,所以BC⊥PA,BC⊥PD.同理可證PC⊥AB,PB⊥AC.由S△ABC·S△OBC=得AD·OD=PD2,即又∠PDO=∠PDA,所 以△POD∽△APD,則∠APD=∠POD=90°,所 以PA⊥PD,又PA⊥BC,BC∩PD=D,所以PA⊥平面PBC,PA⊥PB,PA⊥PC.又PC⊥AB,PA∩AB=A,所以PC⊥平面PAB,所以PC⊥PB,則PA,PB,PC兩兩互相垂直,所以三棱錐P-ABC的外接球是以PA,PB,PC為棱的長方體的外接球.又三棱錐P-ABC的外接球半徑為3,則PA2+PB2+PC2=36,則
本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征、空間垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化、多面體外接球半徑的求法,解答該題的關(guān)鍵是得到三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,從而利用長方體模型求出外接球半徑.
立體幾何問題中,對(duì)于一些與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的取值范圍或最值問題,若能從平面解析幾何角度分析,得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,則可以將空間問題平面化.
例6如圖7 所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,CD=AD==2,PA=3,若動(dòng)點(diǎn)Q在△PAD內(nèi)及邊上運(yùn)動(dòng),使得 ∠CQD=∠BQA,則三棱錐Q-ABC的體積最大值為_________.
圖7
因?yàn)镻A⊥平面ABCD,PA?平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD,因?yàn)锳B⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面PAD,又AB∥CD,所以CD⊥平面PAD.因?yàn)镼在△PAD內(nèi)及邊上,所以AB⊥QA,CD⊥QD,所以tan∠CQD=,tan∠BQA=因?yàn)椤螩QD=∠BQA,所以,因 為CD=,所以QD=.在平面PAD內(nèi),以DA的中點(diǎn)為原點(diǎn),線段DA的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖8),則D(-1,0),A(1,0),P(1,3).設(shè)Q(x,y),由QD=,得
圖8
整理得(x-3)2+y2=8,所以點(diǎn)Q的軌跡是圓(x-3)2+y2=8,在△PAD的邊上或內(nèi)部的圓弧如圖8所示.當(dāng)點(diǎn)Q為圓與線段PA的交點(diǎn)時(shí),點(diǎn)Q到DA的距離最大,令x=1,解得|y|=2,則點(diǎn)Q到DA的距離最大值為2,此時(shí)Q在PA上.
通過以上六道例題,不難發(fā)現(xiàn),立體幾何問題既可能以數(shù)學(xué)文化或?qū)嶋H問題為背景,也可能以具體的空間幾何體為模型命題,且往往與其他知識(shí)相融合,使得其既具有基礎(chǔ)性和綜合性,又具有應(yīng)用性和創(chuàng)新性.因此,我們?cè)趶?fù)習(xí)備考中,一方面要加強(qiáng)相應(yīng)的思想方法的訓(xùn)練,如數(shù)學(xué)建模思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等;另一方面要注重解題意識(shí)的培養(yǎng).
(完)