陳曉明

(安徽省寧國中學(xué))

解析幾何是高中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容,解析幾何問題一般綜合性強,運算量大,如何尋找解析幾何問題的本質(zhì)、優(yōu)化其運算的路徑,具有非常現(xiàn)實的意義.筆者以2021年高考全國乙卷理科數(shù)學(xué)第11題為例,對其解法進行探究,以期拋磚引玉.高考復(fù)習(xí)備考中應(yīng)當(dāng)多花點精力研究高考題,只有把這些高考題做熟練、分析透徹,才能觸類旁通,高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)歸根結(jié)底還是要落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

1 真題再現(xiàn)

題目(2021年全國乙卷理11)設(shè)B是橢圓C:＝1(a＞b＞0)的上頂點,若C上的任意一點P都滿足|PB|≤2b,則C的離心率的取值范圍是( ).

2 解法探究

思路1要求橢圓離心率e的取值范圍,只需構(gòu)造關(guān)于橢圓的特征量a,b,c的不等式,顯然以題目中的條件“C上的任意一點P都滿足|PB|≤2b”為突破口,設(shè)點,利用兩點間的距離公式構(gòu)造不等式,利用橢圓方程消元,從而將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題,這是高考的高頻考點.

化簡得(c2-b2)2≤0,顯然當(dāng)b2＜c2時該不等式不成立.故這種情況不存在.

綜上,橢圓C的離心率的取值范圍是,故選C.

圖1

圖2

其實,由1)可知,當(dāng)y0＝-b時,|PB|2的值為4b2,而2)中關(guān)于y0的二次函數(shù)在[-b,]上單調(diào)遞增,所以條件|PB|≤2b顯然不成立,故這種情況肯定不存在.

思路2如果用參數(shù)方程表示橢圓上的點,就可以利用三角函數(shù)的有界性解決問題,從而避開利用橢圓方程消元的復(fù)雜性.

解法2(參數(shù)方程)設(shè)P(acosθ,bsinθ),θ∈[0,2π),因為B(0,b),且對任意一點P都滿足|PB|≤2b,所以(acosθ)2＋(bsinθ-b)2≤4b2對任意θ∈[0,2π)恒成立,即

對任意θ∈[0,2π)恒成立.令sinθ＝x(x∈[-1,1]),f(x)＝c2x2＋2b2x＋3b2-a2,則原問題轉(zhuǎn)化為對任意x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立.因為拋物線開口向上,且f(-1)＝0,所以只需-≤-1(對稱軸在區(qū)間左)即可,故b2≥c2,解得e∈,故選C.

由題設(shè)“C上的任意一點P都滿足|PB|≤2b”知該問題實質(zhì)上是一個恒成立問題,通?？赊D(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.相對于解法1,解法2的計算稍微要簡單些,主要是引入?yún)?shù)方程及采用換元法.對比兩種解法,不難發(fā)現(xiàn),它們在本質(zhì)上是完全一致的.二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題一直是高考的熱點,此類問題主要包括四種情況:軸定區(qū)間定(二次函數(shù)的對稱軸和定義域都不含參數(shù))、軸定區(qū)間動(只有定義域區(qū)間端點含參數(shù))、軸動區(qū)間定(只有二次函數(shù)的對稱軸含參數(shù))、軸動區(qū)間動(二次函數(shù)的對稱軸和定義域區(qū)間端點都含參數(shù)).因為第一種情況較簡單,第四種情況較復(fù)雜,所以考得較少,而中間兩種情況考得特別多.軸動區(qū)間定的情況只需分三種情況討論(對稱軸在區(qū)間左、中、右)即可,本解法即屬于這種情況,而且恰有f(-1)＝0,所以要使f(x)≥0恒成立,只可能軸在區(qū)間左,這樣問題變得簡化.

思路3求離心率的取值范圍,只需構(gòu)造關(guān)于橢圓的特征量a,b,c的不等式,在設(shè)出橢圓參數(shù)方程后,可嘗試運用分離參數(shù)式法,得到關(guān)于a,b的不等式.

解法3(分離參數(shù)式)由解法2知(acosθ)2＋(bsinθ-b)2≤4b2對任意θ∈[0,2π)恒成立,整理得a2cos2θ≤(3-sin2θ＋2sinθ)b2,易知當(dāng)θ＝時不等式成立,故只需

這種分離參數(shù)式(含有參數(shù)的式子)法直接,易懂,對參數(shù)式分子、分母分別進行因式分解,化簡后得到關(guān)于θ的函數(shù),易于求值域.

思路4在設(shè)出橢圓參數(shù)方程后,對得到的不等式進行化簡,可得到關(guān)于sinθ的一次函數(shù),利用一次函數(shù)的單調(diào)性,求出它在閉區(qū)間的值域,進一步得到關(guān)于a,b的不等式.

解法4(因式分解、函數(shù)思想)由解法2 可知(acosθ)2＋(bsinθ-b)2≤4b2對任意θ∈[0,2π)恒成立,整理得(b2-a2)sin2θ-2b2sinθ＋a2-3b2≤0,即[(b2-a2)sinθ＋a2-3b2](sinθ＋1)≤0.因為sinθ＋1≥0,所以(b2-a2)sinθ＋a2-3b2≤0對任意θ∈[0,2π)恒成立.令sinθ＝x(x∈[-1,1]),f(x)＝(b2-a2)x＋a2-3b2,則原問題轉(zhuǎn)化為對任意x∈[-1,1],f(x)≤0恒成立.因為一次函數(shù)的一次項系數(shù)b2-a2＜0,所以一次函數(shù)在定義域[-1,1]上單調(diào)遞減,故只需fmax(x)＝f(-1)＝2a2-4b2≤0即可,解得e∈,故選C.

通過因式分解將一個二次不等式化為一次不等式,從而將一個二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題,減少了計算量,優(yōu)化了運算的路徑,精簡了運算的過程.

思路5這是一道選擇題,能否運用解選擇題的方法解決這道題呢? 例如,排除法、特殊值法等.如何抓住題目提供的條件進行排除,驗證哪個特殊值最為有效?

解法5(排除法、特殊值法)如圖3所示,當(dāng)e→1時,橢圓不斷變得“扁長”,總有一時刻|PB|＞2b,故排除選項A,B.對于C,D,可取特殊值e＝此時橢圓C＝1,點Pθ,bsinθ),又B(0,b),故|PB|2＝2b2cos2θ＋b2sin2θ-2b2sinθ＋b2＝4b2-b2(sinθ＋1)2,當(dāng)sinθ＝-1,即點P與橢圓下頂點重合時,|PB|2取得最大值4b2,符合題意,進而排除D,故選C.

圖3

觀察上述5種解法,不難發(fā)現(xiàn)還是解法5最為高效、簡捷.因此,做選擇題可以思考用解選擇題的特殊方法.當(dāng)然,有時有些解選擇題的特殊方法不能奏效,還需要進一步用直接法進行求解,要具體問題具體分析.

3 問題拓展

離心率是圓錐曲線中的一個重要元素,它的變化會直接導(dǎo)致曲線形狀甚至類型發(fā)生變化.近年來,涉及離心率的問題頻頻出現(xiàn)在高考試題和各省市聯(lián)考試題中,且題型不斷翻新,顯示出旺盛的生命力.解決有關(guān)離心率的問題,除了要求對離心率的概念、幾何意義深刻領(lǐng)會外,還常常要用到其他有關(guān)知識,所以涉及離心率的問題不但具有很強的綜合性,而且其解法極富靈活性.因此,對求離心率方法及策略進行研究具有重要的意義.

與離心率有關(guān)的題型有求離心率的值、求離心率的取值范圍、探尋有關(guān)離心率的最值等.相對而言,求離心率取值范圍的試題往往難度更大,解法更為靈活,涉及的知識面更廣.

為了進一步掌握求離心率范圍的方法,我們再看一個求橢圓離心率的取值范圍的問題.

題目已知橢圓＝1(a＞b＞0)上一點A關(guān)于原點的對稱點為B,F為其右焦點,若AF⊥BF,設(shè)∠ABF＝α,且α∈,則該橢圓的離心率e的取值范圍是( ).

如圖4 所示,設(shè)橢圓的左焦點為M,連接MA,MB,則|OA|＝|OB|,|OM|＝|OF|,又AF⊥BF,所以四邊形AFBM為矩形.因為矩形的對角線相等且相互平分,所以|OA|＝|OM|,故∠AMF＝∠OAM＝∠ABF＝α.在Rt△AMF中,|AF|＝2csinα,|AM|＝2ccosα,根據(jù)橢圓的定義得2csinα＋2ccosα＝2a,故e＝.因為α∈所以e∈,故選D.

圖4

本題是求離心率的取值范圍問題,求解的通法是構(gòu)造離心率關(guān)于一個變量的函數(shù),將求離心率取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題.很顯然這里構(gòu)造離心率e關(guān)于角α的函數(shù)關(guān)系較為合適.如何構(gòu)造?難點就在這里.在圓錐曲線中出現(xiàn)焦半徑可考慮定義法(定義法是解題的靈魂),而這里出現(xiàn)了焦半徑|AF|,于是想到找到另一個焦點M,得到另一條焦半徑|AM|,從而定義法應(yīng)運而生,于是想到構(gòu)造矩形得到等角,因此由橢圓定義就可得到等式2csinα＋2ccosα＝2a,進一步建立函數(shù)關(guān)系(運用輔助角公式).本題考查了學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),是一道好題.

4 小結(jié)

在高三的解析幾何復(fù)習(xí)中,遇到稍微難一點的解析幾何題目,我們應(yīng)舍得花時間分析題目,尋找題目的各種解法,探討各種解法的運算量、每種解法的運算路徑如何設(shè)置、運算的節(jié)點如何把控、運算的過程如何監(jiān)控等,闡明每一步運算的算理,注意每一步運算的細(xì)節(jié)和關(guān)鍵點,掌握常見的代數(shù)變換方法和必要的運算技巧,明確為什么這樣算,這樣算的優(yōu)點和缺點分別是什么,運算的繁簡度又如何,體會運算思路的形成過程,享受運算出結(jié)果帶來的成就感,從而提升我們的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

對于一道題目不同的解法,應(yīng)在思考中比較各個解法的優(yōu)劣、運算的成本,各個解法的切入點、突破點、關(guān)鍵點、易錯點,長此以往,我們的運算素養(yǎng)就會在比較、操作、優(yōu)化、反思中得到提升.

在平時的解題訓(xùn)練中,要注重對題型的歸納和總結(jié),在看到個性的同時找到共性,尋求規(guī)律性的東西,這樣才能提高解題效率.例如,對于求離心率問題,通過上述例題不難看出,關(guān)鍵還是要掌握一些常見的思想方法(就是平時我們常說的通性通法)、記住一些常用結(jié)論、熟悉一些常用知識點,如方程思想、函數(shù)思想、消元法思想、等量代換、定義法、平面幾何知識等.掌握這些方法及策略,求離心率問題便能迎刃而解.

(完)