岳昌慶

(北京師范大學(xué)出版集團(tuán))

等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n-1)d可以看成an＝dn＋(a1-d),此即為平面直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)的解析式(an關(guān)于n的),其圖像為分布在一條直線上的一系列孤立的點(diǎn)(n,an).這一觀點(diǎn)已深入廣大師生心里,本文不再討論.以下就等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1＋談一些心得體會(huì).

例1等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為( ).

A.130 B.170 C.210 D.260

1)這種方法避免了用常規(guī)方法解題時(shí)煩瑣的計(jì)算,對(duì)提高解題速度會(huì)有一定的效果.2)這種解題步驟不同于其他解法的解題步驟,萬(wàn)一計(jì)算有誤,幾乎得不到中間步驟分,真可謂利弊參半.3)這一“知識(shí)點(diǎn)”適用于已知條件均為關(guān)于前n項(xiàng)和的等差數(shù)列.

例2(2008年廣東卷文4)記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若S2＝4,S4＝20,則該數(shù)列的公差d＝( ).

A.2 B.3 C.6 D.7

從解題過(guò)程來(lái)看,幾乎看不出任何等差數(shù)列的痕跡.只有加深、悟透了兩者(直線、數(shù)列)之間的聯(lián)系,解題時(shí)才能游刃有余,出神入化.

例3(2000 年全國(guó)卷文18)設(shè){an}為等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,已知S7＝7,S15＝75,Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,求Tn.

用此方法易證:若等差數(shù)列Sm＝Sn(m≠n),則Sm＋n＝0(證明過(guò)程略).

例4(2011年遼寧卷文15)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S2＝S6,a4＝1,則a5＝________.

由S2＝S6,得S8＝0,所以a1＋a8＝a4＋a5＝0,又a4＝1,所以a5＝-1.

1)本題用到了等差數(shù)列Sn＝(a1＋an).

2)在等差數(shù)列{an}中,若m,n,p,q∈N*,且m＋n＝p＋q,則am＋an＝ap＋aq.

例5(2013年新課標(biāo)Ⅱ卷理16)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S10＝0,S15＝25,則nSn的最小值為________.

1)正確求出nSn后,可用求導(dǎo)的方法,考查函數(shù)的單調(diào)性,從而求出nSn的最小值.2)求出函數(shù)f(n)的導(dǎo)函數(shù)f′(n)后,討論f(n)的單調(diào)性,在解答過(guò)程中略去.3)本題將數(shù)列、直線、函數(shù)導(dǎo)數(shù)及最值三者巧妙地聯(lián)系在一起,打通了它們之間的界限,讓學(xué)生明白原來(lái)它們并不是“井水河水兩不犯”的.

例6設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝na＋n(n-1)b,n∈N*,a,b是常數(shù)且b≠0,證明:

(1){an}是等差數(shù)列;

(2)以(an-1)為坐標(biāo)的點(diǎn)Pn(n∈N*)都落在同一條直線上,并寫出此直線的方程.

(1)an＝a＋2b(n-1)(證明過(guò)程略).

1)本題與前幾道例題不同:直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是an,而不再是n,好像是上了一個(gè)層次.2)但本質(zhì)上an-am仍是關(guān)于n-m的一次函數(shù),故本質(zhì)上是相同的.

(完)