汪小蓮 馬振華

[摘 ?要] 文章以“相似三角形”單元整體教學(xué)為例，闡釋單元整體教學(xué)設(shè)計的規(guī)劃以及單元課時的統(tǒng)籌，指出幾何教學(xué)中應(yīng)取“數(shù)學(xué)學(xué)科育人”之勢，明“深度學(xué)習(xí)促數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”之道，優(yōu)“結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)建構(gòu)單元教學(xué)”之術(shù).

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);單元整體教學(xué);相似三角形

“雙減”背景下，如何彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在價值，落實學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，是數(shù)學(xué)教學(xué)中值得思考與研究的問題. 單元整體教學(xué)從學(xué)生的認知特征入手，強調(diào)知識內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法的完整性，以此發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng). 對于教師而言，單元整體教學(xué)能幫助教師在教學(xué)中理清數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò)，將教書和育人融為一體;對于學(xué)生而言，單元整體教學(xué)能讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)和現(xiàn)有發(fā)展區(qū)的不斷迭代中發(fā)展知識遷移能力，提升數(shù)學(xué)思維層次. 文章以“相似三角形”單元為例，談?wù)剬卧w教學(xué)實踐的思考.

問題提出

1. 知識點狀化，難以促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)

現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材大都按公理化的體系以一節(jié)課為時間單位進行內(nèi)容編排. 在日常教學(xué)中，部分教師會忽視數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系、內(nèi)在邏輯，對知識進行點狀化教學(xué)，概念、定理一個一個教，有內(nèi)在聯(lián)系的知識點被分散在不同課時中. 課上完，學(xué)生只會做本節(jié)課知識點的相應(yīng)練習(xí)，處于模仿套用階段，屬于低階思維狀態(tài). 點狀化知識無法有機呈現(xiàn)其內(nèi)在關(guān)聯(lián)，學(xué)生很難將學(xué)到的知識整合成一個整體，從而造成知識提取困難、學(xué)習(xí)遷移度較低等問題，很難促使學(xué)生主動學(xué)習(xí).

2. 方法孤立化，難以提升學(xué)生的深度思維能力

整體教學(xué)使深度學(xué)習(xí)在課堂上真實發(fā)生，而教材內(nèi)容通常是以一個個“知識點”呈現(xiàn)的，這樣容易使教師只是圍繞和關(guān)注知識點設(shè)計教學(xué)與習(xí)題. 這種教學(xué)方式會讓學(xué)生忽視解題方法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，使學(xué)生的認識僅僅停留在單一記憶和機械掌握的水平，導(dǎo)致學(xué)生一遇到綜合練習(xí)就不知道如何靈活地選擇與運用方法，無法對知識進行遷移和應(yīng)用，難以實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)育人的目標(biāo).

基于核心素養(yǎng)的初中幾何單元

教學(xué)構(gòu)建

1. 單元整體教學(xué)需要明確單元內(nèi)容和作用

“相似三角形”（浙教版九年級上冊）是學(xué)完“三角形”“特殊三角形”和“全等三角形”等知識后，需要進一步學(xué)習(xí)的三角形的相關(guān)知識. 在前期幾何圖形的學(xué)習(xí)中，學(xué)生初步了解了如何獲得研究對象，以及如何發(fā)現(xiàn)研究對象的基本性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，這一單元對圖形關(guān)系進行一般化，研究圖形與圖形形狀相同的關(guān)系——相似，并以相似三角形為對象研究相似變化的知識結(jié)構(gòu)鏈（如圖1所示）. 從知識的聯(lián)系上看，相似三角形是學(xué)生學(xué)習(xí)全等三角形之后對圖形關(guān)系的進一步深化，同時相似三角形的相關(guān)知識能為學(xué)生以后學(xué)習(xí)其他幾何圖形、三角函數(shù)等知識打好基礎(chǔ);從方法的聯(lián)系上看，相似三角形的研究思路和全等三角形一樣，都要經(jīng)歷“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的過程.

2. 單元整體教學(xué)需要基于學(xué)生的認知

單元整體教學(xué)是以培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和落實數(shù)學(xué)育人為目標(biāo)的一種教學(xué)方式與策略. 教師在開展單元整體教學(xué)時，要從學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)知識和已有認知基礎(chǔ)入手，以整體關(guān)聯(lián)為抓手，選取基于學(xué)生生活的情境素材，使學(xué)生感知數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，從而有效地增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、運用數(shù)學(xué)知識解決相關(guān)問題的內(nèi)在動力. 得到相似圖形的定義的一般流程是：情境引入、確定研究對象（抽象）、概括本質(zhì)特征（抽象）、下定義. 對比浙教版的引入和人教版的引入我們可以發(fā)現(xiàn)，浙教版跳過了相似圖形，直接學(xué)習(xí)相似三角形的相關(guān)知識，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷從生活實例中抽象出數(shù)學(xué)圖形的過程，使學(xué)生學(xué)到的知識缺乏整體性;人教版的引入貼近學(xué)生生活，從圖形放大或縮小中獲得研究對象——相似圖形，特殊化研究相似多邊形，即聚焦研究相似三角形，并引導(dǎo)學(xué)生對比全等圖形的學(xué)習(xí)，啟發(fā)他們的研究思路，這樣的設(shè)計有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

3. 單元整體教學(xué)需要關(guān)注知識之間的聯(lián)系

單元整體教學(xué)能使學(xué)生的學(xué)習(xí)更系統(tǒng)，能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，并在習(xí)得數(shù)學(xué)知識的同時體會到其中蘊含的思想方法. 學(xué)習(xí)“相似三角形”這一單元之前，學(xué)生已經(jīng)認識與探究了平面幾何圖形，特別是全等三角形，有一定的推理能力和探究經(jīng)驗. 在抽象出相似三角形的定義之后，學(xué)生自然會聯(lián)想到所學(xué)的全等圖形的知識，得到相似三角形的研究路徑（如圖2所示），即從定性到定量研究其性質(zhì)，優(yōu)化定義這一判定方法，得到其他幾個判定方法，從而整體地認識這一單元的所有知識，積累研究幾何圖形關(guān)系的經(jīng)驗.

4. 單元整體教學(xué)重視知識的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)活動的出發(fā)點是培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新意識. 這一單元伊始的多個生活實例能使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，學(xué)完相似三角形的性質(zhì)與判定方法之后，還需要教師設(shè)計相應(yīng)的活動讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，做到首尾呼應(yīng). 如設(shè)計讓學(xué)生運用相似三角形知識，使用身邊簡單的工具測量操場上旗桿的高度等活動. 設(shè)計這樣的活動的目的有兩個：一是讓學(xué)生進一步理解與鞏固相似三角形知識;二是提升學(xué)生的應(yīng)用能力，讓他們用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實生活中的問題，真正在課堂上引導(dǎo)學(xué)生的思維從低階轉(zhuǎn)向高階（設(shè)計測量旗桿的方案），從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

在核心素養(yǎng)視角下細化教學(xué)

環(huán)節(jié)

原來的教材中，相似三角形的應(yīng)用更多的是進行數(shù)學(xué)知識情境練習(xí)，教師只需要講解課本中的知識內(nèi)容及解題技巧，使得數(shù)學(xué)課堂僅僅是教授枯燥的理論知識，即使是跟生活相關(guān)的應(yīng)用題也脫離實際，這樣的教學(xué)不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). “利用相似三角形解決實際問題”這一知識安排了2個課時. 旗桿是學(xué)生最熟悉的情境，教師可以測量學(xué)校旗桿高度為任務(wù)，讓學(xué)生參與到自主思考設(shè)計方案、實踐測量旗桿高度、獨立計算旗桿高度、師生交流建立數(shù)學(xué)模型等活動中. 下面，筆者從提出問題與方案設(shè)計、路徑規(guī)劃與實踐操作、評價交流與建立模型、認知深化與思維提升這四個環(huán)節(jié)出發(fā)，具體闡述這2個課時的內(nèi)容安排.

1. 提出問題與方案設(shè)計

提出問題：這是校園里常見的旗桿，你能用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識及身邊簡單的工具獲得它較為準(zhǔn)確的高度嗎？好的問題對學(xué)生的深入鉆研有很大的幫助. 學(xué)生幾乎天天看到旗桿，對于它的高度，都很感興趣. 問題中“簡單的工具”為得到較為準(zhǔn)確的旗桿高度帶來了挑戰(zhàn)，這是知識與能力的拓展. 在這一環(huán)節(jié)，教師可布置實踐報告作業(yè)：設(shè)計方案、準(zhǔn)備工具、抽象成數(shù)學(xué)圖形，學(xué)生可課后或者周末完成. 布置這種把生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題并以方案設(shè)計的形式完成的作業(yè)，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2. 路徑規(guī)劃與實踐操作

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索和合作交流是學(xué)習(xí)的重要方式. 實踐證明，動手實踐操作不僅是提高教學(xué)效益的有效措施，還是學(xué)生解決問題的捷徑. 常規(guī)的數(shù)學(xué)課通常是教師在教室里采用講授的方式進行，這節(jié)課則改變了課堂的場地和教學(xué)方式：首先，讓學(xué)生以小組為單位交流完成的設(shè)計方案，進行設(shè)計方案的初步優(yōu)化與選擇，小組交流后根據(jù)設(shè)計的方案進行合理分工（此環(huán)節(jié)需要5～10分鐘）;分工結(jié)束后，安排小組成員來到操場進行數(shù)據(jù)測量和計算，之后對比結(jié)果，思考誤差產(chǎn)生的原因，繼續(xù)優(yōu)化設(shè)計方案，體會理論和現(xiàn)實的差距. 教師則在此過程中適當(dāng)點評和指導(dǎo)，根據(jù)小組完成的情況向小組提問，比如：這里有升旗臺的高度，是否需要考慮？如何減小測量的誤差？假如地面不平，如何解決？假如不能進入升旗臺，能否測出旗桿的高度？教師通過整合單元內(nèi)容，讓學(xué)生圍繞共同主題進行綜合性學(xué)習(xí)，引導(dǎo)他們走向深度學(xué)習(xí)，從而發(fā)展他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 評價交流與建立模型

圍繞實踐報告開展交流展示、自我評價、同學(xué)評價能使學(xué)生的語言表達能力、合作能力、自信心等得以發(fā)展. 解決問題后建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型很有必要，因為其能增強學(xué)生的模型意識，且用模型解決新問題能提升學(xué)生的知識遷移能力. 到了“利用相似三角形解決實際問題”的第2課時，學(xué)生輪流匯報他們的分工情況及小組測量得到的結(jié)果. 在這個過程中，各小組成員須負責(zé)匯報自己完成的工作，從而促使小組每位成員都積極參與其中. 當(dāng)一個小組匯報時，其他小組負責(zé)評價與補充，教師則引導(dǎo)他們說出設(shè)計方案所依據(jù)的原理，以及抽象成的數(shù)學(xué)圖形. 就這樣，通過學(xué)生之間的交流、教師的引導(dǎo)，各小組會得到最終的設(shè)計方案（數(shù)學(xué)模型）. 最后，教師從各個小組得到的結(jié)果中提出新問題，分析誤差并對模型進行優(yōu)化.

這節(jié)課采用“學(xué)生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學(xué)模式，教師在整體統(tǒng)籌下推進教學(xué)，能讓學(xué)生建立整體性認知結(jié)構(gòu)，從而真正理解、掌握數(shù)學(xué)知識.

4. 認知深化與思維提升

課堂的時間有限，無法解決很多相似又具有難度的問題，對此，教師可根據(jù)實際情境創(chuàng)造性地改變題目的背景，形成多層次、多角度的數(shù)學(xué)實際新問題. 在單元整體教學(xué)下，教師可引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識組成知識鏈，尋求解決問題的方法，并讓他們在鞏固原有知識的基礎(chǔ)上，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 當(dāng)學(xué)生通過這兩節(jié)課親身經(jīng)歷提出問題、分析問題、解決問題、解后反思的過程后，他們能真正地感知到數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，此時教師可拋出一個新問題（見下面的問題1）作為探究性作業(yè).

問題1：測量旗桿的高度時，如果我們身邊只有尺、測傾儀、鏡子、筆等簡單工具，且不能進入升旗臺，剛才這些方法還能用嗎？那旗桿的高度該怎么測呢？

【圖3是預(yù)設(shè)的數(shù)學(xué)模型之一：測出觀測人的眼睛到地面的距離CD=a，第一次仰角∠ACH=α，移動距離CE=DF=b，第二次仰角∠AEH=β，則旗桿高度AB=a+.】

等學(xué)生解決“問題1”后，教師可以繼續(xù)提出問題（見下面的問題2）.

問題2：實際操作時，圖3中的D，F(xiàn)，B三點共線不是一件容易的事情. 你有什么代替方案嗎？

【圖4是預(yù)設(shè)的數(shù)學(xué)模型之一：測出觀測人眼睛到地面的距離CD=a，第一次仰角∠ACH=α，向上移動距離CG=c，第二次仰角∠AGK=γ，則旗桿高度AB=a+c+.】

基于核心素養(yǎng)的單元整體教學(xué)

思考

通過對“相似三角形”單元整體教學(xué)的實踐和探索，筆者最深刻的感悟有以下三點.

1. 從關(guān)注教材轉(zhuǎn)向關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)科核心素養(yǎng)

基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計不是單純的知識點講解或解題技能培訓(xùn)，而是從關(guān)注教材知識的講授到關(guān)注學(xué)生素養(yǎng)的形成. 教師需要思考如何通過特定的主題和目標(biāo)展開教學(xué)活動，并圍繞主題將各內(nèi)容按邏輯聯(lián)系起來，形成結(jié)構(gòu)化的單元，進而提升知識的整體性與系統(tǒng)性.

“相似三角形”這一單元的整體教學(xué)，是通過引導(dǎo)學(xué)生類比全等三角形的知識方法和研究思路，從而獲得相似三角形的研究路徑，過程中滲透了從特殊到一般的思想方法，使得學(xué)生從整體上理解了“相似三角形”這一單元的知識結(jié)構(gòu). 這樣的整體教學(xué)設(shè)計不僅能更好地落實課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，還能使學(xué)生將原有的認知結(jié)構(gòu)內(nèi)化為一種整體的、系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)化的、可遷移的學(xué)習(xí)策略.

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作探究的模式，及時記錄探究過程，定時交流探究結(jié)果，從而使學(xué)生形成完整的問題解決方案. 這樣的教學(xué)設(shè)計不僅能讓學(xué)生感受到知識的體系，而且能有效地提升學(xué)生創(chuàng)建知識網(wǎng)絡(luò)的能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效提升. 此后，當(dāng)學(xué)生再遇到與此相似的知識，如相似多邊形的性質(zhì)與判定時，他們就能夠主動地運用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗快速習(xí)得.

2. 從落實知識點到培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力

上述案例，設(shè)計的問題情境是測量學(xué)校旗桿的高度，并在此基礎(chǔ)上相繼提出如何測量有障礙物的旗桿高度與有障礙物且地面不平的旗桿高度兩個問題. 不管是哪種情況，所采取的研究思路都是“知識準(zhǔn)備—測量實踐—結(jié)果分享—建立模型—反思優(yōu)化—分析問題—解決問題”. “有障礙物”“地面不平”等因素都會影響所測旗桿高度的準(zhǔn)確性. 提出這樣的問題，能讓學(xué)生在解決問題的過程中思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，并認識到數(shù)學(xué)問題的解決是從簡單到復(fù)雜的過程，使數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值深入學(xué)生心中. 這樣的學(xué)習(xí)方式打破了教材中縱向知識和橫向知識之間的壁壘，使知識之間實現(xiàn)了縱橫交融，把一個個知識串聯(lián)起來組成結(jié)構(gòu)群. 這種在數(shù)學(xué)學(xué)科的整體視角下建立的結(jié)構(gòu)鏈之間的關(guān)聯(lián)性結(jié)構(gòu)群，能讓學(xué)生以深層次思維解決“萬變”的生活實際問題. 在這一過程中，學(xué)生遷移了數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維，實現(xiàn)了從“學(xué)會”到“會學(xué)”的轉(zhuǎn)變. 知識對于他們來說，不再是學(xué)習(xí)顯性化的符號，而是將其轉(zhuǎn)化為自身發(fā)展、成長的豐富資源.

3. 從簡單的思維訓(xùn)練到促進結(jié)構(gòu)化思維遷移

在幾何教學(xué)中，教師需要建構(gòu)單元知識之間的聯(lián)系，并對初中數(shù)學(xué)內(nèi)容進行整體架構(gòu). 具體的操作方式是：從組成概念的基本要素出發(fā)，尋找知識之間的關(guān)聯(lián)點，按從特殊到一般的思路，先掌握一般三角形的相關(guān)要素、基本要素之間的聯(lián)系，再考慮基本要素特殊化后的關(guān)系，從而順利建構(gòu)初中學(xué)段三角形的知識體系. 當(dāng)從系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)化的視角去認識幾何圖形時，學(xué)生就會運用這種結(jié)構(gòu)化的思維解決類似問題，即“研究對象在變，但研究套路不變”. 這一研究思路能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題，從而感悟數(shù)學(xué)思維的結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)性.