尹慶剛 趙廣國

[摘 ?要] 從近幾年全國各地的中考數(shù)學(xué)試題的特點來看，考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中考壓軸試題逐漸成為中考命題者的新寵. 文章以2019年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)第16題為例，談?wù)勗囶}原型來源、試題解法、變式應(yīng)用，并做一般推廣.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);基本圖形;變式;直線型;外接圓

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以數(shù)學(xué)課程教學(xué)為載體，基于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識技能而形成的重要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力. 自2016年教育部公布《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》正式確定學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的框架、維度和指標(biāo)以來，數(shù)學(xué)學(xué)科被注入了新的根本任務(wù)，通過數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)與學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，立德樹人.

在九年制義務(wù)教育的基礎(chǔ)上，什么樣的試題能夠綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，正成為中考數(shù)學(xué)命題者思考與研究的問題. 若能在一道試題中綜合考查各方面的能力，這種題型無疑既具有甄別與選拔功能，同時也是受廣大師生歡迎的好題，“動點路徑問題”就是這樣的一類問題. 這類試題的正確求解，不僅需要學(xué)生具有扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，良好的空間思維與想象能力，而且還需要學(xué)生具有良好的幾何直觀、推理與運算能力，考查學(xué)生通過九年的學(xué)習(xí)發(fā)展出來的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力.

文章以2019年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)第16題為例，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)談?wù)勥@道題目的解法并做出推廣與應(yīng)用.

試題呈現(xiàn)

如圖1，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一個平面上，邊AC與EF重合，AC=12 cm. 當(dāng)點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動. 當(dāng)點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為______cm;連接BD，則△ABD的面積最大值為______cm2.

動手操作探思路

本題是一道有約束條件的動點路徑求軌跡長度的問題，其中等腰直角三角形的兩個銳角頂點在另一個直角的兩條邊上滑動，求直角頂點滑過的路徑長度. 本題位于嘉興市中考數(shù)學(xué)填空題最后一題，壓軸題的位置，具有明顯的甄別與選拔功能. 多數(shù)學(xué)生拿到該試題，短時間內(nèi)對題目中的點D的運動軌跡具體是怎樣的，運動軌跡長度是多少或許并沒有一個清晰準(zhǔn)確的認識，缺少正確的解題思路. 然而試題呈現(xiàn)的問題背景卻容易喚醒學(xué)生動手操作探尋問題的求解方法. 在缺少解題思路的情況下，實驗操作不失為一種簡單快捷的方法，可以說本題的思維起點并不高.

筆者在求解這道試題之后，也嘗試著動手操作探究了點D的運動軌跡. 第一步，準(zhǔn)備一把足夠長的直尺作為BC邊所在直線并固定;第二步，固定三角板ABC;第三步，保證三角板DEF的斜邊EF與三角板ABC的直角邊AC重合，且三角板DEF的頂點E，F(xiàn)分別在三角板ABC的直角邊AC與直角邊BC的延長線上運動;最后一步，觀察點D的運動軌跡. 如果需要，可以反復(fù)操作. 通過上述四步操作：

（1）部分優(yōu)等生能較容易猜出點D的運動軌跡屬于直線型，為問題的理性求解提供了感性經(jīng)驗.

（2）通過反復(fù)實驗操作，大部分學(xué)生能夠回憶并聯(lián)想到這樣一道源于教科書的經(jīng)典習(xí)題的求解方法. 課本習(xí)題呈現(xiàn)如下：

例題：如圖2所示，兩個邊長為a的正方形在同一平面內(nèi)，其中正方形EFGH的頂點E是正方形ABCD的中心，按住正方形ABCD不動，將正方形EFGH繞頂點E旋轉(zhuǎn)，從點A在邊EF上開始順時針旋轉(zhuǎn)角度α（其中0°≤α≤90°），則這兩個正方形重疊部分的面積______.

A. ?逐漸變小 ? ? ? ? B. ?逐漸變大

C. ?先變小再變大 D. ?保持不變

此題中兩個正方形重疊部分是四邊形BPEQ，四邊形BPEQ是一個具有條件∠B=∠E=90°的基本圖形. 盡管題中頂點E的位置并沒有變化，只是考查旋轉(zhuǎn)背景下陰影部分的面積問題，但求解思路是過點E分別作AB，BC邊的垂線，構(gòu)造全等三角形解決問題. 而嘉興市中考試題考查的是一個等腰直角三角形的兩個銳角頂點在另一直角的兩邊上滑動，求直角頂點滑過的軌跡路徑長度問題. 兩個問題看似毫無聯(lián)系，實則有很多相似之處. 首先，試題中的等腰直角三角形的兩個銳角頂點在另一直角的兩邊上滑動的任意瞬間，都會出現(xiàn)課本習(xí)題中的基本圖形——四邊形BPEQ. 也就是說，這兩道題目中的圖形都包含一組對角相等且為90°的四邊形;其次作輔助線的方法也相同;再次兩道題目都利用了構(gòu)造全等直角三角形最終解決問題.

遷移這道課本習(xí)題作輔助線并利用三角形全等解決問題的方法，是成功求解這道中考壓軸試題的不二法門，為理性思考解決本題奠定了基礎(chǔ).

理性思考覓方法

問題1：通過本試題實物圖可以抽象出幾何圖形，如圖3所示. 受上述例題啟發(fā)，容易獲得本題的解題思路.

假設(shè)△DEF運動到如圖4所示△D′E′F′的位置，出現(xiàn)基本圖形D′E′CF′. 過點D′分別作D′M⊥AC，垂足為M，D′N⊥BC，垂足為N. 則∠D′ME′=∠D′NF′=90°.

由題意知∠ACB=90°，所以∠ACN=90°. 所以∠MD′N=90°.

因為△DEF為等腰直角三角形，所以∠E′D′F′=90°，D′E′=D′F′，∠ACD=∠F′CD=45°. 所以∠MD′E′=∠ND′F′，且點D在∠ACF′的角平分線上. 所以△D′ME′≌△D′NF′. 所以D′M=D′N. ?所以點D′到∠ACF′兩邊的距離相等，即點D′在∠ACF′的角平分線上. 所以點C，D，D′三點共線. 由于點D′的任意性，易知點D在∠ACF′的角平分線上運動.

在△DEF滑動的過程中，如圖3所示，當(dāng)且僅當(dāng)△DEF的邊EF與△ABC的邊AC重合，或△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合時，點D到點C的距離最近，此時點D到點C的距離為CD或AD的長度.

因為△DEF為斜邊長12 cm的等腰直角三角形，所以CD=AD=6 cm. 由圖4、圖5易知，當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC，DF⊥BC時，點D到點C的距離最遠. 此時四邊形CEDF為正方形，對角線CD=EF=12 cm. 即點D到點C的最遠距離為12 cm.

所以點D運動的路徑長為2（12-6）=（24-12） cm.

問題2：由問題1可知，點D在∠ACF′的角平分線上運動. 通過圖形直覺感知，當(dāng)點D與點C的距離最遠時，△ABD的面積最大. 此時，四邊形DECF是邊長為6 cm的正方形，如圖6所示，連接AD，BD.

所以S=S+S-S.

因為△ABC為∠BAC=30°的直角三角形，所以BC=4.

所以S=S+S-S=AC×BC+（AC+DF）×CF-DF×（BC+CF）=×12×4+×（12+6）×6-×6×（4+6）=24+36+36-12-36=24+36-12.

評注 ?基于“點動成線”的基本事實與直觀經(jīng)驗，學(xué)生易于直觀感知此題中點D的運動軌跡是一條線，但具體是一條怎樣的線，開始或許并不清楚. 事實上，對于具有良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生來說，通過檢索自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的歷程可以知道，能夠求的“線”的長度問題不外乎直線型與圓型或兩者的復(fù)合. 除了這兩種類型，其他類型的線的長度問題在中學(xué)階段是沒有辦法求解的，此時學(xué)生應(yīng)該會有初步的判斷.

追根溯源求拓展

深入思考試題第一問的解法與教科書提供的本試題的原型習(xí)題的解法，筆者注意到，若試題背景不是借助三角板工具，那么抽象出來的幾何圖形中的兩個直角三角形的條件便是多余的. 事實上，滑動的△DEF不一定是等腰直角三角形，點E、點F也不一定是在一個直角的兩條邊上滑動. 在圖4中，只需要基本圖形D′E′CF′的其中一組對角之和為180°，而不是分別等于90°，這個問題即可推廣到更一般的情況. 為更好地理解與把握這類試題的特點，切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力，下面針對本試題的問題1給出幾個變式，以便深入探究這類試題的本質(zhì).

變式1 ?如圖7，一副含45°和30°角的三角板ABC和EDF拼合在一個平面上，邊AC與EF重合，AC=12 cm. 當(dāng)點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動. 當(dāng)點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為______cm.

解法探析 ?假設(shè)△DEF運動到如圖8所示△D′E′F′的位置，過點D′分別作D′M⊥AC，垂足為M，D′N⊥BC，垂足為N. 則∠D′ME′=∠D′NF′=90°.

易知△D′ME′∽△D′NF′，==，即點D′到∠ACF′邊CA的距離D′M與點D′到邊CF′的距離D′N之比為，是一個定值，故C，D，D′三點共線. 由于點D′的任意性，易知點D在射線CD上運動. 由圖9易知，在△DEF滑動的過程中：

當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC，DF⊥BC時，點D與點C的距離最遠. 此時四邊形DECF為矩形，對角線CD=EF=12 cm. 即點D到點C的最遠距離為12 cm.

當(dāng)且僅當(dāng)△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合時，點D到點C的距離最近，此時點D到點C的距離為AD的長度，易知AD=6 cm.

所以點D運動的路徑長為（12-6）+（12-6）=（18-6） cm.

變式2 ?如圖10所示，△ABC和△DEF在同一平面內(nèi)，∠ACB=60°，△DEF為等邊三角形. △ABC的邊AC與△DEF的邊EF重合，AC=12 cm. 當(dāng)點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動. 當(dāng)點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為______cm.

解法探析 ?假設(shè)△DEF運動到如圖11所示的△D′E′F′的位置，過點D′分別作D′M⊥AC，垂足為M，D′N⊥BC，垂足為N. 則∠D′ME′=∠D′NF′=90°.

易知△D′ME′≌△D′NF′，==1，點D′到∠ACF′兩邊的距離相等，C，D，D′三點共線. 由于點D′的任意性，易知點D在射線CD上運動. 由圖12易知，在△DEF運動的過程中：

當(dāng)且僅當(dāng)點D到AC的距離最短時，即DE⊥AC，DF⊥BC時，點D到點C的距離最遠. 由圖形易知，點D到點C的最遠距離為8 cm.

當(dāng)且僅當(dāng)△DEF的邊EF與△ABC的邊AC重合，或△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合時，點D到點C的距離最近，由圖形易知，此時點D到點C的距離為12 cm.

所以點D運動的路徑長為2（8-12）=（16-24） cm.

抽象概括得通式

如圖13所示，一般地，△ABC和△DEF在同一平面內(nèi)，△ABC的邊AC與△DEF的邊EF重合. 在△DEF中，DE=a，DF=b，EF=c，∠EDF=α，在△ABC中，∠ACB=α. 當(dāng)點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動. 當(dāng)點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為______cm.

解法探析 ?假設(shè)△DEF運動到如圖14所示△D′E′F′的位置. 過點D′分別作D′M⊥AC，垂足為M，D′N⊥BC，垂足為N. 則∠D′ME′=∠D′NF′=90°.

易知△D′ME′∽△D′NF′. 所以==. 所以點D′到∠ACF′的邊CA的距離D′M與點D′到邊CF′的距離D′N之比是一個定值. 易知點D到∠ACF′的邊CA的距離與點D到邊CF′的距離之比也為，所以C，D，D′三點共線. 由于點D′的任意性，易知點D在射線CD上運動. 在△DEF運動的過程中：

由圖15易知，當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC，DF⊥BC時，點D到點C的距離最遠. 由圖形易知，點D到點C的最遠距離為線段CD的長度.

由題意易知，四邊形DECF存在外接圓，且四邊形DECF的外接圓即是△DEF的外接圓，線段CD即為四邊形DECF外接圓的直徑. 易知CD=.

當(dāng)且僅當(dāng)△DEF的邊EF與△ABC的邊AC重合或△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合時，點D到點C的距離最近.

若a<b，△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合時，點D到點C的最近距離為CD=ED=a.

若a=b，△DEF的邊EF與△ABC的邊BC所在直線重合或△DEF的邊EF與△ABC的邊AC重合，此時點D到點C的最近距離CD=ED=FD=a=b.

若a>b，△DEF的邊EF與△ABC的邊AC重合時，點D到點C的最近距離為CD=FD=b.

綜上所述：在△DEF運動的過程中，點D的運動軌跡是直線型，路徑長度為

-a+

-b=

-a-b cm.

特別地，當(dāng)△DEF是等腰直角三角形，即∠α=90°，EF=c=12 cm時，易知a=b=6 cm，所以點D運動的路徑長為-a-b=（24-12） cm.

寫在最后

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程. 學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動. 在平時的教學(xué)工作中，作為一線教師，在課堂教學(xué)過程中應(yīng)充分貫徹這一基本理念，逐步滲透解決問題的思想、方法與策略，讓學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

“動點路徑問題”作為中考數(shù)學(xué)的壓軸試題，由于其本身具有“動”的特點，無論是動點滑過的軌跡路徑長度還是其他有關(guān)問題，均能較好地考查學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生在潛意識里就能意識到中學(xué)可求解的“線”的長度問題無外乎直線型與圓型. 在長達九年的學(xué)習(xí)過程中教師應(yīng)讓學(xué)生的這種意識潛移默化逐步滲透，并成為根深蒂固的學(xué)科素養(yǎng)，同時在提高解題能力的過程中，切實保障核心素養(yǎng)的理念落地生根.