刁華飛，尚曉龍，王 培，蘆 雪

（1.航天工程大學(xué)，北京 101416；2.中國(guó)人民解放軍32030 部隊(duì)，新疆 和碩 841200）

0 引言

近年來(lái)，隨著高軌衛(wèi)星數(shù)量的日益增加以及太空軍事化進(jìn)程的加速，軌道抵近與鄰近操作（Rendezvous and Proximity Operations，RPO）正在變得越來(lái)越頻繁。RPO 包含軌道抵近和鄰近操作兩部分。其中，軌道抵近需要通過(guò)多次機(jī)動(dòng)變軌，匹配與目標(biāo)衛(wèi)星的軌道高度、軌道平面以及在軌相位。高軌衛(wèi)星處于地球同步軌道（Geosynchronous Earth Orbit，GEO）帶的不同相位上，常使用調(diào)相機(jī)動(dòng)的方式達(dá)到抵近的目的。調(diào)相轉(zhuǎn)移用時(shí)一般為軌道周期的正整數(shù)倍，這使得抵近過(guò)程往往需要較長(zhǎng)的時(shí)間。而對(duì)于任意位置、任務(wù)時(shí)間約束下的軌道攔截，基本采用基于Lambert 轉(zhuǎn)移，當(dāng)進(jìn)行遠(yuǎn)程抵近時(shí)消耗燃料過(guò)多。因此，軌道抵近過(guò)程中的軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)在高軌抵近任務(wù)中有著重要意義。遠(yuǎn)程抵近高軌非合作目標(biāo)時(shí)，往往需要大幅調(diào)整、快速響應(yīng)，一般采用化學(xué)燃料的脈沖變軌。脈沖變軌的主要問(wèn)題，就是研究在航天器燃料約束下，從初始軌道至目標(biāo)軌道的轉(zhuǎn)移過(guò)程中，航天器施加脈沖的時(shí)機(jī)、次數(shù)以及脈沖矢量的方向和大小，這是一個(gè)非線性最優(yōu)規(guī)劃的問(wèn)題。

對(duì)于脈沖軌道轉(zhuǎn)移，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)取得了許多成果。非線性交會(huì)研究多是基于不考慮攝動(dòng)的二體運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。當(dāng)追蹤星和目標(biāo)星均處于圓軌道時(shí)，若對(duì)轉(zhuǎn)移時(shí)間沒(méi)有約束，則平面內(nèi)的最優(yōu)交會(huì)是雙脈沖的霍曼轉(zhuǎn)移?；袈D(zhuǎn)移僅局限于共面圓軌道的情形，而Lambert 轉(zhuǎn)移則可以適用于任何軌道，因此Lambert 轉(zhuǎn)移方法被廣泛應(yīng)用于非線性最優(yōu)交會(huì)研究中。1963 年，LAWDEN基于二體模型給出了脈沖變軌的“主矢量”理論，用于確定脈沖作用下最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道的必要條件。1968年，LION 等在LAWDEN研究 的基礎(chǔ)上，提出一種沖量校正理論，通過(guò)增加脈沖次數(shù)、初始漂移或減少脈沖次數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)非最優(yōu)軌跡的速度增量?jī)?yōu)化。在上述理論基礎(chǔ)上，不少學(xué)者對(duì)最優(yōu)脈沖交會(huì)進(jìn)行了深入研究，一些新的優(yōu)化理論應(yīng)運(yùn)而生，如非線性規(guī)劃法、遺傳算法、蟻群算法、模擬退火算法、粒子群算法、差分進(jìn)化算法（Differential Evolution，DE）等。文獻(xiàn)［10］采用非線性規(guī)劃求解固定時(shí)間內(nèi)兩異面橢圓間的燃料最省的多脈沖交會(huì)問(wèn)題，并對(duì)三脈沖和四脈沖方式進(jìn)行軌跡優(yōu)化計(jì)算；文獻(xiàn)［11］采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法求解多脈沖最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題；文獻(xiàn)［12］采用進(jìn)化算法，以燃料和時(shí)間為組合優(yōu)化指標(biāo)，對(duì)非固定時(shí)間的軌道轉(zhuǎn)移和攔截問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化；文獻(xiàn)［13］采用非線性規(guī)劃算法對(duì)不同攔截時(shí)間和脈沖次數(shù)的優(yōu)化情況進(jìn)行了比較分析。

針對(duì)高軌衛(wèi)星遠(yuǎn)程抵近的軌道設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題，本文使用Pork-chop 速度增量等高線圖對(duì)時(shí)間約束內(nèi)單脈沖Lambert 轉(zhuǎn)移進(jìn)行分析，而后提出一種收斂性較好的多脈沖抵近優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，使用DE 對(duì)多組算例進(jìn)行全局尋優(yōu)。

1 高軌轉(zhuǎn)移動(dòng)力學(xué)建模

1.1 衛(wèi)星在軌受力分析

對(duì)于高軌衛(wèi)星而言，中心天體的引力顯然是最主要的外力源，除此之外還需考慮各種攝動(dòng)力的影響，由此可建立受攝二體模型如下：

本文的研究對(duì)象是高軌衛(wèi)星，在這個(gè)空間范圍內(nèi)，地球大氣對(duì)衛(wèi)星產(chǎn)生的阻力可忽略不計(jì)，這里主要考慮地球的非球形攝動(dòng)力太陽(yáng)。因此，本文研究所使用的軌道外推模型僅考慮含J2 項(xiàng)的地球非球形攝動(dòng)加速度：

式中：為含J2 項(xiàng)的地球非球形攝動(dòng)加速度；[]為衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)；為地球半徑。

1.2 Lambert 轉(zhuǎn)移與求解算法

Lambert 轉(zhuǎn)移描述了2 個(gè)圓錐曲線軌道之間的固定點(diǎn)交會(huì)，被廣泛應(yīng)用于空間軌道設(shè)計(jì)領(lǐng)域，適用于研究高軌抵近任務(wù)。Lambert 是關(guān)于圓軌道上任意2 個(gè)時(shí)刻的位置坐標(biāo)同時(shí)間的關(guān)系定理，給定2 個(gè)位置矢量和它們之間的飛行時(shí)間，便決定其飛行軌道。Lambert 定理的數(shù)學(xué)表述為

式中：為轉(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸；為轉(zhuǎn)移軌道始末點(diǎn)之間的距離；Δ為轉(zhuǎn)移時(shí)長(zhǎng)。

歐拉和拉格朗日用解析法證明了Lambert 定理，并求得了二體模型下Lambert 問(wèn)題的解析解：

變量和由等式參數(shù)(，+，)決定，定義如下：

式中：變量=(++)∕2，表示三角形的周長(zhǎng)。

Lambert 轉(zhuǎn)移基 于Lambert 定理提 出，已知2 個(gè)位置坐標(biāo)和轉(zhuǎn)移時(shí)間確定飛行軌道，如圖1 所示。已知機(jī)動(dòng)衛(wèi)星初始點(diǎn)位置矢量為，速度矢量，目標(biāo)星的位置矢量為，速度矢量，轉(zhuǎn)移時(shí)間為=-。根據(jù)Lambert 定理，可以求解。

圖1 Lambert 轉(zhuǎn)移Fig.1 Schematic diagram of the Lambert transfer

進(jìn)一步可得到橢圓軌道的半通徑，再由半通徑確定轉(zhuǎn)移軌道初末2 點(diǎn)、的速度′、′。由此計(jì)算轉(zhuǎn)移所需的速度增量為

式中：Δ為機(jī)動(dòng)星在時(shí)刻由原軌道進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道的速度增量；Δ為機(jī)動(dòng)衛(wèi)星在時(shí)刻由轉(zhuǎn)移軌道進(jìn)入目標(biāo)星軌道的速度增量。

根據(jù)以上關(guān)系，建立Lambert 交會(huì)方程：

求解Lamber 問(wèn)題涉及超越方程，只能用迭代法求解。Lambert 轉(zhuǎn)移的求解涉及超越方程，只能通過(guò)迭代方式求解，常用的迭代方法有Gauss 迭代法和普適迭代法。Gauss 迭代法是Gauss 在確定谷神星軌道的過(guò)程中提出來(lái)的經(jīng)典方法，普適迭代法是Battin 提出的一種對(duì)3 類圓錐曲線的方法。當(dāng)只考慮二體引力的情況下，求解高軌問(wèn)題時(shí)軌道預(yù)報(bào)產(chǎn)生的誤差較大。而現(xiàn)有的Gauss 迭代法、Battin方法等只能解決二體模型下的Lambert 問(wèn)題，無(wú)法處理攝動(dòng)模型下的Lambert 交會(huì)求解。

本文以J2 項(xiàng)攝動(dòng)模型為例，使用受攝Lambert問(wèn)題的迭代求解算法，具體流程如圖2 所示。具體步驟如下：

圖2 受攝模型的Lambert 問(wèn)題求解算法Fig.2 Lambert solving algorithm for the perturbed model

給定轉(zhuǎn)移時(shí)間，由兩星初始數(shù)據(jù)得出起始位置、目標(biāo)位置，并賦值迭代目標(biāo)位置以初值=；

以Battin 方法求解二體Lambert 問(wèn)題，得到初始位置的速度；

將起始位置和步驟2 得出的初始位置速度，代入J2 模型預(yù)報(bào)出轉(zhuǎn)移時(shí)間之后的衛(wèi)星位置′；

由于J2 項(xiàng)攝動(dòng)的影響，時(shí)刻衛(wèi)星實(shí)際位置與目標(biāo)位置存在偏差，求出終端脫靶量Δ=′-；

為了修正偏差，需要對(duì)二體Lambert 問(wèn)題中的目標(biāo)位置進(jìn)行修正，以=-Δ作為下一次求解二體Lambert 問(wèn)題的目標(biāo)位置。

重復(fù)步驟1～5，直到|Δ|＜時(shí)，輸出轉(zhuǎn)移軌道起始位置和目標(biāo)位置的速度、。

2 基于Pork-chop 圖的單脈沖轉(zhuǎn)移速度增量分析

2.1 Pork-chop 圖

Pork-chop圖是一種搜索軌道轉(zhuǎn)移窗口的經(jīng)典方法，被廣泛應(yīng)用于深空任務(wù)的設(shè)計(jì)與規(guī)劃，也可被借鑒用于高軌抵近任務(wù)的優(yōu)化分析。最早由SERGEYEVSKY 等提出Pork-chop 圖，通過(guò)給定預(yù)期的機(jī)動(dòng)時(shí)間和到達(dá)時(shí)間，對(duì)時(shí)間組合進(jìn)行離散網(wǎng)格化，再針對(duì)每個(gè)二維時(shí)間點(diǎn)求解Lambert問(wèn)題得到對(duì)應(yīng)的速度增量矩陣，即可繪出Pork-chop等高圖。

Pork-chop 圖可以直觀地顯示給定時(shí)間段內(nèi)速度沖量大小的變化規(guī)律，展示不同出發(fā)抵達(dá)“時(shí)間對(duì)”之間的能量對(duì)比，為任務(wù)決策提供全局參考。速度增量Δ定義為機(jī)動(dòng)前后速度矢量差的模：

2.2 追蹤星轉(zhuǎn)移速度增量分析

對(duì)于處于理想地球靜止軌道的2 顆衛(wèi)星來(lái)說(shuō)，由于兩星共軌，且相對(duì)位置始終保持不變，追蹤星攔截目標(biāo)星的速度增量不隨出發(fā)時(shí)間變化。星下點(diǎn)地理經(jīng)度相差20°的2 個(gè)高軌衛(wèi)星抵近的Porkchop圖如圖3所示。

圖3 抵近理想GEO 衛(wèi)星的速度增量Pork-chop 圖Fig.3 Pork-chop diagram of velocity increment when approaching the ideal GEO satellite

在圖3 中：左側(cè)繪制地慣系軌道圖，示意追蹤星和目標(biāo)星初始位置；右側(cè)繪制Pork-chop 圖，橫坐標(biāo)為相對(duì)初始時(shí)刻的延遲出發(fā)時(shí)間，縱坐標(biāo)為抵達(dá)目標(biāo)位置的軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間；顏色條示意消耗速度脈沖的大小。圖4～圖7 解釋同上。由圖3 分析可知，地球靜止軌道衛(wèi)星抵近速度增量的大小僅和轉(zhuǎn)移時(shí)間相關(guān)，與機(jī)動(dòng)時(shí)刻不相關(guān)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，在理想GEO上啟動(dòng)抵近任務(wù)，任意時(shí)刻的燃料消耗都等價(jià)。

然而，非合作目標(biāo)衛(wèi)星往往不位于理想GEO，其偏心率和軌道傾角都會(huì)同靜止軌道存在一定偏差。假設(shè)追蹤星處于地球靜止軌道，目標(biāo)星處于定位點(diǎn)經(jīng)度與追蹤星相差20°的近地球同步軌道。以下分別選取了偏差為=0.01、=0.05、=1°、=10°等目標(biāo)星軌道進(jìn)行仿真分析，繪制時(shí)間約束為2 d 的Pork-chop 速度增量等高圖，如圖4～圖7所示。

圖4 目標(biāo)星e=0.01 的速度增量Pork-chop 圖Fig.4 Pork-chop diagram of velocity increment when the eccentricity of the target satellite is 0.01

圖5 目標(biāo)星e=0.05 的速度增量Pork-chop 圖Fig.5 Pork-chop diagram of velocity increment when the eccentricity of the target satellite is 0.05

圖6 目標(biāo)星軌道傾角為1°的速度增量Pork-chop 圖Fig.6 Pork-chop diagram of velocity increment when the orbit inclination of the target satellite is 1°

圖7 目標(biāo)星軌道傾角為10°的速度增量Pork-chop 圖Fig.7 Pork-chop diagram of velocity increment when the orbit inclination of the target satellite is 10°

可見，當(dāng)目標(biāo)星軌道的偏心率或軌道傾角相對(duì)靜止軌道存在偏差時(shí)，最優(yōu)機(jī)動(dòng)時(shí)刻周期性復(fù)現(xiàn)規(guī)律。該周期為0.5 d，即半個(gè)軌道周期。在執(zhí)行高軌抵近任務(wù)時(shí)，由于不存在絕對(duì)理想的地球靜止軌道衛(wèi)星，任務(wù)時(shí)間約束內(nèi)，追蹤星何時(shí)機(jī)動(dòng)，何時(shí)抵達(dá)最優(yōu)，在時(shí)間上并不均勻。

3 多脈沖抵近優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 多脈沖抵近的數(shù)學(xué)模型

多脈沖抵近就是通過(guò)在轉(zhuǎn)移過(guò)程中多次點(diǎn)火施加速度脈沖的方式，使衛(wèi)星從初始軌道上的一點(diǎn)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)附近打靶點(diǎn)的抵近方式。本節(jié)以三脈沖抵近為例進(jìn)行建模，整個(gè)抵近過(guò)程如圖8 所示。

圖8 三脈沖抵近Fig.8 Schematic diagram of triple-pulse proximity

假設(shè)追蹤星位于初始軌道Ⅰ，目標(biāo)星位于其運(yùn)行所在的軌道Ⅱ。任務(wù)起始時(shí)刻，追蹤星在地慣系下的空間位置為。經(jīng)Δ的無(wú)動(dòng)力滑行，至空間位置，第一次點(diǎn)火施加速度脈沖Δ。經(jīng)Δ的無(wú)動(dòng)力滑行，至空間位置，第二次點(diǎn)火施加速度脈沖Δ。再經(jīng)Δ的無(wú)動(dòng)力滑行，至目標(biāo)星附近打靶點(diǎn)位置，實(shí)現(xiàn)抵近。最終通過(guò)第三次點(diǎn)火施加速度脈沖Δ，進(jìn)入目標(biāo)軌道。定義首次速度脈沖Δ為起漂脈沖，末端速度脈沖Δ為剎車脈沖，首末之間的速度脈沖Δ為中間脈沖。已知Ⅰ、Ⅱ軌道參數(shù)、任務(wù)起始時(shí)間和目標(biāo)附近打靶點(diǎn)，當(dāng)確定了Δ、Δ、Δ，由于衛(wèi)星按照式（2）在空間中運(yùn)行，、、可通過(guò)軌道積分確定。當(dāng)確定了中間脈沖點(diǎn)，通過(guò)2.3節(jié)方法求解Lambert 問(wèn)題可得出脈沖Δ、Δ。根據(jù)給出的目標(biāo)附近打靶點(diǎn)參數(shù)可求出脈沖Δ。故三脈沖抵近要確定的獨(dú)立變量有3 個(gè)滑行時(shí)間以及1 個(gè)3 自由度的中間脈沖點(diǎn)坐標(biāo)，共6 個(gè)獨(dú)立變量。

基于以上分析推廣，對(duì)于給定目標(biāo)附近打靶點(diǎn)的脈沖轉(zhuǎn)移問(wèn)題，轉(zhuǎn)移過(guò)程中包含1 個(gè)起漂脈沖Δ，-2 個(gè)中間脈沖Δ，Δ，…，Δv，以及1 個(gè)剎車脈沖Δv。故脈沖抵近要確定的獨(dú)立變量有個(gè)漂移時(shí)間Δ，Δ，…，Δt以及-2 個(gè)3 自由度中間脈沖點(diǎn)坐標(biāo)，，…，r，共4-6 個(gè)獨(dú)立變量。

然而，考慮到3 自由度中間脈沖點(diǎn)坐標(biāo)搜索區(qū)間范圍過(guò)于龐大，導(dǎo)致模型的優(yōu)化求解難以收斂。本文提出虛擬Lambert 滑行拼接的方法解決該問(wèn)題。以三脈沖轉(zhuǎn)移為例，尋中間脈沖點(diǎn)時(shí)，首先求解漂脈沖位置和剎車脈沖位置在Δ+Δ時(shí)間區(qū)間內(nèi)的Lambert 問(wèn)題，虛擬遞推該軌道，并在時(shí)刻Δ處取點(diǎn)，作半徑為Δ的中間脈沖點(diǎn)尋優(yōu)域。如此便將中間脈沖點(diǎn)范圍很大的地慣系坐標(biāo)，，…，r，轉(zhuǎn)換為范圍較小的相對(duì)坐標(biāo)Δ，Δ，…，Δr，有利于優(yōu)化算法收斂。中間脈沖點(diǎn)尋優(yōu)域如圖9所示。

圖9 中間脈沖點(diǎn)尋優(yōu)域Fig.9 Schematic diagram of the optimizing domain for the middle pulse point

3.2 約束條件與性能指標(biāo)

高軌衛(wèi)星抵近任務(wù)中要考慮以下各種約束。

3.2.1 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)約束

追蹤星在脈沖位置之間按照式（2）運(yùn)行。以為追蹤星狀態(tài)矢量（3 個(gè)位置量和3 個(gè)速度量），將式（2）表示(，)，則在脈沖點(diǎn)（包括初始位置和抵近打靶點(diǎn)）之間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)約束可表示為

3.2.2 時(shí)間約束

假設(shè)任務(wù)從起始時(shí)刻開始，必須在時(shí)間約束Δ內(nèi)完成抵近。每次施加速度脈沖后的漂移時(shí)間（包括起漂脈沖前的等待時(shí)間）滿足約束：

3.2.3 能量約束

追蹤星攜帶燃料有限，假設(shè)一次抵近任務(wù)所能耗費(fèi)的最大速度脈沖為Δ，則抵近過(guò)程中施加的速度脈沖滿足約束：

3.2.4 性能指標(biāo)

以能量消耗最小作為性能指標(biāo)，表示為

綜合以上約束，多脈沖抵近軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型表示為

3.3 差分進(jìn)化算法（DE）

DE由Storn 和Price于1995年首次提出，主要用于求解實(shí)數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。該算法是一類基于群體的自適應(yīng)全局優(yōu)化算法，屬于演化算法的一種，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)、收斂快速、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)。DE 的基本思想如下：從一個(gè)隨機(jī)生成的初始種群開始，將種群中任意2 個(gè)個(gè)體的向量差加上第3 個(gè)個(gè)體的和生成新的個(gè)體，然后將這個(gè)新的個(gè)體與種群中相應(yīng)的當(dāng)代個(gè)體相比較，如果新個(gè)體的適應(yīng)度優(yōu)于當(dāng)前個(gè)體的適應(yīng)度，則是在下一代個(gè)體中取新替換舊，或仍保持舊個(gè)體。通過(guò)不斷的進(jìn)化，可以保留好的個(gè)體，淘汰差的個(gè)體，引導(dǎo)搜索接近最優(yōu)解。其具體進(jìn)化步驟如下：

首先確定DE 的控制參數(shù)，確定其適應(yīng)度函數(shù)。DE 控制參數(shù)主要包括：種群大小、縮放因子與交叉概率；

隨機(jī)產(chǎn)生初始種群；

根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)對(duì)初始種群進(jìn)行評(píng)價(jià)，計(jì)算種群中個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)值；

判斷終止條件或進(jìn)化代數(shù)是否達(dá)到最大，若是則停止進(jìn)化搜索，將搜索到的最佳個(gè)體作為最優(yōu)解進(jìn)行輸出，若否則繼續(xù)進(jìn)化；

進(jìn)行變異和交叉操作，得到中間種群；

在原種群和中間種群中選擇個(gè)體，得到新一代種群；

進(jìn)化代數(shù)=+1，轉(zhuǎn)步驟4。

在DE 的主要控制參數(shù)中，種群規(guī)模在算法中主要反映了種群信息的大小。值越大，種群信息越豐富。但結(jié)果會(huì)使計(jì)算量變大，不利于求解。相反，種群多樣性是有限的，這不利于算法獲得全局最優(yōu)解，甚至導(dǎo)致搜索停滯。交叉概率主要反映后代與父代之間以及交叉過(guò)程中中間變異個(gè)體之間的信息交換量。值越大，信息交換程度越高。相反，如果值過(guò)小，種群多樣性會(huì)迅速下降，不利于整體優(yōu)化。與相比，縮放因子對(duì)算法性能的影響更大，主要影響算法的全局優(yōu)化能力。越小，算法的局部搜索能力越好。

4 仿真算例

假設(shè)任務(wù)起始時(shí)間為UTC 時(shí)2021 年4 月1 日12：00：00.000，追蹤星和目標(biāo)星都處于近地球靜止軌道。任務(wù)初始時(shí)刻，追蹤星和目標(biāo)星的瞬時(shí)軌道根數(shù)如下：

式中：為近地點(diǎn)幅角；為升交點(diǎn)赤經(jīng)；為真近點(diǎn)角。

不考慮入軌相對(duì)構(gòu)型，假設(shè)以目標(biāo)星位置作為打靶點(diǎn)，目標(biāo)星軌道作為打靶軌道，分別對(duì)不同時(shí)間約束下的雙脈沖抵近、三脈沖抵近和四脈沖抵近進(jìn)行軌道優(yōu)化求解。設(shè)置DE 的種群規(guī)模=12，縮放因子=0.85，交叉概率=0.85。設(shè)置最大迭代次數(shù)為100，并對(duì)每組輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行5 組優(yōu)化計(jì)算實(shí)驗(yàn)。當(dāng)任務(wù)時(shí)間約束分別為12、24、48 h 時(shí)，仿真結(jié)果見表1～表3。24 h 時(shí)間約束下的雙脈沖抵近、三脈沖抵近和四脈沖抵近的軌跡圖如圖10～圖12 所示。

圖10 24 h 約束下雙脈沖抵近優(yōu)化算例Fig.10 Schematic diagram of the dual-pulse proximity optimization example under the 24 h constraint

表1 12 h 約束的仿真數(shù)據(jù)Tab.1 Simulation data under the 12 h constraint

表2 24 h 約束的仿真數(shù)據(jù)Tab.2 Simulation data under the 24 h constraint

表3 48 h 約束的仿真數(shù)據(jù)Tab.3 Simulation data under the 48 h constraint

圖11 24 h 約束下三脈沖抵近優(yōu)化算例Fig.11 Schematic diagram of the triple-pulse proximity optimization example under the 24 h constraint

圖10～圖12 中標(biāo)注的DV1、DV2、DV3 和DV4分別指第1 次脈沖大小、第2 次脈沖大小、第3 次脈沖大小和第4 次脈沖大小，對(duì)應(yīng)紅色星號(hào)示意施加脈沖的位置。

圖12 24 h 約束下四脈沖抵近優(yōu)化算例Fig.12 Schematic diagram of the quadruple-pulse proximity optimization example under the 24 h constraint

由以上算例可以總結(jié)出：1）延長(zhǎng)任務(wù)約束時(shí)間可以有效降低總沖量；2）三種脈沖次數(shù)的轉(zhuǎn)移方式的優(yōu)化結(jié)果，耗費(fèi)總沖量相差較??；3）在中短期抵近任務(wù)中，雙脈沖轉(zhuǎn)移由于獨(dú)立變量少所以最優(yōu)解穩(wěn)定易得，四脈沖轉(zhuǎn)移優(yōu)化收斂性較差，而三脈沖轉(zhuǎn)移優(yōu)化效果相對(duì)較好。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)高軌衛(wèi)星遠(yuǎn)程抵近問(wèn)題建立了數(shù)學(xué)模型，使用Pork-chop 圖探討了非理想地球靜止軌道偏心率和軌道傾角偏差對(duì)攔截速度增量的影響，分析了任務(wù)時(shí)間約束內(nèi)遠(yuǎn)程抵近軌道最優(yōu)解的分布規(guī)律。給出多脈沖抵近問(wèn)題涉及的獨(dú)立變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)，建立了多脈沖抵近軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。最后使用DE，通過(guò)多組算例對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化求解，得出三脈沖抵近方案在中短期任務(wù)中優(yōu)化效果相對(duì)較好的結(jié)論。