侍 文，陳 石*，韓建成，賈路路

1 中國地震局地球物理研究所，北京 100081

2 北京白家疃地球科學(xué)國家野外科學(xué)觀測研究站，北京 100095

0 前 言

地球巖石圈在地表和地下荷載的影響下進(jìn)行重力均衡作用，發(fā)生相應(yīng)的沉降或隆起，使荷載差異得到補(bǔ)償. 根據(jù)均衡理論，地球內(nèi)部地殼和地幔有趨于靜力平衡狀態(tài)的趨勢（Watts, 2001, 2011）. 早期基于流體靜力學(xué)平衡的Airy均衡（Airy, 1855）和Pratt均衡（Pratt, 1855, 1864）就是用于解釋地球重力均衡現(xiàn)象的局部均衡模型. 后期人們發(fā)現(xiàn)，在某些區(qū)域（如夏威夷島鏈）地表荷載沒有完全得到補(bǔ)償，且?guī)r石圈的變形行為存在長周期特點(diǎn)（Watts, 2001）. 人們認(rèn)為這是由于Airy和Pratt均衡模型只考慮地表和地下荷載的垂直作用力，模型假定的均衡補(bǔ)償僅限于局部，只沿著垂直方向發(fā)生，而忽略了巖石圈本身的強(qiáng)度（Stoffa and Buhl, 1979;Vening-Meinesz, 1941）. Barrell（1914）指出地球巖石圈是具有較高強(qiáng)度的剛性板塊, 有一定的抵抗形變的能力，足夠支撐較大的區(qū)域性地質(zhì)荷載. 經(jīng)過進(jìn)一步的研究，學(xué)者們提出了區(qū)域均衡模型（即彈性板均衡模型），用以描述地球巖石圈重力均衡狀態(tài)以及均衡調(diào)整過程（Vening-Meinesz, 1932;Gunn, 1937, 1943; Watts, 2011）.

彈性板均衡模型認(rèn)為巖石圈力學(xué)強(qiáng)度或抗變形能力，在巖石圈變形演化過程中起著重要作用. 在地質(zhì)時(shí)間尺度上（＞106年），巖石圈力學(xué)強(qiáng)度影響著巖石圈對重力均衡響應(yīng)的快慢和程度. 這些均衡響應(yīng)信息是認(rèn)識巖石圈內(nèi)部結(jié)構(gòu)和動力學(xué)特征的重要依據(jù). 巖石圈有效彈性厚度（Te）是度量巖石圈力學(xué)強(qiáng)度的一個(gè)定量指標(biāo)，也是研究巖石圈大規(guī)模構(gòu)造的有力工具，與巖石圈熱狀態(tài)、流變學(xué)性質(zhì)、力學(xué)特性等諸多物理因素相關(guān)，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于研究巖石圈力學(xué)結(jié)構(gòu)及動力學(xué)過程等諸多領(lǐng)域（Forsyth, 1985; Watts, 2001; 付永濤等, 2005）.

近年來，隨著數(shù)據(jù)處理技術(shù)的發(fā)展，巖石圈有效彈性厚度的估算方法也得到了迅速的發(fā)展. 目前，計(jì)算的方法主要有三大類：正演法、譜分析方法（包括：導(dǎo)納法和相關(guān)性法）和屈服應(yīng)力包絡(luò)法（付永濤等, 2000; 陳波, 2013; Audet, 2019）. 本文詳細(xì)介紹了這些方法的計(jì)算原理，并分析比較了它們的優(yōu)缺點(diǎn).

1 巖石圈撓曲與有效彈性厚度

地球巖石圈中存在各種形式的載荷，例如地球表面的山體、盆地、冰蓋和沉積層等，地球內(nèi)部的巖漿侵入和地層逆掩等（Watts, 2011; 陳波, 2013）.在均衡調(diào)整過程中，巖石圈對這些載荷的響應(yīng)不僅取決于載荷的空間尺寸（或幾何大小），還與載荷加載的時(shí)間尺度有關(guān). 如圖1 所示，載荷加載之后，在同震形變時(shí)間尺度上（0～120 s），地殼及地幔物質(zhì)可視為一個(gè)整體的彈性半空間模型，表現(xiàn)出明顯的彈性特征；在震后形變時(shí)間尺度上（～10年），地殼及深部物質(zhì)可近似為彈性薄板耦合于黏彈性半空間體之上的模型；在相對較短的地質(zhì)時(shí)間尺度上（冰川回彈時(shí)間尺度，～104年），整個(gè)巖石圈被視為彈性板，而上地幔以深的物質(zhì)則是黏彈性半空間體；在地質(zhì)時(shí)間尺度上（＞106年），巖石圈則被視為漂浮在非黏性流體的軟流圈之上的彈性薄板（Watts, 2010）.

圖1 地球外部圈層在載荷加載后不同時(shí)間尺度下的彈塑性響應(yīng)（修改自Watts, 2010）Fig. 1 Schematic diagram illustrating how the Earth's outermost layers respond to loads of different timescales （modified from Watts,2010）

將巖石圈視為彈性薄板，該薄板受到加載其上載荷的作用，發(fā)生變形，該受力變形問題可以用彈性板撓曲方程表示（Turcotte and Suchubert, 2002）：

式中，w是彈性薄板的撓曲變形，x是水平坐標(biāo)，ρm和ρinfill分別是地幔密度和撓曲凹地的填充物質(zhì)密度，g是 重力加速度，ρload和hload是載荷的密度和高度，D是彈性薄板的撓曲剛度，可由有效彈性厚度Te求得：

式中，Te是巖石圈有效彈性厚度，E是楊氏模量，ν是泊松比. 利用公式（1）和（2）可以建立特定載荷加載下彈性薄板的撓曲變形與有效彈性厚度的關(guān)系.

巖石圈有效彈性厚度（Te）可定義為在真實(shí)載荷的作用下，能產(chǎn)生與實(shí)際巖石圈相等撓曲變形的理論彈性薄板的厚度（Forsyth, 1985; Watts, 2001;陳波, 2013）. 由公式（1）和（2）可知，Te可以決定巖石圈在載荷作用下產(chǎn)生撓曲變形的幅值和波長. 較大的Te代表巖石圈力學(xué)強(qiáng)度較高，不易于發(fā)生撓曲變形，此時(shí)巖石圈存在著一定程度的區(qū)域補(bǔ)償，在載荷作用下，撓曲變形通常幅值較小且波長較長. 反之，較小的Te代表巖石圈力學(xué)強(qiáng)度較低，易于發(fā)生撓曲變形，在載荷作用下，巖石圈趨向于Airy均衡，撓曲變形的幅值較大，并且波長較小. 極端情況下，當(dāng)Te=0時(shí)，代表巖石圈沒有剛度，此時(shí)巖石圈不存在區(qū)域補(bǔ)償，僅存在著局部補(bǔ)償，遵循Airy均衡補(bǔ)償模型.

巖石圈有效彈性厚度（Te）是一個(gè)能從實(shí)際觀測中估計(jì)得到的參數(shù)，與眾多地質(zhì)構(gòu)造的物理參數(shù)緊密相關(guān)，可廣泛應(yīng)用于研究巖石圈力學(xué)結(jié)構(gòu)及動力學(xué)過程等諸多領(lǐng)域. 大洋巖石圈有效彈性厚度受控制于450±150 ℃等溫面，并隨著加載巖石圈載荷的年齡平方根增加而增加（見圖2），與大洋巖石圈隨年齡的沉降特征相似，表明其強(qiáng)烈依賴于巖石圈的熱結(jié)構(gòu)（Parsons and Sclater, 1977; Watts et al., 1980; Watts, 2001）. 相對于大洋，大陸巖石圈有效彈性厚度較為復(fù)雜，并且不對應(yīng)于任何物質(zhì)界面和深度，受多種參數(shù)的綜合影響（Burov and Diament, 1995; Tesauro et al., 2009a, 2009b, 2012），主要包括：（1）巖石圈熱結(jié)構(gòu)和熱年齡（Bechtel et al., 1990; 陳青, 2015）. 一般情況下，較老的熱年齡對應(yīng)較大的Te值，反之，較小的熱年齡則與較低的Te值對應(yīng)（Zuber et al., 1989）. 此外，較強(qiáng)烈的熱活化作用，可以降低Te值（Watts, 2001;Tesauro et al., 2009b）. 因?yàn)閹r石圈Te受其熱結(jié)構(gòu)和熱年齡控制，所以Te與大陸巖石圈構(gòu)造單元的年齡也存在著較密切的聯(lián)系（見圖2）. （2）地殼厚度的變化 （Burov and Diament, 1995）. 在存在軟弱下地殼地區(qū)，地殼厚度的變化以及物質(zhì)成分的差異容易導(dǎo)致殼幔的解耦、拆離作用（Burov and Diament, 1995; 焦述強(qiáng)等, 1996），而殼幔的拆離可能導(dǎo)致巖石圈力學(xué)強(qiáng)度減少一半之多（McNutt et al., 1988），引起Te值的減小. 也有研究認(rèn)為地殼厚度與Te成正相關(guān)關(guān)系（袁炳強(qiáng)等，2002a，2002b）. （3）巖石圈內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài).Te值依賴于垂向負(fù)載引起的撓曲變形，受水平應(yīng)力較高時(shí)，解耦的巖石圈可引起不同尺度的地殼和巖石圈褶皺，而這些褶皺影響撓曲的計(jì)算，因此也影響著Te估計(jì)值（Cloetingh and Burov, 1996）. （4）板塊邊界負(fù)載. 在大陸碰撞帶，板塊之間的相互作用、相互疊置以及地幔下降流作用，使巖石圈局部力學(xué)強(qiáng)度發(fā)生顯著變化，影響Te值（付永濤等，2000）. （5）斷層位移和造山帶走向. 沿?cái)鄬拥奈灰朴兄趲r石圈的均衡調(diào)整，可以降低其撓曲剛度，減少Te值（Bechtel et al., 1990; 付永濤等, 2005）. 造山帶Te的空間變化，與造山帶走向有一定的對應(yīng)關(guān)系，是對先前巖石圈熱性質(zhì)和力學(xué)特征的繼承結(jié)果，這種繼承性可以影響隨后的板塊構(gòu)造事件（Stewart and Watts, 1997）.

圖2 巖石圈彈性層厚度與大洋及大陸巖石圈負(fù)載年齡之間的關(guān)系（修改自Watts, 2010）. 淡灰色矩形區(qū)域是基于巖石圈震后恢復(fù)數(shù)據(jù)估算的彈性層厚度與負(fù)載年齡之間關(guān)系所在的范圍；這些數(shù)據(jù)來源于安納托利亞（Hearn et al., 2002）、蒙古（Vergnolle et al., 2003）和黑格本湖（Nishimura and Thatcher, 2003）地區(qū). 深灰色區(qū)域是基于希庫蘭吉海溝地區(qū)（Cohen and Darby, 2003）同震數(shù)據(jù)估算的范圍. 青色區(qū)域是基于冰川回彈數(shù)據(jù)估算的范圍；其數(shù)據(jù)來源于美國東海岸（Di Donato et al., 2000）、不列顛群島（Peltier et al., 2002）以及芬諾斯坎迪亞（Milne et al., 2004）地區(qū). 藍(lán)色區(qū)域顯示了Watts（2001）中表6.2的海洋巖石圈有效彈性厚度數(shù)據(jù)所在的范圍，其中實(shí)心藍(lán)色圓點(diǎn)是估算的數(shù)據(jù)點(diǎn). 淡棕色和黃色區(qū)域是由大陸巖石圈有效彈性厚度數(shù)據(jù)估算得到的范圍. 淡棕色區(qū)域的數(shù)據(jù)是基于晚元古代/顯生宙地體估算的，而黃色區(qū)域的數(shù)據(jù)是基于太古代和早/中元古代地體估算的；這些數(shù)據(jù)來源于Watts（2001）以及Pérez-Gussinyé和 Watts（2005）. 其它的估算數(shù)據(jù)則是來源于阿拉斯加?xùn)|南部（Larsen et al., 2005）、邦納維爾湖（Nakiboglu and Lambeck, 1983）和美國西部（Lowry et al., 2000）地區(qū). 藍(lán)色實(shí)線和虛線是基于Watts 和Zhong（2000）的研究結(jié)果，推斷的海洋巖石圈有效彈性厚度與負(fù)載年齡間的關(guān)系. 時(shí)間坐標(biāo)值較小的兩根棕色虛線（藍(lán)線左側(cè)）是根據(jù)理論模型估算的巖石圈有效彈性厚度和負(fù)載年齡間的關(guān)系曲線；該模型是一個(gè)假設(shè)30 km 厚的彈性層覆蓋在黏彈性層之上的雙層模型，兩根虛線分別對應(yīng)黏彈性層的黏度為～3.0×1018 和～2.7×1019 Pa s；曲線是利用 S. Zhong 的代碼計(jì)算的（根據(jù)2003年的討論）. 時(shí)間坐標(biāo)值較大的兩根棕色虛線（藍(lán)線右側(cè)）分別對應(yīng)黏彈性層的黏度為～5.0×1023 和～5.0×1024 Pa s）Fig. 2 Plot of elastic layer thickness against the logarithm of load age （modified from Watts, 2010）. Light gray box shows the range of post-seismic rebound estimates. Data sources based on Hearn et al. （2002）, Anatolia; Vergnolle et al. （2003） Mongolia; and Nishimura and Thatcher （2003）, Lake Hegben. Dark gray boxes show the range of estimates associated with co-seismic deformation at the Hikurangi Trench （Cohen and Darby, 2003）. Filled light blue box shows the range of elastic layer thickness from glacial isostatic rebound. Data sources based on Di Donato et al. （2000）, East Coast, USA; Peltier et al. （2002）, British Isles; and Milne et al. （2004）, Fennoscandia. Filled dark blue box shows the range of oceanic Te estimates based on Table 6.2 of Watts （2001）. Filled blue circles show individual estimates. Filled light brown and yellow boxes shows the range of continental Te estimates from Late Proterozoic/Phanerozoic and Archean and Early/Middle Proterozoic terranes, respectively.The sources of data are given in Watts （2001） with the additional estimates of Pérez-Gussinyé and Watts （2005）. Other estimates are based on Larsen et al. （2005）, SE Alaska; Nakiboglu and Lambeck （1983）, Lake Bonneville; and Lowry et al.（2000）, Western USA. Solid and dashed blue lines show the predicted relationship between Te and load age for the oceanic lithosphere based on Watts and Zhong （2000）. Dashed brown lines to the left of the blue lines show the predicted relationship between Te and load age for a two-layer model of a 30-km-thick elastic layer that overlies a viscoelastic layer with viscosity of～3.0×1018 and ～2.7×1019 Pa s. The curves have been computed using the code of S. Zhong （pers. comm., 2003）. Dashed brown lines to the ‘right’ of the blue lines show the relationship for viscosities of ～5.0×1023 and ～5.0×1024 Pa s

2 有效彈性厚度估算方法

2.1 正演法

正演法是通過對比分析重力異常實(shí)際觀測值與不同載荷及撓曲情況下巖石圈薄板產(chǎn)生的重力異常理論值、確定巖石圈撓曲模型、最終估算出巖石圈有效彈性厚度的方法. 根據(jù)撓曲理論，漂浮在軟流圈之上的巖石圈在各種載荷（例如：造山帶、火山、海山、洋中脊地形、消減帶、冰川和沉積層等）作用下，產(chǎn)生的撓曲變形可用四階偏微分方程[公式（1）]來求解（付永濤等，2005；陳波，2013）.基于設(shè)定條件下求解得到的撓曲變形和實(shí)際地形，構(gòu)建巖石圈密度結(jié)構(gòu)模型，通過正演模擬計(jì)算該模型所對應(yīng)的重力異常理論值，并與實(shí)際觀測值進(jìn)行比較，不斷修改設(shè)定的巖石圈模型，直至該模型重力異常理論值與觀測值吻合程度較高時(shí)，停止修改，根據(jù)該最終的巖石圈模型，獲取巖石圈的彈性參數(shù)（剛度或彈性厚度）（Karner and Watts, 1983;Lyon-Caen and Molnar, 1984; Watts, 2001, 2010）.對于正演法中涉及的撓曲計(jì)算問題，在簡單載荷加載情況下可以由公式（1）求出解析解，例如：變化較為規(guī)律的周期性載荷、島鏈或火山鏈等線性載荷（Hetényi and Hetbenyi, 1946; 陳波, 2013）. 在復(fù)雜的二維和三維載荷情況下，巖石圈的撓曲計(jì)算無法得到解析解，需要采用數(shù)值方法求解（Stewart,1998），如有限差分法等（Sheffels and McNutt,1986; Van Wees and Cloetingh, 1994; Jin et al., 1996;Stewart and Watts, 1997; Jordan and Watts, 2005）.

在巖石圈結(jié)構(gòu)較為簡單，載荷和撓曲較為明確的地區(qū)，正演法比譜分析方法（導(dǎo)納法和相關(guān)性法）準(zhǔn)確. 但是，在巖石圈及地質(zhì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的地區(qū)，載荷和撓曲很難被分辨清楚，同時(shí)，正演過程中巖石圈實(shí)際密度結(jié)構(gòu)無法被充分的考慮和模擬，使得正演法受到嚴(yán)重限制，很難被廣泛應(yīng)用（Watts,2001）.

2.2 譜分析方法

譜分析方法是利用地形和重力異常數(shù)據(jù)估算巖石圈有效彈性厚度（Te）的方法，是目前用于估算大陸和大洋地區(qū)Te最常用的手段. 譜分析方法最早由Dorman和Lewis（1970）提出. 此類方法利用巖石圈在荷載作用下，地形和布格重力異常二者在波數(shù)域中關(guān)系的變化特征來估算巖石圈Te（Dorman and Lewis, 1970; Watts, 2001; 陳波, 2013; 陳石等,2014）. 譜分析方法包括：導(dǎo)納法和和相關(guān)性法.

2.2.1 撓曲響應(yīng)函數(shù)

真實(shí)的巖石圈載荷通?？梢越茷橹芷谛暂d荷，此時(shí)，公式（1）可以表示為：

式中，Δρ為上覆介質(zhì)與地殼之間的密度差，h為最大地形起伏. cos()函數(shù)表示周期性載荷，因?yàn)榈匦瓮ǔ？煽闯刹煌芷谔卣鞯姆至壳蠛托问?，k為荷載在x方向上的傅里葉波數(shù).

方程（3）的解有如下形式（Watts, 2001）：

上式中，右端項(xiàng)與D有關(guān)的部分，被定義為撓曲響應(yīng)函數(shù)（flexural response function）Φe()，即：

式中，Φe是波數(shù)k的函數(shù)，當(dāng)密度差確定時(shí)，在不同的波數(shù)k下，僅與撓曲剛度D相關(guān).

圖3是撓曲響應(yīng)函數(shù)Φe在不同的巖石圈Te下，隨波數(shù)k變化的理論曲線（Watts, 2001）. 當(dāng)波數(shù)k趨向于0時(shí)，巖石圈會表現(xiàn)為Airy響應(yīng)特征，即當(dāng)載荷尺寸很大時(shí)，巖石圈表現(xiàn)出力學(xué)強(qiáng)度很低的特征，此時(shí)，巖石圈在載荷作用下發(fā)生撓曲變形，均衡調(diào)整之后的“山根”僅與山的高度有關(guān). 相反，當(dāng)波數(shù)k趨向于無窮大時(shí)，巖石圈會表現(xiàn)為Bouguer響應(yīng)特征，即當(dāng)載荷尺寸很小時(shí)，巖石圈表現(xiàn)出力學(xué)強(qiáng)度很高的特征，此時(shí)，巖石圈的強(qiáng)度大到足夠支撐上覆的載荷，而不發(fā)生撓曲變形. 當(dāng)巖石圈Te變化時(shí)，撓曲響應(yīng)函數(shù)隨載荷波數(shù)的變化趨勢也會發(fā)生相應(yīng)變化（如圖3所示）. 值得注意的是，僅在“撓曲特征波段”（diagnostic waveband of flexure）范圍內(nèi)（即0.001＜k＜0.1時(shí)），這些曲線 才可以被用于估算巖石圈Te.

圖3 撓曲響應(yīng)函數(shù)（修改自Watts, 2001）Fig. 3 The diagram of lithospheric flexural response function （modified from Watts, 2001）

2.2.2 導(dǎo)納法

Lewis和Dorman（1970）利用實(shí)測的地表地形和重力異常的功率譜求得了觀測導(dǎo)納函數(shù)，并與由Airy模型計(jì)算得到的導(dǎo)納函數(shù)比較，分析了北美大陸的補(bǔ)償密度分布. McKenzie 和 Bowin（1976）利用海底地形和海洋自由空氣重力異常的導(dǎo)納譜研究了大西洋的巖石圈有效彈性厚度. Banks 等（1977）通過地形和布格重力異常的導(dǎo)納估算了北美大陸巖石圈的有效彈性厚度. 隨后，導(dǎo)納法被廣泛應(yīng)用于其它地質(zhì)特征區(qū)域的巖石圈有效彈性厚度研究（McNutt and Parker, 1978; Cochran, 1979;Detrick and Watts, 1979; McNutt, 1980; Louden,1981; Karner and Watts, 1982; Ribe and Watts, 1982;McKenzie and Fairhead, 1997; McKenzie, 2003; 陳石等, 2011; 胡敏章等, 2015; 付廣裕等, 2020）.

如果將巖石圈看成濾波器，地形載荷是輸入信號，撓曲變形是輸出，重力異常就是這種輸出量的可觀測部分. 在波數(shù)域，我們用導(dǎo)納（gravitational admittance）來表示這個(gè)關(guān)系：

式中,Z(k)為重力導(dǎo)納，Δg(k) 為波數(shù)域的重力異常,H(k) 為波數(shù)域的地形.

基于位場理論，Parker（1973）將頻率域的界面起伏與重力異常之間的關(guān)系用泰勒級數(shù)展開表示，由于巖石圈有效彈性厚度對高頻地形成份不敏感，因此可以略去高階系數(shù)，僅保留一階近似，即：

式中，d為平均界面起伏，G為萬有引力常數(shù)，Δg(k)為重力異常. 在不同巖石圈有效彈性厚度情況下，根據(jù)式（7）的地形譜與重力異常譜之間的近似關(guān)系，可以進(jìn)一步推導(dǎo)重力導(dǎo)納的理論公式，得到復(fù)合模型（如圖4所示）的導(dǎo)納公式如下（Forsyth,1985）：

式中，Z(k)surface+buried為波數(shù)域?qū)Ъ{函數(shù)，=, ρc為地殼平均密度，Zt為地殼平均厚度，k為平面上的波數(shù),Ht為板上加載對地形的貢獻(xiàn)量，Hb為板下加載對地形的貢獻(xiàn)量，兩者之和與觀測地形相等，具體含義如圖4所示.

圖4 巖石圈有效彈性厚度導(dǎo)納法計(jì)算復(fù)合模型示意圖（修改自Watts, 2001）. 其中：Zt為地殼厚度，Hi 表示變形前板上地形，Wi表示變形前等效板下變形，Ht 表示變形后由于板上加載剩余的地形，Wt 表示變形后板上加載引起的等效板下變形，Wb表示變形后由于板下加載的等效剩余變形，Hb 表示由于變形后板下加載引起的板上地形Fig. 4 The diagram of composite model used for calculating lithospheric effective elastic thickness based on admittance method（modified from Watts, 2001）. Ztis the crustal thickness，Hiis the surface topography before deformation，Wi is the height of the buried load before deformation，Ht is the contribution of surface loading to the topography，Wt is the contribution of surface loading to the buried load after deformation，Wb is the equivalent topography of the buried load after deformation，Hb is the contribution of buried load to the topography after deformation

假定板下與板上加載貢獻(xiàn)的比值為f，定義其為（Forsyth, 1985）：

將式（9）代入式（8），得：

初始載荷比F代表巖石圈在發(fā)生撓曲變形之前內(nèi)部不同密度界面的加載比例關(guān)系，由式（11）表示（McKenzie, 2003; Kirby and Swain, 2009）：

通過以上式（2）、（5）、（10）和（11），給定兩個(gè)獨(dú)立參數(shù) (Te,F)，即巖石圈有效彈性厚度和初始載荷比, 就可以計(jì)算理論模型導(dǎo)納值. 然后，在已知重力異常和地形的基礎(chǔ)上，將理論模型導(dǎo)納計(jì)算結(jié)果和實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，通過反演的方法，獲取巖石圈有效彈性厚度和初始載荷比的空間分布.

2.2.3 相關(guān)性法

除導(dǎo)納法以外，相關(guān)性法也是反演Te和初始載荷比F的重要譜分析方法. 巖石圈受到載荷作用時(shí)，產(chǎn)生撓曲變形，地表地形和巖石圈下部密度分界面發(fā)生相應(yīng)調(diào)整，巖石圈密度結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，產(chǎn)生重力異常，地表地形和布格重力異常之間存在一定的相關(guān)性，而通過該相關(guān)性的變化，可以確定巖石圈的彈性參數(shù)（Watts, 2001; 陳波, 2013）.

相關(guān)性法最早由Forsyth（1985）提出. 對于波長較長的荷載，巖石圈更趨向于區(qū)域均衡模式，巖石圈撓曲變形較為明顯，此時(shí)的重力異常與地表地形可能完全相關(guān)，即二者的相關(guān)度趨向于1；而對于波長較短的荷載，由于巖石圈本身的剛度，其可以一定程度上支撐載荷，使得巖石圈撓曲變形較小，此時(shí)重力異常與地表地形相關(guān)度較小，二者的相關(guān)度趨向于0. 巖石圈重力異常與地表地形相關(guān)度隨載荷波長從1變化為0處的波長，被稱為轉(zhuǎn)折波長. 轉(zhuǎn)折波長代表巖石圈從區(qū)域均衡變?yōu)椴痪獾臓顟B(tài)，其大小與巖石圈剛度有關(guān)（Forsyth, 1985;Watts, 2001; 陳波, 2017）. 通常，巖石圈有效彈性厚度越大或剛性越強(qiáng)，其對應(yīng)的轉(zhuǎn)折波長越長.

通過實(shí)際觀測的地表地形和布格重力異常，計(jì)算二者之間隨波長變化的波數(shù)域相關(guān)度（實(shí)測相關(guān)度），并與理論彈性板模型求解的預(yù)測相關(guān)度比較，反演巖石圈有效彈性厚度及初始載荷比. 相關(guān)性法對不同均衡響應(yīng)模式下的轉(zhuǎn)換波長較為敏感，計(jì)算精度較高.

利用重力異常和地形的互功率譜和自功率譜，實(shí)測相關(guān)函數(shù)可表示為（McKenzie and Bowin, 1976;Forsyth, 1985）：

式中，〈〉表示平均譜.

復(fù)合模型（如圖4所示）的理論相關(guān)函數(shù)為（Forsyth, 1985）：

與上述導(dǎo)納法類似，通過式（2）、（5）和（13），給定參數(shù)（Te,F），可以計(jì)算理論模型相關(guān)函數(shù)值，然后，再將此理論相關(guān)函數(shù)值與由式（12）得到的實(shí)測相關(guān)函數(shù)值對比，用于反演計(jì)算，獲取最優(yōu)的Te和F解.

相關(guān)法和導(dǎo)納法的原理類似，但是相關(guān)法估算巖石圈有效彈性厚度時(shí)受荷載比的影響比導(dǎo)納法小很多. 隨著衛(wèi)星重力技術(shù)的發(fā)展，基于地表地形和布格重力異常的相關(guān)法逐漸成為了目前估算巖石圈有效彈性厚度的最流行方法（陳波，2013）.

2.2.4 功率譜估計(jì)

基于譜分析方法估算巖石圈Te時(shí)，需要計(jì)算地表地形和重力異常的功率譜. 1990年代開始，學(xué)者們大多采用周期圖法估算地形和重力異常的功率譜（Percival and Walden, 1993）. 周期圖法是一種常用的直接利用離散傅里葉變換計(jì)算信號功率譜的方法. 但是，周期圖法存在著頻譜泄漏的問題. 直接采用傅里葉變換來估算功率譜，會因?yàn)橛?jì)算窗口尺寸的選擇不合適，而引入較大的誤差（Karner and Watts, 1982; Lowry and Smith, 1994）. 在巖石圈Te較為均一時(shí)，較小的計(jì)算窗口可以準(zhǔn)確地估算出Te結(jié)果，但是當(dāng)巖石圈Te不均勻，在某處存在較大值時(shí)，估算結(jié)果則會出現(xiàn)較大的偏差（Kirby, 2014）.當(dāng)計(jì)算窗口選擇較大時(shí)，計(jì)算區(qū)域過大，容易將存在不同Te值的區(qū)域合在一起計(jì)算，導(dǎo)致估算結(jié)果出錯(cuò)（Simons and Olhede, 2013; Kirby, 2014）. 除了窗口尺寸選擇不合適外，窗口類型不匹配、混疊、吉布斯現(xiàn)象等，也會導(dǎo)致周期圖法的頻譜泄漏問題. 為了改進(jìn)周期圖法的頻譜泄漏問題，學(xué)者們在做傅里葉變換之前，對信號進(jìn)行了一些必要的處理，比如：補(bǔ)零、信號及邊緣補(bǔ)償、趨勢分離、邊緣鏡像等（Dorman and Lewis, 1970; McKenzie and Bowin, 1976; Banks and Swain, 1978; Watts, 1978;Detrick and Watts, 1979; McNutt, 1979; Karner and Watts, 1982; Louden and Forsyth, 1982; Ribe and Watts, 1982; Dixon et al., 1983; Bechtel et al., 1987;Zuber et al., 1989; McKenzie and Fairhead, 1997;Audet and Mareschal, 2004a）.

Lowry和Smith（1994）以及Lowry和Smith（1995）采用最大熵法（maximum entropy spectral estimation, MESE）（Burg, 1975）估算了二維地形和布格重力異常的功率譜. 最大熵法根據(jù)最大熵準(zhǔn)則將信號未知延遲點(diǎn)的自相關(guān)函數(shù)外推以估算功率譜，避免了較小計(jì)算窗口對頻譜估計(jì)的影響（Burg,1975; Simons et al., 2000）. 同時(shí)，Lowry和 Smith（1994）也在研究過程中發(fā)現(xiàn)了最大熵法的不足之處，該方法在頻譜估計(jì)中引入的虛假譜峰、峰值分裂、相位差等現(xiàn)象會影響巖石圈Te估算的準(zhǔn)確性.

McKenzie和 Fairhead （1997）以及Simons等（2000）將多窗譜分析技術(shù)（multitaper）（Thomson,1982）引入到導(dǎo)納法和相關(guān)性法中. 多窗譜分析技術(shù)首先會構(gòu)造一組頻譜泄漏最小的正交序列窗口（稱為Slepian序列），然后將這組窗口分別作用于信號的傅里葉變換中，得到一組獨(dú)立的譜，最后對這組譜進(jìn)行加權(quán)平均，獲得一個(gè)低方差的平滑譜估計(jì)，同時(shí)降低譜估計(jì)的頻譜泄漏效應(yīng)（Slepian,1978; Thomson, 1982）. 由于多窗譜分析技術(shù)在改善譜估計(jì)的頻譜泄漏方面效果明顯，該方法被廣泛用于巖石圈有效彈性厚度的研究中（Simons et al.,2003; Audet and Mareschal, 2004b; Pérez-Gussinyé et al., 2004; Pérez-Gussinyé and Watts, 2005）. 但是, 由于多窗譜分析技術(shù)反演巖石圈Te時(shí)，滑動窗口的大小固定，限制了反演的轉(zhuǎn)折波長，導(dǎo)致Te反演結(jié)果偏低（Simons et al., 2000; 陳波, 2013）. 另外，該技術(shù)中Te反演結(jié)果的分辨率也會和窗口的大小相互制約：小尺寸窗口不能解析轉(zhuǎn)折波長大于反演窗口的Te信息；大尺寸窗口不能獲取Te的小尺度變化（Stark et al., 2003; 陳波, 2013）. Pérez-Gussinyé等（2007, 2009a, 2009b）對多窗譜分析技術(shù)中固定窗口對反演轉(zhuǎn)折波長的限制進(jìn)行了分析，提出了多個(gè)窗口聯(lián)合使用的方案，并認(rèn)為該方案可以精確地反演出Te梯度和小尺度Te的變化.

小波譜分析也是一種常用的估算地形和重力異常功率譜的方法（Grossmann and Morlet, 1984）.Stark等（2003）最先將高斯張量小波引入到巖石圈Te的反演中. Kirby 和Swain （2004） 基于疊加的Morlet小波構(gòu)建了一種可行的Fan小波，用于巖石圈Te研究中的功率譜估計(jì). 基于Fan小波技術(shù)的譜分析方法，通過小波空間域和波數(shù)域的多尺度變化，可以克服多窗譜分析技術(shù)中Te結(jié)果分辨率和分析窗口大小相互制約等問題，能同時(shí)反演不同尺度的Te分布（Kirby, 2005; Swain and Kirby, 2006;Kirby and Swain, 2011; 陳波, 2013）. 該方法已經(jīng)被應(yīng)用于研究澳大利亞（Swain and Kirby, 2006）、南美（Tassara et al., 2007）、加拿大地盾（Audet and Mareschal, 2007）、小笠原—馬里亞納海溝（Bai et al., 2018）、太平洋（Lu et al., 2021）、中國大陸及鄰區(qū)（Chen et al., 2013; 陳波, 2013）、中國西部大陸（Chen et al., 2014, 2015）和中國南部（Mao et al., 2012）等地區(qū)的Te結(jié)構(gòu). Audet和Bürgmann（2011）還利用此方法研究了全球大陸的巖石圈有效彈性厚度及各向異性（如圖5所示）.

圖5 全球大陸巖石圈有效彈性厚度及其各向異性（修改自Audet and Bürgmann, 2011）. 其中，黑色短線的方向代表Te各向異性的方向，黑色短線的長度與Te各向異性的大小成正比，彩色底圖是Te值大小的橫向分布Fig. 5Global effective elastic thickness over continents calculated from the coherence between Bouguer gravity and topography using wavelet method （modified from Audet and Bürgmann, 2011）. Teanisotropy superposed on colour-contoured Te over continents and continental shelves. The direction of the black bars represents the Te anisotropy direction. The length of black bars is given by the magnitude of Te anisotropy

2.3 屈服應(yīng)力包絡(luò)法

屈服應(yīng)力包絡(luò)法，又被稱為熱流變結(jié)構(gòu)方法，是一種基于實(shí)驗(yàn)巖石力學(xué)數(shù)據(jù)估算巖石圈有效彈性厚度的方法（Goetze and Evans, 1979; Bodine et al.,1981; 陳波, 2013）. 實(shí)驗(yàn)巖石力學(xué)認(rèn)為巖石圈的上部主要表現(xiàn)為脆性變形，而在中下部主要表現(xiàn)為塑性流動變形. 巖石圈上部的脆性變形特征可以由Byerlee巖石線性摩擦破裂公式描述（Byerlee,1978），而下部的塑性流動變形特征可以由Dorn指數(shù)蠕變定律來確定（Goetze, 1978）. 巖石圈發(fā)生脆性變形的部分，巖石圈強(qiáng)度隨著壓力和深度的增加而增加；在發(fā)生塑性流動變形的部分，巖石圈強(qiáng)度隨溫度和深度的增加而減少（Byerlee, 1978;Goetze, 1978）. 結(jié)合脆性和塑性變形兩種定律，就可以得到巖石圈強(qiáng)度隨深度變化的特征的屈服應(yīng)力包絡(luò)面（Goetze and Evans, 1979）. 屈服應(yīng)力包絡(luò)法是在已知巖石圈溫度場的前提下，通過分層流變學(xué)計(jì)算巖石圈隨深度變化的力學(xué)強(qiáng)度.

屈服應(yīng)力包絡(luò)法最早被應(yīng)用于估算大洋地區(qū)的巖石圈有效彈性厚度，并取得了較好的效果（Bodine et al., 1981; Lago and Cazenave, 1981;McNutt and Menard, 1982; McAdoo et al., 1985）. 這些研究表明：大洋巖石圈有效彈性厚度主要受溫度結(jié)構(gòu)控制，并隨著加載巖石圈載荷的年齡增加而增加. 隨后，學(xué)者們也將屈服應(yīng)力包絡(luò)法應(yīng)用于大陸地區(qū)巖石圈有效彈性厚度的研究中（Karner and Watts, 1983; McNutt et al., 1988; Burov and Diament,1992; Burov and Diament, 1995）. 研究認(rèn)為大陸地區(qū)的巖石圈結(jié)構(gòu)復(fù)雜，除巖石圈的溫度場外，還有許多其它因素會對屈服應(yīng)力包絡(luò)產(chǎn)生影響，包括：地殼厚度、地殼組成成分、應(yīng)變率、地幔巖石圈厚度和流體分布等. 最近，Tesauro等（2009a, 2009b）利用屈服應(yīng)力包絡(luò)法研究了歐洲及全球大陸地區(qū)的巖石圈有效彈性厚度.

由于大陸巖石圈的復(fù)雜性，目前，屈服應(yīng)力包絡(luò)法也存在一定的爭論（Maggi et al., 2000;Jackson, 2002; Watts and Burov, 2003; Burov and Watts, 2006; Burov, 2011; 陳波, 2013）. Burov 和Diament（1995）提出的“三明治”模型（Jelly Sandwich Model）認(rèn)為大陸巖石圈力學(xué)強(qiáng)度分布為：上地殼強(qiáng)度高、下地殼強(qiáng)度弱、上部地幔強(qiáng)度高、下部地幔強(qiáng)度弱. 而Jackson （2002）提出的“法式焦糖布丁”模型（Crème br?lée Model）則認(rèn)為大陸巖石圈的上地殼強(qiáng)度較高，而地幔強(qiáng)度較弱.屈服應(yīng)力包絡(luò)法是基于巖石力學(xué)實(shí)驗(yàn)獲得巖石圈的力學(xué)強(qiáng)度的，該方法雖然可以提供重要的巖石圈強(qiáng)度估計(jì)和流變信息，但是時(shí)間尺度、應(yīng)變率、溫度以及加載條件等實(shí)驗(yàn)環(huán)境，與實(shí)際地球的情況可能存在一定的差距，導(dǎo)致巖石圈強(qiáng)度估算結(jié)果偏離實(shí)際值，所以該方法應(yīng)用過程中我們需要充分考慮各方面的不確定因素.

2.4 巖石圈Te各向異性

近年來研究表明Te在空間上存在著各向異性，相比SKS橫波分裂和地震波徑向各向異性，Te各向異性更與垂直受力狀態(tài)相關(guān)，是研究巖石圈變形和流變特性的重要參數(shù)之一（Stephenson and Lambeck, 1985; Owens and Zandt, 1997; Kirby and Swain, 2006; Mao et al., 2012）. 巖石圈Te各向異性代表巖石圈在不同水平方向上的力學(xué)強(qiáng)度差異.Te各向異性的方向（弱軸方向）代表巖石圈強(qiáng)度較弱的方向. 在板塊匯聚帶，Te各向異性的方向一般與巖石圈的最大壓應(yīng)力方向或物質(zhì)流動的方向一致（Kirby and Swain, 2006）. 在巖石圈形變過程中，地震波各向異性的方向（快波偏振方向）與最大壓應(yīng)力方向趨于平行（Crampin, 1978; 高原等, 1994）.如果Te各向異性的方向與地震波各向異性的方向平行，則說明巖石圈物質(zhì)可能存在側(cè)向流動；相反，如果Te各向異性的方向與地震波各向異性的方向垂直，則說明巖石圈可能處于垂直連續(xù)變形模式（Audet et al., 2007; 李永東等, 2013）. 據(jù)此，通過比較Te各向異性與不同深度上的地震各向異性，可以獲得巖石圈垂直連貫性變形的深度，以及巖石圈不同圈層耦合程度信息（李永東等，2013）. 例如，Audet等（2007）認(rèn)為在松潘—甘孜塊體地區(qū)可能存在物質(zhì)側(cè)向流動，因?yàn)樵摰貐^(qū)Te各向異性與SKS快波偏振方向近似平行.

Simons 等（2000, 2003）利用多窗譜分析技術(shù)研究了澳大利亞地區(qū)的Te各向異性，發(fā)現(xiàn)澳大利亞Te各向異性和地震波各向異性在200 km以上具有很強(qiáng)相關(guān)性，推斷該地區(qū)200 km以上的大尺度變形是連續(xù)的. Audet 和Mareschal（2004b, 2007）分別利用多窗譜和Fan小波技術(shù)研究了加拿大地盾的Te各向異性. Mao 等（2012）、鄭勇等（2012） 和李永東等（2013）采用Fan小波法分別對中國華北、華南和青藏高原東北緣的Te各向異性進(jìn)行了研究，討 論了Te各向異性和巖石圈形變的內(nèi)在關(guān)系.

3 總結(jié)與展望

本文系統(tǒng)地介紹了巖石圈有效彈性厚度的研究背景和基本估算原理，總結(jié)了國內(nèi)外巖石圈Te估算方法的研究進(jìn)展. 巖石圈有效彈性厚度（Te）這一度量巖石圈力學(xué)強(qiáng)度的重要指標(biāo)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于研究巖石圈熱狀態(tài)、流變學(xué)性質(zhì)、力學(xué)特性等諸多物理過程，同時(shí)也是研究巖石圈力學(xué)結(jié)構(gòu)、大規(guī)模構(gòu)造及動力學(xué)過程的重要工具.

正演法、譜分析方法（包括：導(dǎo)納法和相關(guān)性法）和屈服應(yīng)力包絡(luò)法是目前估算巖石圈Te的主要方法，其中譜分析方法最為流行. 譜分析方法中，最早被用于估算巖石圈Te的是導(dǎo)納法，該方法的特點(diǎn)是物理意義明確，易于理解和實(shí)現(xiàn)，而相關(guān)性法的特點(diǎn)則是對不同均衡響應(yīng)模式下的轉(zhuǎn)換波長更敏感，容易得到較高的Te計(jì)算精度. 隨著衛(wèi)星重力技術(shù)的發(fā)展，相關(guān)性法逐漸成為目前估算巖石圈Te最流行的方法. 近年來，隨著數(shù)字信號處理技術(shù)的不斷進(jìn)步，估算地形和重力異常功率譜的方法也得到了長足的發(fā)展. 周期圖法、最大熵法、多窗譜分析和小波譜分析技術(shù)的應(yīng)用，使得地形及重力異常功率譜估計(jì)的準(zhǔn)確性越來越高，基于此獲得的巖石圈Te也越來越準(zhǔn)確.

盡管如此，關(guān)于巖石圈有效彈性厚度的研究仍然存在巨大發(fā)展空間. 目前，在研究巖石圈有效彈性厚度及其各向異性時(shí)，往往僅采用導(dǎo)納法或相關(guān)性法中的一種方法估算Te值及其各向異性，導(dǎo)致估算結(jié)果誤差較大，同時(shí)，不同的反演方法和模型參數(shù)的選擇，獲得的有效彈性厚度結(jié)果差異性明顯，計(jì)算結(jié)果不易解釋（Kirby, 2014; Chen et al., 2015）.Audet （2019）提出的導(dǎo)納—相關(guān)性譜分析聯(lián)合反演方法，可同時(shí)使用導(dǎo)納法和相關(guān)性法兩種方法計(jì)算Te，計(jì)算結(jié)果較為可靠，但是，該方法是基于各向同性模型開發(fā)的，目前還無法計(jì)算巖石圈Te的各向異性. 我們將來需要進(jìn)一步發(fā)展導(dǎo)納—相關(guān)性譜分析聯(lián)合反演方法，使其能夠估算巖石圈Te的各向異性.

基于各向異性模型獲得的巖石圈Te通常更為準(zhǔn)確，可利用此結(jié)果，計(jì)算地質(zhì)特征區(qū)均衡重力異常模型，分析異常特征，了解地下構(gòu)造環(huán)境，以及對比Te和F值橫向變化與地震分布、地殼厚度分布、構(gòu)造單元年齡和磁性構(gòu)造層底面深度等深部結(jié)構(gòu)參數(shù)，分析探討各自相關(guān)性，探索其地質(zhì)意義和內(nèi)在的動力學(xué)信息.

致謝

感謝審稿專家在本文寫作和修改過程中提供的意見和建議.