張雨靈

摘要：直線參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在求線段的長度、距離的和差積商、直線的方程、點(diǎn)的坐標(biāo)、弦中點(diǎn)的軌跡等問題中有著重要的應(yīng)用.本文中主要探究直線參數(shù)方程在解決直線

與二次曲線的位置關(guān)系判斷、求弦長及弦中點(diǎn)等問題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：直線參數(shù)方程;弦長;中點(diǎn);軌跡

1 引言

直線與二次曲線相交、相切、相離等位置關(guān)系的判斷以及由此引出的系列問題是高中解析幾何專題要討論的問題，這些問題是訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)的重要載體.解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題，所以在求解解析幾何相關(guān)問題的過程中往往需要大量計(jì)算，這是解析幾何問題的主要難點(diǎn)所在.而突破這一難點(diǎn)，除了需要充分挖掘利用幾何信息簡化計(jì)算外，有時(shí)還需根據(jù)具體問題合理選擇直線或曲線方程的形式.比如，利用直線方程參數(shù)形式，不僅可以在解決二次曲線和直線相交時(shí)的求點(diǎn)坐標(biāo)、距離、弦長、弦的直線方程等系列問題中簡化計(jì)算，而且還可以有效解決與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡方程，以及曲線的切線方程等問題.下面先探討直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義及其應(yīng)用.

1.1 直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義

設(shè)過點(diǎn)P0x0，y0，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為x=x0+tcos α，y=y0+tsin α（t為參數(shù)）.點(diǎn)Px，y為直線l上的任一點(diǎn)，由l的參數(shù)方程知，t2=x-x02+y-y02，即t=P0P，則t表示直線l上P0與P兩點(diǎn)間的距離.又因點(diǎn)Px，y所對應(yīng)的參數(shù)為t，當(dāng)0<α<π時(shí)，sin α>0，由t=y-y0sin α知，t與y-y0的符號相同，于是有

t=y-y0sin α>0，P在P0上方，=0，P與P0重合，<0，P在P0下方;

當(dāng)α=0，則cos α=1.由t=x-x0cos α=x-x0，則t與x-x0的符號相同，于是有

t=x-x0cos α=x-x0>0，P在P0右方，=0，P與P0重合，<0，P在P0左方.

1.2 聯(lián)立直線與二次曲線方程

設(shè)缺xy項(xiàng)的一般二次曲線Γ的方程為Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0（其中A，C不同時(shí)為0），聯(lián)立二次曲線Γ與直線l的參數(shù)方程，得

Acos2α+Csin2α·t2+（2Ax0cos α+2Cy0sin α+Dcos α+Esin α）·t+Ax20+Cy20+Dx0+Ey0+F=0（*）

不妨記

m=Acos2α+Csin2α①

n=2Ax0cos α+2Cy0sin α+Dcos α+Esin α②

w=Ax20+Cy20+Dx0+Ey0+F③

則（*）式可簡記為

mt2+nt+w=0.④

下文將運(yùn)用直線l的參數(shù)方程并結(jié)合參數(shù)t的幾何意義，解決直線l與二次曲線Γ的常見問題.

2 判斷直線l與二次曲線C的位置關(guān)系

將直線l的參數(shù)方程與二次曲線Γ聯(lián)立，整理的方程記為④，則其判別式為Δ=n2-4mw.當(dāng)Δ>0時(shí)，直線l與二次曲線Γ相交;當(dāng)Δ=0時(shí)，直線l與二次曲線Γ相切;當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與二次曲線Γ相離.

例1 判斷過點(diǎn)（1，2），傾斜角為45o的直線l與橢圓Γ：x22+y2=1的位置關(guān)系.

解：直線l的參數(shù)方程為x=1+22t，y=2+22t （t為參數(shù)），代入橢圓Γ方程，經(jīng)整理得

32t2+52t+7=0.

由Δ=8>0知，直線l與橢圓Γ相交.

3 直線與二次曲線的交點(diǎn)或弦長問題

將直線l參數(shù)方程與二次曲線Γ聯(lián)立，整理得方程④，當(dāng)Δ>0時(shí)，記兩實(shí)根分別為

t1，2=-n±n2-4mw2m.

（1）由直線參數(shù)方程中參數(shù)t的意義知，t1，t2分別為直線l與二次曲線Γ交點(diǎn)A，B所對應(yīng)的參數(shù)，由此可求出交點(diǎn)A，B 坐標(biāo)為

A（x0+t1cos α，y0+t1sin α），

B（x0+t2cos α，y0+t2sin α）.

（2）根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，可知t1=P0A（或t1=-P0A），t2=P0B（或t2=-P0B），具體取值由點(diǎn)P0與點(diǎn)A，B的相對位置決定，則P0A±P0B=t1±t2，P0A·P0B=t1t2，P0AP0B=t1t2，AB=t1-t2.

例2 已知雙曲線Γ：x22-y2=1，過左焦點(diǎn)F1作一直線l與雙曲線Γ交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB=42時(shí)，求直線l的斜率k的值.

解：由雙曲線方程，知F1-3，0.設(shè)直線l的傾斜角為θ，則l的參數(shù)方程為x=-3+tcos θ，y=tsin θ（t為參數(shù)），聯(lián)立直線l與雙曲線Γ的方程，得

cos2θ-2sin2θt2-23cos θ·t+1=0.

易知Δ=8，所以AB=t1-t2=22cos2θ-2sin2θ.又因?yàn)锳B=42，所以cos2θ-2sin2θ=12，即cos2θ=12或cos2θ=56.

所以k=±1或k=±55.

例3 已知直線l1，l2傾斜角互補(bǔ)且不為直角，l1，l2與橢圓x2a2+y2b2=1的交點(diǎn)分別為A，B與C，D，試證明A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

解：由題意知，直線l1，l2必相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)為Px0，y0，如圖1所示.設(shè)直線l1的傾斜角為α，則過點(diǎn)P的直線l1的參數(shù)方程為x=x0+tcos α，y=y0+tsin α（t為參數(shù)）.聯(lián)立直線l1的參數(shù)方程與橢圓方程，經(jīng)整理得

b2cos2α+a2sin2αt2+2（b2x0cos α+a2y0sin α）t+b2x20+a2y20-a2b2=0.

由直線l1的參數(shù)方程中t的幾何意義，則PA·PB=|t1t2|=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2α+a2sin2α.

又因?yàn)橹本€l1，l2的傾斜角互補(bǔ)，所以l2的傾斜角可設(shè)為π-α.故直線l2的參數(shù)方程為x=x0+tcosπ-α，y=y0+tsinπ-α（t為參數(shù)）.聯(lián)立直線l2的參數(shù)方程與橢圓方程，同理可得

PC·PD=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2π-α+a2sin2π-α

=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2α+a2sin2α.

所以PA·PB=PC·PD，從而A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

4 二次曲線Γ中與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題

設(shè)直線l傾斜角為α，弦AB中點(diǎn)Mx′，y′，則直線l的參數(shù)方程可設(shè)為x=x′+tcos α，y=y′+tsin α（t為參數(shù)）.聯(lián)立直線參數(shù)方程及二次曲線Γ方程可得④，記方程④的兩解分別為t1，t2，因Mx′，y′為弦AB的中點(diǎn)，由t的幾何意義知t1=-t2，即t1+t2=0，亦即中點(diǎn)弦AB中點(diǎn)Mx′，y′對應(yīng)的參數(shù)t=0.

4.1 求二次曲線Γ平行弦中點(diǎn)所滿足的軌跡方程

設(shè)弦的中點(diǎn)Mx′，y′，則由④式知t1+t2=-nm=0，即2Ax′cos α+2Cy′sin α+Dcos α+Esin α=0，亦即為中點(diǎn)Mx′，y′的軌跡方程.若平行弦的斜率k存在，則中點(diǎn)Mx′，y′的軌跡方程為2Ax′+2Cky′+D+Ek=0.

例4 已知橢圓C：x23+y2=1，求傾斜角為45o的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.

解：設(shè)平行弦的中點(diǎn)為Mx′，y′，則弦所在的直線的參數(shù)方程為x=x′+22t，y=y′+22t（t為參數(shù)）.聯(lián)立直線與橢圓C的方程，得

2t2+（2x′+32y′）t+（x′）2+3（y′）2-3=0.

因?yàn)镸x′，y′為中點(diǎn)，所以有t1+t2=0，即x′+3y′=0.所以中點(diǎn)M的軌跡方程為x+3y=0.

4.2 求二次曲線過定點(diǎn)Px0，y0的弦的中點(diǎn)的軌跡方程

設(shè)過P（x0，y0）的弦的中點(diǎn)為Mx′，y′.當(dāng)動弦的斜率k存在時(shí)，k=y′-y0x′-x0，將k代入2Ax′+2Cky′+D+Ek=0中，有

2Ax′+2Cy′-y0x′-x0y′+D+Ey′-y0x′-x0=0，整理，得

2A（x′）2+2C（y′）2-（2Ax0-D）x′-（2Cy0-E）y′-Dx0+Ey0=0①

即中點(diǎn)Mx′，y′坐標(biāo)滿足①式，即得中點(diǎn)M的軌跡方程.

當(dāng)動弦的斜率不存在時(shí)，聯(lián)立直線x=x0及二次曲線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出中點(diǎn)，通過驗(yàn)證中點(diǎn)是否滿足斜率k存在時(shí)的方程①來決定是否需要補(bǔ)充這一點(diǎn).

例5 求過定點(diǎn)0，1的直線被雙曲線x2-y24=1截得的弦中點(diǎn)的軌跡方程.

解：設(shè)弦的中點(diǎn)為Mx′，y′，則弦所在的直線l的參數(shù)方程為x=x′+tcos θ，y=y′+tsin θ（t為參數(shù)）.聯(lián)立直線l與雙曲線方程，由t1+t2=0，得

4x′cos α-y′sin α=0.

由直線l的斜率存在時(shí)，k=y′-1x′，得4x′-y′-1x′y′=0，即4（x′）2-（y′）2+y′=0;

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線無交點(diǎn).

綜上所述，弦中點(diǎn)的軌跡方程為4x2-y2+y=0（y<4或y≥1）.

5 求二次曲線Γ的切線方程

5.1 求過某定點(diǎn)Px0，y0的二次曲線Γ的切線方程

設(shè)過點(diǎn)Px0，y0的切線的參數(shù)方程為x=x0+tcos α，y=y0+tsin α（t為參數(shù)）.聯(lián)立直線與二次曲線方程，經(jīng)整理可得形如（*）式，由直線與曲線相切知Δ=0，可得一個(gè)關(guān)于傾斜角α的方程，由此可求出切線斜率，再由點(diǎn)斜式即可得切線方程.

例6 過點(diǎn)P（-1，2）作拋物線y2=2x的切線，求此切線方程.

解：設(shè)過點(diǎn)P（-1，2）的直線參數(shù)方程為x=-1+tcos α，y=2+tsin α（t為參數(shù)）.由題意知α≠90o，聯(lián)立直線與拋物線方程得sin2α·t2+4sin α-2cos αt+6=0.由Δ=0，得2sin2α+4sin αcos α-cos2α=0.又k=sin αcos α，則有2k2+4k-1=0，解得k=-2±62.所以過點(diǎn)P（-1，2）的切線方程為y-2=-2±62x+1.

5.2 求二次曲線Γ的斜率（或傾斜角）已知的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為Px0，y0，傾斜角為α的切線方程為x=x0+tcos α，y=y0+tsin α（t為參數(shù)）.聯(lián)立切線與二次曲線方程，消去x，y可得（*）式，經(jīng)整理可得④式.因切點(diǎn)Px0，y0在曲線上，有Ax20+Cy20+Dx0+Ey0+F=0，即③式為0，亦即w=0;又因直線與曲線相切，對于④式，由Δ=n2-4mw=0，得n=0，亦即②式2Ax0cos α+2Cy0sin α+Dcos α+Esin α=0.由此可解出x0，y0，再由點(diǎn)斜式，即可求出切線方程;若無解，則說明滿足條件的切線不存在.

例7 求二次曲線ax2+by2=1，（a>0，b≠0）傾斜角為α的切線方程.

解：設(shè)切點(diǎn)為Px0，y0，則切線的參數(shù)方程為x=x0+tcos α，y=y0+tsin α（t為參數(shù)）.聯(lián)立直線與二次曲線方程，消去x，y，得

acos2α+bsin2αt2+2（ax0cos α+by0sin α）·t+（ax20+by20-1）=0.

由Px0，y0在曲線上，得ax20+by20=1.又由Δ=0，得ax0cos α+by0sin α=0.

（Ⅰ）當(dāng)cos α≠0時(shí)，k=tan α，y0=-ax0bk，聯(lián)立ax20+by20=1，y0=-ax0bk，得x20=bk2aa+bk2.由題意知二次曲線ax2+by2=1（a>0，b≠0）存在傾斜角為α的切線，則bk2aa+bk2>0，解得x0=±bk2aa+bk2.又因?yàn)閥0=-ax0bk，所以y0=abkbk2aa+bk2.故所求的切線方程為y=kx±k2a+1b（k=tan α）.

（Ⅱ）當(dāng)cos α=0時(shí)，sin α=1，由ax0cos α+by0sin α=0得y0=0.又由ax20+by20=1，得x20=1a.所以切點(diǎn)為±1a，0.因此過±1a，0且垂直于x軸的切線方程為x=±1a.

6 結(jié)論

通過上文分析討論，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)用直線方程的參數(shù)形式能較好地解決直線與二次曲線位置關(guān)系的判斷、直線與二次曲線交點(diǎn)、弦長、弦中點(diǎn)、切線等系列問題，并能避免繁雜的運(yùn)算，拓寬學(xué)生視野.