王玉 孔德宏

摘要：以函數(shù)y=Asin（ωx+φ）為模型的現(xiàn)象在生活中經(jīng)常可見，例如人造衛(wèi)星、摩天輪以及物理領(lǐng)域中的振動(dòng)和波動(dòng)等，足見其重要性.本教學(xué)設(shè)計(jì)中利用GeoGebra軟件研究此函數(shù)圖象，從“形”的角度觀察、“運(yùn)動(dòng)變化”的角度分析，最后從“數(shù)”的角度進(jìn)行證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：GeoGebra;函數(shù)y=Asin（ωx+φ）;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1 教學(xué)分析

1.1 教學(xué)內(nèi)容分析

“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”選自人教版2019年A版必修一第五章第六節(jié).在上一課時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了筒車建模的過程，了解了每個(gè)參數(shù)的實(shí)際意義，為了研究更多做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可以通過研究函數(shù)圖象進(jìn)而研究其函數(shù)的性質(zhì)，因此本節(jié)課重點(diǎn)是研究其函數(shù)的圖象.根據(jù)從具體到抽象的原則，通過給參數(shù)賦值，從具體函數(shù)的討論開始，把從函數(shù)y=sin x的圖象到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的變換過程分解為：先分別考察參數(shù)φ，ω，A對(duì)函數(shù)圖象的影響，最后再對(duì)函數(shù)進(jìn)行整合考察.教材也借助了具體函數(shù)的變化，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的化歸數(shù)學(xué)思想.

1.2 學(xué)情分析

在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正、余弦函數(shù)的圖象及其相關(guān)性質(zhì)，具備一定的基礎(chǔ)，并且在之前的函數(shù)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)基本掌握了一般函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換等比較簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象變換方法，但對(duì)于伸縮變換還是初次明確提出并加以研究.本節(jié)課筆者將結(jié)合信息技術(shù)來進(jìn)行教學(xué)，從認(rèn)知心理上來講，學(xué)生對(duì)通過GeoGebra動(dòng)態(tài)展示函數(shù)圖象是感興趣的.

1.3 教學(xué)目標(biāo)分析

（1）掌握參數(shù)φ，ω，A對(duì)函數(shù)圖象的影響，理解參數(shù)φ，ω，A在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的實(shí)際意義.

（2）通過利用GeoGebra探索函數(shù)y=sinx到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、探索問題的能力以及直觀想象的能力，在此過程中領(lǐng)會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法，從而達(dá)到從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍.

（3）本節(jié)課通過信息技術(shù)調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性并滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生樹立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物.

2 教學(xué)過程

2.1 結(jié)合軟件，探索新知

問題1 為了研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)，需要研究函數(shù)的圖象.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）與我們所學(xué)的哪個(gè)函數(shù)相似？

問題2 參數(shù)影響著函數(shù)圖象的變化，如何對(duì)其進(jìn)行研究？

問題3 你會(huì)先研究哪個(gè)參數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察思考，學(xué)生能夠得出當(dāng)A=1，ω=1，φ=0時(shí)即函數(shù)y=sinx，則函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象可能會(huì)與函數(shù)y=sin x相似，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生能夠提出需要通過限制變量的方法對(duì)其進(jìn)行研究，先研究y=sin（x+φ），y=sin ωx，y=Asin x，再整合研究y=Asin（ωx+φ）.學(xué)生學(xué)過了圖象的平移變換，因此提出先研究參數(shù)φ.

探究1：探索φ對(duì)y=sin（x+φ）圖象的影響.

師：通過A=1，ω=1探索φ對(duì)y=sin（x+φ）圖象的影響，回顧φ代表著動(dòng)點(diǎn)的起始位置，規(guī)定動(dòng)點(diǎn)在單位圓O1上以單位角速度按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng).引導(dǎo)學(xué)生利用GeoGebra進(jìn)行操作探索實(shí)驗(yàn)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從Q1開始運(yùn)動(dòng)一周，得到函數(shù)y=sin x（如圖1）;當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從Q2開始運(yùn)動(dòng)一周，得到函數(shù)y=sinx+π6（如圖1）;

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從Q3開始運(yùn)動(dòng)一周，得到函數(shù)y=sinx-π6 （如圖1）.

問題4 若動(dòng)點(diǎn)Q1，Q2都運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，為何函數(shù)y=sinx+π6的圖象相較于y=sin x的圖象向左平移了π6個(gè)單位？若動(dòng)點(diǎn)Q1，Q3都運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，為何y=sinx-π6的圖象相較于y=sin x的圖象向右平移了π6個(gè)單位？

設(shè)計(jì)意圖：利用GeoGebra進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并提出問題4，意在讓學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變換的角度理解函數(shù)圖象的變化：當(dāng)角速度為1時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q1，Q2，Q3同時(shí)運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)P，若從Q1到P需要x s，則從Q2到P需要x-π6s，于是圖象向左平移，而從Q3到P則需要x+π6s，因此圖象向右平移.

問題5 你能從數(shù)學(xué)邏輯推理角度進(jìn)行證明嗎？需要證明什么呢？

教師引導(dǎo)：圖象變換實(shí)際上是圖象上的點(diǎn)進(jìn)行變換，因此已知函數(shù)y=sinx+π6，只需證明函數(shù)y=sin x上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都向左平移π6個(gè)單位.

學(xué)生證明過程：設(shè)點(diǎn)P0（x，y）為函數(shù)y=sin x圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P1（x1，y）為函數(shù)y=sinx+π6圖象上任意一點(diǎn)，則由sin x=sinx1+π6，可解得P1x-π6，y得證.

學(xué)生通過小組合作得出數(shù)學(xué)證明后的結(jié)論：一般地，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)位置Q所對(duì)應(yīng)的角為φ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y=sin（x+φ）（φ≠0），把正弦曲線上的所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ>0時(shí)）或向右（當(dāng)φ<0時(shí)）平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y=sin（x+φ）的圖象.

探究2：類比探究分別得出ω，A對(duì)函數(shù)圖象的影響.

類比探究的方法：通過GeoGebra實(shí)驗(yàn)觀察，從運(yùn)動(dòng)變化角度進(jìn)行理解，再通過數(shù)學(xué)證明.

教師將學(xué)生分為兩組，一組利用GeoGebra進(jìn)行操作、觀察，再從運(yùn)動(dòng)變化角度進(jìn)行理解，另一組通過數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行證明.最后學(xué)生展示得出的結(jié)論：ω的影響是把y=sin x圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω>1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)0<ω<1時(shí)）到原來的1ω倍（縱坐標(biāo)不變），就得到函數(shù)y=sin ωx的圖象;A的影響是把y=sin x圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A>1時(shí)）或縮短（當(dāng)0

設(shè)計(jì)意圖：類比探究是一種重要的數(shù)學(xué)思想和方法.在探究φ的過程中學(xué)生已經(jīng)掌握基本的研究思路和方法，因此可以采用類比的方法對(duì)ω，A進(jìn)行探究.學(xué)生是課堂的主體，將任務(wù)交給學(xué)生能夠激發(fā)學(xué)生的興趣并且有利于發(fā)展其自主思考、團(tuán)結(jié)協(xié)作和表達(dá)交流的能力.

探究3：整合研究，深化理解.

問題6 你能總結(jié)從正弦函數(shù)圖象通過圖象變換得到y(tǒng)=Asinωx+φ（A>0，ω>0）圖象的過程與方法嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生探究：三個(gè)參數(shù)影響函數(shù)圖象，因此就有6種變換的方式，需確定參數(shù)變化順序后進(jìn)行研究.通過先平移后伸縮即按φ，ω，A的順序變化，則y=sin x的圖象向左（或右）平移|φ|個(gè)單位得到y(tǒng)=sin （x+φ），再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω倍得到函數(shù)y=sinωx+φ，最后將各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=Asinωx+φ的圖象.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)函數(shù)進(jìn)行整合研究，可以培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)能力和思維能力;同時(shí)，讓學(xué)生理解只要將函數(shù)y=Asinωx+φ的性質(zhì)研究清楚，就能夠把握這類事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

2.2 空出留白，深度學(xué)習(xí)

在研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象時(shí)，為了方便進(jìn)行研究選取的是A>0，ω>0，那么這兩個(gè)參數(shù)只能取A>0，ω>0嗎？如果取A<0，ω<0時(shí)圖象會(huì)如何？

在最后進(jìn)行整合時(shí)是通過變化φ，ω，A這樣的順序?qū)⒄仪€變化為函數(shù)y=Asin（ωx+φ），那如果不按照這樣的變化順序呢？例如通過變化ω，φ，A這樣的順序會(huì)是怎樣的情況呢？

設(shè)計(jì)意圖：這兩個(gè)問題留給學(xué)生課后進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力;同時(shí)，讓學(xué)生明白函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的參數(shù)可以取任意實(shí)數(shù)，只是在現(xiàn)實(shí)世界中大多數(shù)事物都是在A>0，ω>0的取值范圍內(nèi).

3 教學(xué)反思

本節(jié)課的研究思路：利用GeoGebra研究函數(shù)的圖象，通過“形”觀察、“運(yùn)動(dòng)變化”解釋、“數(shù)學(xué)”證明對(duì)參數(shù)如何影響函數(shù)圖象進(jìn)行探究.在此過程中，利用軟件GeoGebra進(jìn)行實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生能夠更加直觀地進(jìn)行觀察，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力;利用類比探究ω，A對(duì)函數(shù)圖象的影響，有助于培養(yǎng)學(xué)生的類比思想、團(tuán)結(jié)協(xié)作能力和溝通表達(dá)交流的能力.