郝宇雁 郜舒竹

【摘? ?要】一直以來(lái)，小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)常常“重算輕看”，輕視學(xué)生對(duì)圖形的觀(guān)察和圖形間關(guān)系的整體感知，導(dǎo)致學(xué)生視覺(jué)感知能力和視覺(jué)推理能力的欠缺。因此，需要以運(yùn)動(dòng)的眼光認(rèn)識(shí)幾何圖形，為學(xué)生觀(guān)察物體提供新的視角，初步發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力和創(chuàng)新意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)動(dòng);眼光;平行四邊形;幾何圖形

長(zhǎng)期以來(lái)，小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)“重算輕看”，重視公式的推理、計(jì)算和程序化的操作，而輕視對(duì)圖形的觀(guān)察和圖形間關(guān)系的整體感知。在認(rèn)識(shí)基本圖形的教學(xué)上更是“輕看”，以“認(rèn)識(shí)平行四邊形”為例，不少教師僅通過(guò)呈現(xiàn)平行四邊形的圖片、學(xué)生猜想平行四邊形的特征、學(xué)生驗(yàn)證平行四邊形這樣的程序來(lái)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)。[1]這樣的教學(xué)，看似創(chuàng)設(shè)了寬松、和諧的氛圍，發(fā)展了學(xué)生的自主探究能力，實(shí)則只是程序性地強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的記憶，而缺少視覺(jué)感知（Visual Perception）和視覺(jué)推理（Visual Reasoning）活動(dòng)。顯然，這種“重算輕看”的教學(xué)是亟須變革的。在此，借“用運(yùn)動(dòng)的眼光認(rèn)識(shí)平行四邊形”來(lái)說(shuō)明“運(yùn)動(dòng)”的眼光對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何圖形的重要性。

一、“運(yùn)動(dòng)”（Motion）

《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》（第7版）中對(duì)“運(yùn)動(dòng)”一詞的解釋是“物體的位置不斷變化的現(xiàn)象。通常指一個(gè)物體和其他物體之間相對(duì)位置的變化”?！杜＝蛴⒄Z(yǔ)詞典》中將“運(yùn)動(dòng)”看作是某物移動(dòng)的行為、過(guò)程或方式。而哲學(xué)范疇中的“運(yùn)動(dòng)”是指物質(zhì)的存在形式及其根本屬性[2]，它包括宇宙間所發(fā)生的一切變化和過(guò)程，從簡(jiǎn)單的位置運(yùn)動(dòng)到人類(lèi)思維。[3]

關(guān)于“運(yùn)動(dòng)”，美國(guó)認(rèn)知語(yǔ)言學(xué)教授倫納德·泰爾米（Leonard Talmy）在20世紀(jì)80年代最早提出“虛擬運(yùn)動(dòng)”（Fictive Motion）[4]一詞，其最大的特點(diǎn)就是用動(dòng)態(tài)的表達(dá)即運(yùn)動(dòng)動(dòng)詞來(lái)描述靜態(tài)的場(chǎng)景。虛擬運(yùn)動(dòng)是一種心理模擬。[5]在這種情況下，輸入大腦中的概念本沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，但這些概念被整合成了虛擬運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景。[6]比如在“長(zhǎng)城從北京一直蜿蜒到嘉峪關(guān)”這句話(huà)中，長(zhǎng)城本是靜態(tài)的，但經(jīng)過(guò)大腦的整合讓我們對(duì)長(zhǎng)城的位置以及它和其他省市的空間關(guān)系有了基本的了解，這就是使用“運(yùn)動(dòng)”來(lái)呈現(xiàn)靜態(tài)的場(chǎng)景?？梢?jiàn)，“運(yùn)動(dòng)”的內(nèi)涵是如此廣泛和深刻：不僅包括實(shí)體的移動(dòng)，而且涵蓋了虛擬的運(yùn)動(dòng)，甚至囊括了人類(lèi)思維的發(fā)展。

運(yùn)動(dòng)變成幾何中的基本概念要追溯到菲利克斯·克萊因（Felix Klein，1849—1925）在埃爾朗根大學(xué)（University of Erlangen）的演講[7]，他改變了人們用靜止的觀(guān)點(diǎn)研究幾何的傳統(tǒng)，將運(yùn)動(dòng)的眼光發(fā)展到了幾何領(lǐng)域（Geometry），他提出運(yùn)動(dòng)應(yīng)該成為人們研究不同空間之間關(guān)系的一種思維方式。小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及“運(yùn)動(dòng)”的主要是“圖形與幾何”領(lǐng)域中的“圖形的運(yùn)動(dòng)”，可以理解為幾何圖形位置發(fā)生變化的行為、過(guò)程或方式。在變化的過(guò)程中，圖形的形狀和大小始終保持不變，且平面或空間中的所有點(diǎn)保持一對(duì)一相關(guān)。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“圖形的運(yùn)動(dòng)”包括的內(nèi)容有平移（Translation）、旋轉(zhuǎn)（Rotation）、軸對(duì)稱(chēng)（Symmetry/Reflection）。平移即圖形中的所有點(diǎn)在平面上沿同一方向移動(dòng)同樣的距離;旋轉(zhuǎn)即一個(gè)圖形繞給定的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)給定的角度;軸對(duì)稱(chēng)即一條線(xiàn)像鏡子一樣反射一個(gè)圖形?！皥D形的運(yùn)動(dòng)”不僅是一種實(shí)體的運(yùn)動(dòng)，而且是一種虛擬運(yùn)動(dòng)。如果關(guān)注運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，圖形的位置每時(shí)每刻都在發(fā)生變化，這便是實(shí)體的運(yùn)動(dòng);如果關(guān)注運(yùn)動(dòng)后的狀態(tài)，借運(yùn)動(dòng)來(lái)呈現(xiàn)靜止的狀態(tài)，這就可以理解為虛擬運(yùn)動(dòng)。因此，“運(yùn)動(dòng)”不僅是一種行動(dòng)方式，更應(yīng)當(dāng)成為一種眼光，幫助兒童認(rèn)識(shí)基本幾何圖形。

二、運(yùn)動(dòng)眼光下的平行四邊形

平行四邊形（Parallelogram），用“平行”一詞來(lái)限定“四邊形”，使“平行四邊形”成為一類(lèi)特殊的四邊形。[8]以靜止的眼光看，一個(gè)平行四邊形是由四條直線(xiàn)段圍成的四邊形，并且兩組對(duì)邊分別平行且相等，兩組對(duì)角分別相等。以運(yùn)動(dòng)的眼光看，一個(gè)平行四邊形可以由平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)等不同的運(yùn)動(dòng)方式得到。下面介紹幾種以運(yùn)動(dòng)的眼光認(rèn)識(shí)平行四邊形的方法。

（一）線(xiàn)段的平移

以運(yùn)動(dòng)的眼光來(lái)看，圖1中的平行四邊形ABCD可以看作是一條運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)段EF從AB位置平移到CD位置留下的軌跡。平移的方向不是沿著垂直于線(xiàn)段EF的方向，而是沿著與線(xiàn)段EF形成一定角度的方向（圖1中線(xiàn)段AD或者線(xiàn)段BC的方向）。在平移的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)著的“線(xiàn)”留下的軌跡是“面”，概括來(lái)說(shuō)就是“線(xiàn)動(dòng)成面”。[9]

（二）三角形繞一邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

如圖2將三角形ABC繞BC邊的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后得到的三角形和原三角形共同組成平行四邊形AC'A'B'。原B點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成B'點(diǎn)且與原C點(diǎn)重合，原C點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成C'點(diǎn)且與原B點(diǎn)重合，原A點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成A'點(diǎn)。

由此可見(jiàn)，將任意一個(gè)三角形繞其一邊的中點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)可以得到相應(yīng)的平行四邊形，這個(gè)過(guò)程也可以看作是由兩個(gè)完全一樣的三角形拼成了一個(gè)平行四邊形。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，教師教學(xué)《三角形的面積》時(shí)常說(shuō)的一句話(huà)就是“兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形”。這是借助了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將未知的三角形轉(zhuǎn)化為已知的平行四邊形，進(jìn)而推導(dǎo)其面積的計(jì)算方法。

（三）三角形兩邊取中點(diǎn)后繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

以運(yùn)動(dòng)的眼光看，平行四邊形還可以看作是將三角形兩邊取中點(diǎn)后繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得到的。[10]如圖3，在三角形ABC的AC邊和BC邊上分別取中點(diǎn)D和E，并連接DE（此時(shí)DE邊平行于三角形的底邊AB且長(zhǎng)度為AB邊的一半），便得到了小三角形CDE。將小三角形CDE繞E點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后，原C點(diǎn)變成C'點(diǎn)且與原B點(diǎn)重合，原D點(diǎn)變成D'點(diǎn)。由旋轉(zhuǎn)得到的三角形C'D'E與原梯形ABED共同組成平行四邊形AC'D'D。同理，也可以將小三角形CDE繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后（原C點(diǎn)變成C'點(diǎn)且與原A點(diǎn)重合，原E點(diǎn)變成E'點(diǎn)）和原梯形ABED共同組成平行四邊形BC'E'E（如圖4）。

（四）直角三角形的軸對(duì)稱(chēng)變換

如圖5，直角三角形ABC經(jīng)過(guò)兩次軸對(duì)稱(chēng)變換可得到平行四邊形AB'A'B。具體操作如下：將直角三角形ABC以短直角邊BC所在的直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行第一次軸對(duì)稱(chēng)變換，原A點(diǎn)經(jīng)軸對(duì)稱(chēng)后得到A'點(diǎn)，原三角形ABC經(jīng)軸對(duì)稱(chēng)變換后得到三角形AA'B（其中點(diǎn)A、C、A'經(jīng)軸對(duì)稱(chēng)變換后在一條直線(xiàn)上）。在此基礎(chǔ)上，將三角形AA'B以AA'邊所在的直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行第二次軸對(duì)稱(chēng)變換，之后形成平行四邊形AB'A'B。

（五）凸四邊形中的平行四邊形

如圖6，有凸四邊形ABCD，在其四條邊AB、BC、CD、DA上分別取中點(diǎn)E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE四邊（此時(shí)邊EH、FG均平行于BD邊，且長(zhǎng)度為BD邊的一半;邊EF、HG均平行于A(yíng)C邊，且長(zhǎng)度為AC邊的一半），可得到平行四邊形EFGH。這是在凸四邊形中繪制平行四邊形的第一種方法。

除此之外，還可以借助旋轉(zhuǎn)、平移等變換將凸四邊形ABCD轉(zhuǎn)化成平行四邊形EFF'E'。具體操作如圖7所示：在上述操作的基礎(chǔ)上，將三角形AEH繞H點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到三角形A'E'H（原A點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成A'點(diǎn)且與原D點(diǎn)重合，原E點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成E'點(diǎn)）;將三角形CFG繞G點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到三角形C'F'G（原C點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成C'點(diǎn)且與原D點(diǎn)重合，原F點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)變成F'點(diǎn)）;將三角形EBF沿線(xiàn)段BD的方向平移線(xiàn)段BD的長(zhǎng)度得到三角形E'B'F'（原E點(diǎn)經(jīng)平移變成E'點(diǎn)，原F點(diǎn)經(jīng)平移變成F'點(diǎn)，原B點(diǎn)經(jīng)平移變成B'點(diǎn)且與原D點(diǎn)重合）;變換后的三個(gè)三角形和原三角形HDG組成平行四邊形HGF'E'，并因此得到新的平行四邊形EFF'E'。這是將凸四邊形分割后的各部分進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)而得到平行四邊形的第二種方法。

除以上方法外，還可以將不同的圖形進(jìn)行不同的運(yùn)動(dòng)而得到平行四邊形。運(yùn)動(dòng)的眼光是一個(gè)全新的視角，用運(yùn)動(dòng)的眼光重新審視生活中司空見(jiàn)慣的圖形，這是一種突破，也是一種提升，有助于整體感知圖形間的關(guān)系，發(fā)展初步的空間能力。

三、運(yùn)動(dòng)的眼光對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)價(jià)值

將數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)落實(shí)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要求學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼睛看，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維想，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言說(shuō)。[11]運(yùn)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)是普遍的，它滲透到人類(lèi)生活的各個(gè)方面，與運(yùn)動(dòng)相關(guān)的語(yǔ)言可以滲透到語(yǔ)言表達(dá)中沒(méi)有真實(shí)運(yùn)動(dòng)的領(lǐng)域。[12]以運(yùn)動(dòng)的眼光觀(guān)察物體正是培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼睛看世界的能力，學(xué)生能夠從圖形與圖形的關(guān)系中抽象出概念與概念的關(guān)系，把握概念的關(guān)鍵特征。認(rèn)識(shí)基本圖形的教學(xué)正是要讓學(xué)生掌握概念的關(guān)鍵特征[13]，通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)體會(huì)不同圖形、不同概念之間的關(guān)系，進(jìn)而把握每一種圖形的關(guān)鍵特征。

以運(yùn)動(dòng)的眼光認(rèn)識(shí)基本圖形為學(xué)生觀(guān)察物體提供了新的視角，并且發(fā)展了學(xué)生初步的空間觀(guān)念。點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)（如流星劃過(guò)夜空留下的軌跡）、線(xiàn)動(dòng)成面（如汽車(chē)的雨刷在擺動(dòng)時(shí)形成的圖形）、面動(dòng)成體（如以長(zhǎng)方形紙片的一邊為軸旋轉(zhuǎn)后得到的圓柱體）背后都蘊(yùn)藏著常見(jiàn)的生活現(xiàn)象。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的眼光審視日常生活，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升學(xué)生的空間觀(guān)念，空間觀(guān)念的提升能為初中乃至以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

不僅如此，以運(yùn)動(dòng)的眼光認(rèn)識(shí)基本圖形還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力和創(chuàng)新意識(shí)。在以運(yùn)動(dòng)的眼光審視世界的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形運(yùn)動(dòng)形成的圖案之美，發(fā)現(xiàn)圖形運(yùn)動(dòng)和藝術(shù)與生活的聯(lián)系，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生感受美、鑒賞美、創(chuàng)造美的能力。早在20世紀(jì)初，荷蘭圖形藝術(shù)家莫里茨·科內(nèi)利斯·埃舍爾（Maurits Cornelis Escher，1898—1972）就受數(shù)學(xué)的啟發(fā)進(jìn)行藝術(shù)創(chuàng)作，他借助圖形的運(yùn)動(dòng)創(chuàng)作了許多精美絕倫的作品。[14]在埃舍爾“對(duì)平面的規(guī)則劃分”的創(chuàng)作方式中大量使用了平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)等變換，這也讓他的作品極具數(shù)學(xué)的圖形之美。同樣如此，學(xué)生也可以在掌握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行藝術(shù)創(chuàng)作，這充分體現(xiàn)了馬克思主義關(guān)于人的全面發(fā)展學(xué)說(shuō)的相關(guān)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)智育和美育的和諧統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)教學(xué)的培養(yǎng)目標(biāo)之一就是要讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼睛看，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光?！斑\(yùn)動(dòng)”作為數(shù)學(xué)眼光的一種，它不是一種現(xiàn)象，而是一種方法，一種工具，一種思維，一種模擬現(xiàn)實(shí)世界的模型，它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)世界的重要抓手，對(duì)人的視覺(jué)感知能力和視覺(jué)推理能力的發(fā)展起到巨大作用;它理應(yīng)受到重視并被廣泛應(yīng)用。

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）