杜曉英

(晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030619)

ax+by=cz,x,y,z∈

(1)

是一類基本而又重要的指數(shù)Diophantine方程[1].由文獻(xiàn)[2-4],對于方程(1)有以下猜想.

猜想方程(1)至多有1組解(x,y,z)適合{x,y,z}>1.

上述猜想稱為Terai猜想，這是一個迄今尚未解決的數(shù)論問題. 設(shè)r是大于1 的正奇數(shù),m是正偶數(shù).目前有關(guān)Terai猜想的研究工作大多集中在a,b和c適合

(2)

時的情況[5]. 文獻(xiàn)[6]證明了:當(dāng)a,b和c適合(2)時, 如果r≡1(mod4)且b是奇素數(shù),則方程(1)僅有解(x,y,z)=(2,2,r)可使x和y都是偶數(shù).

已知當(dāng)a,b,c,r適合(2)時,必有

a2+b2=cr,a,b,c,r∈,gcd(a,b)=1,2|a,r>1,2r.

(3)

由于通常的本原商高數(shù)組a,b,c滿足a2+b2=c2，所以適合(3)的正整數(shù)組(a,b,c,r)稱為廣義商高數(shù)組.顯然,除了適合(2)的(a,b,c,r)以外,存在更多其他的廣義商高數(shù)組[7].論文根據(jù)有關(guān)Lucas數(shù)本原素因數(shù)存在性的結(jié)果,將文獻(xiàn)[6]的上述結(jié)果推廣到了一般的廣義商高數(shù)的情況.

定理當(dāng)a,b,c,r適合(3)時,如果b是奇素數(shù),則方程(1)僅有解(x,y,z)=(2,2,r) 可使x和y都是偶數(shù).

注運(yùn)用論文方法還可以證明: 若將上述定理中的條件“b是奇素數(shù)”改為“b是奇素數(shù)方冪”, 則該定理仍成立. 這一過程不另贅述.

1 若干引理

引理1[7]設(shè)n是大于1的正奇數(shù)，方程

X2+Y2=Zn,X,Y,Z∈,gcd(X,Y)=1,2|X

(4)

的解X,Y,Z都可表示成

Z=f2+g2,f,g∈,

(5)

引理2方程

X2+1=2Zn,X,Z,n∈,Z>1,n>2

(6)

僅有解(X,Z,n)=(239,13,4).

證明設(shè)(X,Z,n)是方程(6)的一組解. 因?yàn)閺奈墨I(xiàn)[8]可知n不可能有奇素因數(shù),所以n必為2的方冪. 又因n>2, 故有4|n.因此由(6)可得

(7)

于是,根據(jù)文獻(xiàn)[9]及(7)可知方程(6)僅有解(X,Z,n)=(239,13,4).證畢.

設(shè)α和β是代數(shù)整數(shù). 如果α+β和αβ是互素的非零整數(shù), 而且α/β不是單位根,則稱數(shù)組(α,β)是一個Lucas組.A=α+β,C=αβ且B=A2-4C,有

(8)

數(shù)組(A,B)稱為Lucas組(α,β)的參數(shù).如果兩個Lucas組(α1,β1)和(α2,β2)適合α1/α2=β1/β2=±1,則稱它們是等價的.顯然, 當(dāng)Lucas組(α1,β1)與(α2,β2)等價時,它們的參數(shù)(A1,B1)和(A2,B2)滿足A2=±A1，B2=B1; 反之亦然. 對于給定的Lucas組(α,β)，有

(9)

被稱為相應(yīng)的Lucas數(shù). 已知Lucas都是整數(shù), 而且當(dāng)k>0時,Lk(α,β)≠0.當(dāng)Lucas組(α1,β1)與(α2,β2)等價時, 對于任何非負(fù)整數(shù)k，都有|Lk(α1,β1)|=|Lk(α2,β2)|.設(shè)p是素數(shù),當(dāng)k>1時, 如果p滿足

(10)

其中：(A,B)是Lucas組(α,β)的參數(shù),則稱p是Lucas數(shù)Lk(α,β)的本原素因數(shù).

引理3[10]當(dāng)4

(i)k=5,(A,B)=(1,5),(1,-7),(2,-40),(1,-11),(1,-15),(12,-76),(12,-1 364).

(ii)k=7,(A,B)=(1,-7),(1,-19).

(iii)k=8,(A,B)=(2,-24),(1,-7).

(iv)k=10,(A,B)=(2,-8),(5,-3),(5,-47).

(v)k=12,(A,B)=(1,5),(1,-7),(1,-11),(2,-56),(1,-15),(1,-19).

(vi)k∈{13,18,30},(A,B)=(1,-7).

證明參見文獻(xiàn)[10]，此略.

引理4[11]當(dāng)k>30,時, Lucas數(shù)Lk(α,β)都有本原素因數(shù).

2 定理的證明

設(shè)a,b,c,r適合(3)且b是奇素數(shù), 又設(shè)(x,y,z)是方程(1)的一組適合(x,y,z)≠(2,2,r)且x和y都是偶數(shù)的解.由文獻(xiàn)[12-13]可知該定理在r=3時成立, 所以只需討論

r≥5

(11)

時的情況. 又因(x,y,z)≠(2,2,r)且x和y都是偶數(shù),故由(1)和(3)可知max{x,y}>2，以及

z>r.

(12)

如果2|z,則因2|x且b是奇素數(shù), 所以由(1)可知

(13)

由(13)可得

(14)

以及

(15)

(16)

即b=239,c=13,y=2以及z=8;又由(15)可得a=28 560以及x=2. 由此可知此時的a,b,c滿足a2+b2=c8,與(3)不符,故不可能. 因此該解滿足

(17)

由(1)和(17)可知方程(4)有可使n是大于1的正奇數(shù)的解

(18)

因此, 根據(jù)引理1, 由(18)可得

c=f2+g2,f,g∈,gcd(f,g)=1,2|f，

(19)

以及

(20)

由(20)可知

(21)

因?yàn)閎是奇素數(shù), 所以由(21)可得

g=bs,s∈,

(22)

設(shè)

(23)

由(19)和(23)可知α+β=2f與αβ=c是互素的正整數(shù)，又因α/β適合

(24)

其中：c>1且gcd(c,2(f2-g2))=1,知α/β不是單位根，所以(α,β)是參數(shù)為

(A,B)=(2f,-4g2)

(25)

的Lucas組. 對于非負(fù)整數(shù)k, 設(shè)Lk(α,β)是相應(yīng)的Lucas數(shù)，由(20)可知

(26)

所以由(9),(20),(23)，(26)可得

(27)

當(dāng)(22)中的s>0時, 由(22),(25)和(27)可知Lucas數(shù)Lk(α,β)沒有本原素因數(shù). 因此,根據(jù)引理4可知z≤30.然而, 由(11)和(12)可知z≥5,通過比較(25)和引理3列出的參數(shù)(A,B)可知這是不可能的,故必有s=0. 由(22)可知g=1,并且由(23)和(27)可得

(28)

其中

(29)

同時,由(3)可知(X,Y,Z,n)=(a,b,c,r)也是方程(4)的一組可使n是大于1的正奇數(shù)的解，因此, 運(yùn)用相同的方法可得

|Lr(α,β)|=b,

(30)

其中:α和β也適合(29). 于是, 由(12),(28)，(30)可知Lucas數(shù)Lz(α,β)沒有本原素因數(shù)，然而此前已經(jīng)證明這是不可能的, 故定理證畢.