山東 武守維

古人云：?jiǎn)柷堑们迦缭S，唯有源頭活水來(lái).無(wú)論哪年的高考真題都不外乎取材于課外，得益于課內(nèi)，重視對(duì)教材的挖掘，以不變應(yīng)萬(wàn)變，相信在考場(chǎng)中一定會(huì)得心應(yīng)手.下面以一道課本習(xí)題為例感悟教材是知識(shí)的棲息，是思維的放生園！

試題呈現(xiàn)：

(2019年人教A版選擇性必修第三冊(cè)復(fù)習(xí)參考題7第10題)甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，求n次傳球后球在甲手中的概率.

選題原因：

主要源于對(duì)數(shù)列的考查方式和方法的思考，2019年之前全國(guó)卷對(duì)數(shù)列解答題的考查不怎么熱愛(ài)，但2019年之后有所增加，考查形式主要有：?jiǎn)渭償?shù)列的考查，數(shù)列和其他知識(shí)點(diǎn)(概率、函數(shù)、不等式等)交叉考查，構(gòu)建數(shù)列模型考查等；新課標(biāo)非常重視建模的考查，這道題可以說(shuō)是概率模型，也可以說(shuō)是數(shù)列模型，也可以說(shuō)是概率數(shù)列模型，這類模型應(yīng)引起教師及學(xué)生的思考和重視.

解法一(利用概率計(jì)算公式)：設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為pn，n=1,2,3，…,

當(dāng)n=1時(shí)，甲傳給乙或丙，所以p1=0,

pn+1=P(An+1)

【新視角】從創(chuàng)新的角度看，知識(shí)的交融是一個(gè)較容易實(shí)現(xiàn)的方式；新穎的背景又是創(chuàng)新的一個(gè)著力點(diǎn)，我想這應(yīng)該是命題專家比較青睞的地方.新教材對(duì)于建立模型解決問(wèn)題是非常推崇的，這也是我們應(yīng)該研究的地方.

【變式】甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，求n次傳球后球在乙手中的概率.

解法一(利用概率計(jì)算公式)：設(shè)n次傳球后球在乙手中的概率為pn，n=1,2,3,…,

pn+1=P(An+1)

【推廣】m(m≥2且m∈N*)個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外(m-1)個(gè)人中的任何一人，求n次傳球后球在甲手中的概率.

解法一(利用概率計(jì)算公式)：設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為pn，n=1,2,3,…,

當(dāng)n=1時(shí)，甲傳給乙或丙，所以p1=0，

pn+1=P(An+1)

【鏈接高考】(2019·全國(guó)卷Ⅰ理·21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假設(shè)α=0.5，β=0.8．

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ⅱ)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．

解析：(1)X的所有可能取值為-1,0,1.

P(X=-1)=(1-α)β，

P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)，

P(X=1)=α(1-β)，

所以X的分布列為

X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

(2)(ⅰ)證明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1,2,3,…7)，故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1)，

即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因?yàn)閜1-p0=p1≠0，所以數(shù)列{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是首項(xiàng)為p1,公比為4的等比數(shù)列．

(ⅱ)由(ⅰ)可得

考點(diǎn)分析：

概率分布列，概率的意義，等比數(shù)列的定義(證明)，等比數(shù)列求和，解方程等.

題目背景：

以概率為背景構(gòu)建數(shù)列，通過(guò)數(shù)列的求解，解決概率問(wèn)題.

學(xué)生視角:

題目太長(zhǎng)，心煩意亂，容易放棄；背景新穎，數(shù)列和概率結(jié)合，并且概率壓軸，心理落差太大，導(dǎo)致崩潰.

教師視角:

題目不復(fù)雜，只要心平氣和、按部就班地去做，應(yīng)該能做出來(lái)，就是學(xué)生可能會(huì)有很多不理解的地方，比如空降的遞推關(guān)系怎么來(lái)的，為什么求p4，pi等一系列疑問(wèn)無(wú)法解答.

專家視角:

從“治療疾病”的問(wèn)題情境出發(fā)，不僅體現(xiàn)了“為人民服務(wù)”的初心，而且是與學(xué)生息息相關(guān)的真情境；強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與生物、化學(xué)、語(yǔ)文等學(xué)科的綜合應(yīng)用；學(xué)生需要通過(guò)閱讀與理解，把實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行高度抽象，建立概率模型，落實(shí)了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，而把概率和數(shù)列放在一起考，又突出了對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的考查.

筆者體會(huì)：