摘? 要：從學生對圓錐曲線離心率分類定義產生的疑問入手，分析圓錐曲線離心率的教學情況和教學價值，探索促進學生理解圓錐曲線離心率數(shù)學本質一致性的途徑：一是利用圓錐曲線統(tǒng)一定義消除圓錐曲線離心率分類定義的差異;二是以直線的斜率作為新的認知附著點;三是在Dandelin模型中進行探源;四是創(chuàng)設情境理解圓錐曲線圖形上的統(tǒng)一性. 對圓錐曲線離心率及分類定義的概念教學進行反思.

關鍵詞：離心率;一致性;分類定義

一、問題的提出

在一次教學研討中，筆者聽了一節(jié)“拋物線的簡單幾何性質”公開課. 在執(zhí)教教師給出拋物線離心率的定義后，學生發(fā)現(xiàn)其與橢圓和雙曲線的離心率定義不一致并提出疑問. 筆者認為，學生能夠發(fā)現(xiàn)問題并提出問題的表現(xiàn)值得稱贊，但是教師也應該反思圓錐曲線離心率的教學情況，分析圓錐曲線離心率分類定義的教學價值，探尋促進學生理解圓錐曲線離心率數(shù)學本質一致性的途徑. 如下分析和實踐與大家交流.

二、問題的分析

1. 從提出的疑問分析教師教學和學生理解情況

首先，學生能夠提出疑問，體現(xiàn)了學生的認知發(fā)展，表明其形成了積極的學習心向. 疑問本身表明學生已經發(fā)現(xiàn)三類圓錐曲線的離心率定義不一致，試圖用統(tǒng)一的方式來同化離心率的定義. 這是“在關聯(lián)的情境中，發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題，用數(shù)學語言予以表達”. 這種整體思維的意識和探尋圓錐曲線離心率內在一致性的學習心向，對后續(xù)學習十分重要.

其次，在教學過程中，執(zhí)教教師沒有發(fā)揮例題和習題的鋪墊拓展功能. 在人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）中，關于橢圓的簡單幾何性質和雙曲線的簡單幾何性質，都給出了求“動點到定點的距離與到定直線的距離的比值等于常數(shù)的動點軌跡”的例題，并設置了“用信息技術探究點的軌跡——橢圓”的活動. 筆者認為，教材如此編排是為建立圓錐曲線統(tǒng)一定義做好鋪墊，也為學生消除圓錐曲線離心率定義上的差異、理解其數(shù)學本質的一致性提供支架. 經過了解，執(zhí)教教師雖然講過這些例題，但沒有將題目的結論拓展成橢圓和雙曲線的一般性質，沒有使學生留下深刻印象. 這表明，執(zhí)教教師在教學上對教材意圖的理解和實施存在偏差，對例題和習題教學功能的體現(xiàn)和發(fā)揮有所欠缺.

2. 離心率分類定義的教學價值

差異化定義便于體現(xiàn)和理解離心率的功能. 一方面，離心率作為刻畫橢圓扁平程度和雙曲線“張口”大小的幾何量，自然要依托圖形的幾何特征，也就要與幾何量有所關聯(lián)，因此定義焦距[2c]與橢圓的長軸長（雙曲線的實軸長）[2a]的比值為離心率，這既呼應圖形形狀又符合學生的認知習慣，便于學生理解、記憶. 另一方面，圓錐曲線作為運動軌跡，是運動規(guī)律的數(shù)學表達，離心率作為描述和刻畫運動過程中不變關系的幾何量，自然要依托運動的特征，因此定義為兩種距離的比值. 對于拋物線，由于其形狀都相似，因此研究重點不是形狀而是運動特征，即它的本質——動點到焦點與到準線的距離相等. 這種等距性通過適當?shù)拇鷶?shù)運算轉化為常數(shù)1，若推廣為其他常數(shù)，即成為反映橢圓和雙曲線運動特征的不變關系，而這個常數(shù)就是它們的離心率. 因此，代數(shù)運算視角下的離心率充分體現(xiàn)了圓錐曲線運動內在的統(tǒng)一性.

理解概念必須經歷從表象到本質的過程. 圓錐曲線離心率的差異化定義是基于圓錐曲線的不同類別而產生的，這種表象上的差異，隨著圓錐曲線統(tǒng)一定義的建立和對離心率本質的揭示會悄然消失. 因此，從差異性的產生到消失是理解離心率所必須的過程，學生經歷此過程后，對圓錐曲線統(tǒng)一性的認識將從起源相同性質、相似的事實性結論上升到本質一致性的理性認知.

三、促進理解的途徑

1. 發(fā)揮統(tǒng)一定義的教學功能，消除分類定義的差異

圓錐曲線統(tǒng)一定義具有重要的教學功能. 它能激發(fā)猜想引入拋物線的概念，消除離心率分類定義的差異，促進學生對圓錐曲線統(tǒng)一性的理解. 筆者從橢圓和雙曲線的方程出發(fā)，秉持以形導數(shù)的思想，以距離和運算的消失、再現(xiàn)為路徑，引入拋物線的概念，教學片斷如下.

師：回顧推導橢圓和雙曲線的標準方程過程中第一次平方、化簡后的方程.

生：推導橢圓的標準方程過程中第一次平方、化簡后的方程為[ax-c2+y2=a2-cx;] 推導雙曲線的標準方程過程中第一次平方、化簡后的方程為[±ax-c2+y2=]

[a2-cx.]

師：它們能用同一個方程來表達嗎？

生：[ax-c2+y2=a2-cx.]

師：思考橢圓和雙曲線定義中的距離和運算，在上述方程中有何變化？

生：動點到左焦點的距離消失了，距離的和（差）運算隨之消失.

師：很好！能將方程的右端看成距離或與距離有關的表達式嗎？

（學生短暫思考.）

生1：從絕對值中提出[c]，即得點[Px，y]到直線[l：x=a2c]的距離[x-ac2.]

師：很好！再現(xiàn)了“消失的距離”，能再現(xiàn)“消失的運算”嗎？

生2：[x-c2+y2x-ac2=ca.]

師：距離的和（差）運算變成了商，而且運算結果恰好是離心率的表達式. 可見，幾何元素和運算不會憑空消失，而是以另一種形式呈現(xiàn). 進一步觀察方程的意義，左端是兩類距離的比值，其有自然的取值范圍，而右端是橢圓和雙曲線的離心率，也有確定的取值范圍，兩者對比，有何猜想？

生：比值[ca=1]的動點的軌跡是拋物線.

師：很好，接下來我們在GeoGebra軟件中驗證猜想.

（以下過程略.）

從橢圓和雙曲線的方程出發(fā)，以離心率“新”的表達式為目標，由“新、舊”離心率取值范圍的差異引發(fā)猜想，在建立拋物線概念的同時消除離心率定義形式上的差異. 為避免喧賓奪主，教學時只采用圓錐曲線統(tǒng)一定義的方式，不出現(xiàn)統(tǒng)一定義的概念.

2. 建立新的認知附著點，理解離心率刻畫曲線形狀的功能

形狀是圖形分類的標準，對形狀的刻畫和研究是幾何的內容. 由于研究方法的變化，平面幾何與解析幾何刻畫圖形形狀的方式不同，前者是直觀的度量方法，只需度量幾何元素的數(shù)目和大小;后者是間接的運算方法，既要度量還要運算. 這種改變致使學生在平面幾何中積累的經驗不能正遷移到解析幾何中. 例如，學生通過觀察就能發(fā)現(xiàn)三角形的全等或相似，而對于“所有拋物線都相似”的事實性結論，有的學生學完解析幾何也很難認同，這是因為他們對曲線形狀的認知還停留在幾何直觀上，而直觀上難以確定拋物線的相似性. 因此，應該建立新的認知附著點促進學生對離心率的理解.

直線斜率是理解離心率的認知附著點. 首先，兩者功能相同，斜率刻畫了直線的傾斜程度，斜率相等的直線經平移后重合，體現(xiàn)為圖形的全等;同樣，離心率刻畫的是橢圓的扁平程度（雙曲線的張口大?。x心率相同的圓錐曲線經過旋轉、伸縮和平移后也能重合. 其次，兩者的概念表征相似，直線上點的坐標是計算斜率的幾何量，但斜率并不依賴點的坐標;同樣，圓錐曲線上點到焦點的距離和它到準線的距離，或者橢圓（雙曲線）的焦距和長軸（實軸）是計算離心率的幾何量，但離心率也不依賴于它們而是源自截面和圓錐面的相對位置.

3. 在Dandelin模型中探尋離心率的截口曲線根源

從起源上看，圓錐截線的形狀和類別是由截面位置確定的. 因此，離心率是截面與圓錐面相對位置的代數(shù)表達. 為了滿足學生多樣化的學習需求，在單元復習時，利用Dandelin模型以圓錐曲線的統(tǒng)一定義為依據，探索離心率的截線根源.

如圖1，設圓錐的頂點為點[O]，圓錐的內切球與截面[β]相切于點[F]（即焦點）、與圓錐面的切點圓形成平面[α，] 截面[β]與平面[α]相交于直線[l]（即準線），所成的二面角為[φ.] 在截線上任取一點[P]，連接[PF]，過點[P]作[PP0⊥][α]于點[P0]，作[PP1⊥l]于點[P1]，連接[OP]交切點圓于點[P2]，設[PP2]與平面[α]所成的角為[θ]. 由[PF=][PP2]，得離心率[e=PFPP1=PP2PP1]. 在[Rt△PP0P2]和[Rt△PP0P1]中，分別有[sinθ=PP0PP2，sinφ=PP0PP1，] 所以[e=sinφsinθ.] 當圓錐確定后，[θ]是定值，而[φ]由截面[β]的位置確定，所以離心率[e]的數(shù)值取決于截面的位置.

下面分析截面[β]繞直線[l]旋轉時，圓錐面截線的變化情況. 為便于敘述，將截面[β]與平面[α]重合、垂直以及平行于圓錐面的一條母線[l0]的狀態(tài)分別記作[S0、S⊥、S∥.]

當[φ=0]時，截面[β]處于[S0]的狀態(tài)，截口曲線是圓.

當[0<φ<θ]時，截面[β]從[S0]旋轉到[S∥]（不含[S0]和[S∥]），圓錐面的所有母線都與截面[β]相交，交點在頂點[O]的同側，截口曲線是橢圓，隨著[φ]增大，離心率[e]也增大且越來越接近1，橢圓越來越扁平.

當[φ=θ]時，截面[β]處于[S∥]的狀態(tài)，圓錐面的母線除[l0]外都與截面[β]相交，交點在頂點[O]的同側，與[l0]夾角越小的母線與截面[β]的交點離頂點越遠，截口曲線是拋物線，離心率[e=1].

當[θ<φ≤π2]時，截面[β]從[S∥]旋轉到[S⊥]（含[S⊥]），圓錐面的所有母線都與截面[β]相交，交點在頂點[O]的兩側，所以截口曲線有兩支，是雙曲線，且[φ]越大，其“張口”越大，離心率[e]越大.

4. 創(chuàng)設動態(tài)情境理解圓錐曲線圖形上的統(tǒng)一性

從代數(shù)的角度容易理解拋物線是橢圓和雙曲線的極限情形，即隨離心率[e]在區(qū)間[0，+∞]上連續(xù)變化，曲線從橢圓變?yōu)閽佄锞€再變?yōu)殡p曲線. 在圖形上很難想象，曲線在離心率[e=1]的瞬間由橢圓變成拋物線再變成雙曲線的突變過程. 對此，筆者結合數(shù)學史實，以蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學》選擇性必修第一冊第81頁和第93頁的“操作題”為依據，在幾何畫板軟件中創(chuàng)設情境展現(xiàn)突變過程，以促進學生對圓錐曲線圖形統(tǒng)一性的理解.

首先，要建立學生關于拋物線也有兩個焦點的認知. 在數(shù)學史中，圓錐曲線的焦點由德國天文學家開普勒于17世紀初首次發(fā)現(xiàn)，他指出拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是圓心在無窮遠處的圓，他發(fā)現(xiàn)通過移動焦點可以由橢圓、拋物線、雙曲線和圓中任意一個連續(xù)地變?yōu)榱硗庖粋€. 其次，利用幾何畫板軟件創(chuàng)建焦點移向無窮遠處的情境，引導學生觀察、想象相關幾何元素形狀和位置的變化情況，感知由橢圓和雙曲線變成拋物線的極限過程. 如圖2，在圓[F2]內取不同于圓心的定點[F1]，在圓[F2]上取點[G]，對折線段[GF1]折痕交半徑[GF2]于點[P]，當點[G]在圓[F2]上運動時，設點[K]是圓[F2]的過[F1F2]的直徑的端點，則點[P]的軌跡是以[F1，F(xiàn)2]為焦點、長軸長等于[KF2]的橢圓. 因為[GF2-F1F2=KF1]為定值，所以橢圓的離心率[e=][F1F2KF2=1-KF1KF2.] 現(xiàn)固定點K，在沿著直線[KF1]向右拖動點[F2]的過程中，圓[F2]的半徑越來越大，橢圓的離心率越來越接近1，橢圓的形狀越來越接近拋物線，如圖3所示. 如圖4，在圓[F2]外取一定點[F1]，類似地得點[P]的軌跡是以[F1，F(xiàn)2]為焦點、實軸長等于[KF2]的雙曲線. 沿直線[F1K]向右移動點[F2]的過程中，雙曲線的離心率和形狀也有相應的變化，如圖5所示.

四、后續(xù)的思考

1. 解題訓練無法實現(xiàn)學生對離心率概念本質的理解

在教學實踐中，部分教師會以“求圓錐曲線離心率的數(shù)值或取值范圍”的題目為載體，通過知識的運用促使學生加深對離心率概念理解. 但事實上，這種做法欠妥，因為題目的解答都是從所給的情境中獲得表達離心率的幾何量，進而建立相應的等式或不等式進行求解. 這是離心率概念在標準或變式情境下的套用和模仿，屬于記憶性理解，不涉及離心率的數(shù)學本質和根源，學生即使能夠熟練解題也無法領悟“為什么通過這些幾何量的運算就能算出離心率”. 因此，對數(shù)學概念的理解要深入源頭理清脈絡，要構建關系網絡，才能達到解釋性理解和探究性理解的層次.

2. 數(shù)形結合是解析幾何運算的內在要求

解析幾何的運算要求深度的形數(shù)結合，而不是點綴式地給運算結果賦予幾何意義. 用代數(shù)方法研究幾何問題要遵循“幾何問題代數(shù)表達—代數(shù)運算獲得結果—代數(shù)結果的幾何形式”的順序，但這并非機械的線性順序，而要數(shù)形結合貫穿始終. 代數(shù)表達需要深入分析形的特征，否則將導致表達形式繁復、運算過程冗長，無法繼續(xù)研究;代數(shù)運算需要從幾何關系上找啟發(fā)、從幾何推理上找路徑、用幾何特征驗證運算結果，脫離圖形特征的純粹運算毫無意義，無法從代數(shù)結果中獲得幾何形式. 上述教學片斷中的代數(shù)變形路徑始終圍繞距離的數(shù)目、種類等幾何要素及其運算的消失再現(xiàn)而延伸. 在教學實踐中，圍繞其他幾何要素，如“角度”，在把距離變換成斜率的運算過程中，也能發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的優(yōu)美性質，一些教材習題由此編排.

3. 分類定義概念教學應追求本質一致性

數(shù)學中有些分類定義的概念，在各類別中的定義形式不同，對特殊情形直接用“規(guī)定”的形式給出;有些概念的教學需要跨越較長的時間間隔. 教學時要在每個類別中辨別概念的形式和內涵，也要在所有類別中厘清概念的共同本質，對于“規(guī)定”的內容，教師有必要為學生揭示“規(guī)定”的合理性和必要性，讓學生獲得整體的理解. 例如，對“斜線與平面所成的角”的教學，不能僅停留在“斜線與射影所成的角”的概念描述上，還要深入到“斜線與平面內所有直線所成角的最小值”的本質中，這樣學生才能認識到“規(guī)定直線與平面垂直時，所成的角為直角”的合理性和一致性，才能對“直線與平面所成的角”有整體的理解. 同樣地，對“異面直線間的距離”“平面與平面的距離”等空間距離的教學，既要歸納其幾何直觀上的共性，也要揭示它們都是“動點距離的最小值”這一本質，以便學生從函數(shù)的觀點來理解概念、用函數(shù)的方法解答問題. 唯有此，學生對分類定義的概念的理解才能觸及本質，進而獲得整體認知.

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