陳旭 湯小青

摘? 要：結(jié)合數(shù)學(xué)建模過程和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的三個(gè)水平對(duì)“茶水的最佳飲用問題”進(jìn)行三個(gè)維度的教學(xué)設(shè)計(jì)：了解過程，體會(huì)模型;經(jīng)歷過程，建立模型;感悟原理，創(chuàng)新模型. 從進(jìn)階型設(shè)計(jì)、不同模型類型設(shè)計(jì)、素養(yǎng)型設(shè)計(jì)、學(xué)生型設(shè)計(jì)四個(gè)角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的反思，以期更好地落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;水平劃分;設(shè)計(jì)反思

一、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)及其三個(gè)水平劃分

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中指出，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模過程主要包括在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.《標(biāo)準(zhǔn)》從情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思四個(gè)方面給出了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的三個(gè)水平劃分. 從以上分析可以看出，可以從實(shí)際情境抽象、經(jīng)歷完整過程、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、檢驗(yàn)改進(jìn)模型等關(guān)鍵問題上將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的三個(gè)水平劃分和數(shù)學(xué)建模過程有機(jī)結(jié)合進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，從而更好地發(fā)展學(xué)生“四能”，達(dá)到“三會(huì)”，落實(shí)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

二、“茶水的最佳飲用問題”教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

中國茶文化博大精深，自古以來中國人有飲茶的傳統(tǒng). 唐代詩人白居易的《山泉煎茶有懷》：“坐酌泠泠水，看煎瑟瑟塵. 無由持一碗，寄與愛茶人.”這首詩就描述了古人飲茶的傳統(tǒng).

怎樣才能喝到一杯好茶？學(xué)生經(jīng)過社會(huì)調(diào)查和資料搜集分析，發(fā)現(xiàn)以下幾個(gè)因素會(huì)影響茶水的口感：茶葉的類型、水質(zhì)、茶具的品質(zhì)、泡茶的技藝、水沸騰的時(shí)間、泡茶的水溫、喝茶的水溫等. 從上述調(diào)查可以發(fā)現(xiàn)，在客觀條件有限的情況下，茶藝的精進(jìn)和水溫的控制是成就一杯好茶的重要因素. 本次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)就從水溫的控制入手，力求喝到一杯好茶.

調(diào)查表明：某種綠茶，泡茶的水只需要煮沸即可，不易煮沸太久;泡茶的最佳水溫為[85℃];飲茶的最佳溫度為[60℃]. 那么在[24.3℃]的室溫下，如何才能利用數(shù)學(xué)的方法預(yù)測(cè)最佳水溫，泡出一杯好茶，飲得一杯好茶呢？

【設(shè)計(jì)意圖】以傳統(tǒng)文化為背景，從生活入手，讓學(xué)生經(jīng)歷社會(huì)調(diào)查、資料搜集的過程，積累社會(huì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問題.

2. 維度1：了解過程，體會(huì)模型

為了泡出好茶，先要燒出適合泡茶的好水. 水煮沸的時(shí)間過長容易影響水中礦物質(zhì)的構(gòu)成，影響茶水的口感. 那么，如何預(yù)測(cè)水升溫至[100℃]所需要的時(shí)間呢？

（1）模型的假設(shè).

問題1：影響水升溫至[100℃]所需要的時(shí)間的因素是什么？建立模型需要哪些假設(shè)？

熱源的熱量釋放速率和穩(wěn)定性是水溫上升的能量保障;煮水器物的熱傳導(dǎo)性影響熱量的傳導(dǎo)速率;大氣壓的大小影響水的沸點(diǎn);溶解于水中的礦物質(zhì)也會(huì)影響水的沸點(diǎn). 綜上所述，影響水升溫至[100℃]所需要的時(shí)間的因素大致有熱源、燒水器具的材質(zhì)、氣壓、水源等. 假設(shè)在相同的熱源、相同的燒水器具、標(biāo)準(zhǔn)大氣壓、相同的水源等條件下，抽象出以時(shí)間為自變量、以溫度為因變量的函數(shù)關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】從物理學(xué)角度分析具體現(xiàn)象中的各種變量，感受現(xiàn)實(shí)問題的復(fù)雜性，通過模型假設(shè)為現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化及數(shù)學(xué)模型的建立做必要的準(zhǔn)備.

（2）模型的建立.

① 學(xué)生活動(dòng)：小組合作采集數(shù)據(jù).

實(shí)驗(yàn)器材：溫度采集器、家用普通電熱水壺、礦泉水.

實(shí)驗(yàn)條件：室溫[24.3℃]、標(biāo)準(zhǔn)大氣壓. 每隔1分鐘記錄一次數(shù)據(jù)，記錄數(shù)據(jù)如表1所示.

[時(shí)間 / min 0 1 2 3 水溫 / ℃ 24.3 34.6 45.5 54.6 ][表1：水溫變化記錄表]

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)的抽象需要以具體的情境和數(shù)據(jù)為依托，需要學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光設(shè)計(jì)和分析實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律，最終將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題.

② 利用Excel軟件作散點(diǎn)圖，并進(jìn)行回歸擬合，時(shí)間與水溫的函數(shù)關(guān)系如圖1所示，擬合函數(shù)為[y=][10.18x+24.48]，其中[R2=0.998 8]（擬合優(yōu)度，也稱為決定系數(shù)，越靠近1，擬合效果越好）.

【設(shè)計(jì)意圖】將數(shù)據(jù)以直觀的散點(diǎn)圖進(jìn)行呈現(xiàn)，將抽象的數(shù)據(jù)信息直觀化，更好地揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì). 借助Excel軟件利用統(tǒng)計(jì)原理完成擬合過程，得到學(xué)生熟悉的一次函數(shù)模型，使學(xué)生在熟悉的模型中體會(huì)模型的數(shù)學(xué)意義.

（3）模型的檢驗(yàn)和求解.

[R2=0.998 8]，擬合度良好，測(cè)量數(shù)據(jù)近似符合線性關(guān)系，其中擬合函數(shù)[y=10.18x+24.48]中[x]的系數(shù)[10.18]為每分鐘水溫上升的速度，[24.48]為初始時(shí)刻對(duì)應(yīng)的溫度，經(jīng)計(jì)算大約需要7.4分鐘能將水燒開.

【設(shè)計(jì)意圖】理解一次函數(shù)模型中參數(shù)的意義，并能利用模型解決問題，體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)建模的重要性.

3. 維度2：經(jīng)歷過程，建立模型

在[24.3℃]的室溫下，剛泡好的茶水（85℃）需要多長時(shí)間才能達(dá)到最佳口感（60℃）？

（1）模型的假設(shè).

問題2：茶水的冷卻時(shí)間與哪些因素有關(guān)？建立模型需要哪些假設(shè)？

物體溫度降低放出熱量，熱量的釋放與材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)及空氣分子的運(yùn)動(dòng)速度等有密切的關(guān)系. 故影響茶水冷卻時(shí)間的因素有茶具的材質(zhì)、室溫、茶水與空氣的接觸面積、空氣的流通速度等. 假設(shè)在茶具、室溫、風(fēng)速、空氣接觸面積等都相同的條件下，抽象出以時(shí)間為自變量、溫度為因變量的函數(shù)關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】利用相關(guān)知識(shí)對(duì)模型的影響因素進(jìn)行分析，使學(xué)生能夠在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，知道數(shù)學(xué)問題的價(jià)值與作用.

（2）模型的建立.

① 學(xué)生活動(dòng)：小組合作采集數(shù)據(jù).

實(shí)驗(yàn)器材：溫度采集器、85℃的茶水、標(biāo)準(zhǔn)[200 mL]燒杯.

實(shí)驗(yàn)條件：室溫24.3℃、無風(fēng)、含[200 mL]溫度為85℃茶水的燒杯. 每間隔1分鐘記錄一次溫度，記錄數(shù)據(jù)如表2所示.

[時(shí)間 / min 0 1 2 3 4 5 茶溫 / ℃ 85.0 79.2 74.8 71.3 68.3 65.9 ][表2：茶水溫度變化記錄表]

② 作出散點(diǎn)圖、添加趨勢(shì)線，形成時(shí)間與茶溫的函數(shù)關(guān)系，如圖2所示.

問題3：結(jié)合所學(xué)的函數(shù)知識(shí)和圖2，能否分析函數(shù)的性質(zhì)？

設(shè)函數(shù)[y=fx]，其中[x]為時(shí)間，[y]為[x]時(shí)刻的水溫. 那么，函數(shù)[y=fx]的定義域?yàn)閇x∈0，+∞]，值域?yàn)閇y∈24.3，85]（單位：[°C]）;函數(shù)[y=fx]在定義域上單調(diào)遞減，遞減速度越來越慢;對(duì)于函數(shù)[y=fx]，當(dāng)[x→+∞]時(shí)，[y→24.3].

【設(shè)計(jì)意圖】從函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、凹凸性和漸近線的角度分析趨勢(shì)線的函數(shù)性質(zhì). 讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念和原理分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，用數(shù)學(xué)語言描述相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律.

③ 模型的選擇.

問題4：能從三角函數(shù)、一次函數(shù)[y=kx+b]、二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]，以及形如[y=klogax+b]和[y=kax+b]的函數(shù)中選擇一個(gè)你認(rèn)為更合理的函數(shù)模型嗎？

三角函數(shù)具有周期性，不符合函數(shù)存在漸近線的要求;一次函數(shù)不符合函數(shù)具有凹凸性的要求;二次函數(shù)不符合函數(shù)圖象具有漸近線的要求. 函數(shù)[y=][klogax+b]不符合值域?yàn)閇y∈24.3，85]的要求. 故最終選擇函數(shù)[y=kax+b]作為函數(shù)模型.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的性質(zhì)分析并選擇合適的數(shù)學(xué)模型，表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問題.

（3）模型的求解.

問題5：能否利用圖象上的信息求解[y=kax+b]中的參數(shù)？

根據(jù)定義域，得[y=kax+b x≥0]. 因?yàn)橹涤騕y∈][24.3，85]，所以[b=24.3];利用單調(diào)性，知[0<a<1];利用特殊點(diǎn)[0，85]，解得[k=60.7]. 由此可以得到[y=60.7ax+24.3 0<a<1，x≥0]. 其中，[60.7]就是起始茶溫與室溫的溫度差. 具體情況如表3所示.

[[x] 0 1 2 3 4 5 [y] 85.0 79.2 74.8 71.3 68.3 65.9 [y-24.3] 60.7 54.9 50.5 47.0 44.0 41.6 [a] — 0.904 4 0.919 8 0.930 7 0.936 2 0.945 4 ][表3：比值求解參數(shù)[a]]

構(gòu)造誤差函數(shù)[fa=a-a12+a-a22+a-a32+][a-a42+a-a52]. 當(dāng)[a=15a1+a2+a3+a4+a5]時(shí)，誤差[fa]最小，故用[a]的平均值[a]估計(jì)[a]較為合理. 其中，[a=150.904 4+0.919 8+0.930 7+0.936 2+0.945 4=0.927 3.]綜合以上分析，可得[y=60.7×0.927 3x+24.3 x≥0].

【設(shè)計(jì)意圖】理解模型中參數(shù)的意義，知道如何確定參數(shù)，建立模型，求解模型. 從數(shù)學(xué)原理的角度推理、辨析算法，體驗(yàn)參數(shù)的計(jì)算過程，使學(xué)生的思維從淺層走向深入，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維分析問題的過程.

（4）模型的檢驗(yàn).

本次實(shí)驗(yàn)擬合函數(shù)[y=60.7×0.927 3x+24.3 x≥0]，[R2=0.986]，擬合效果較好. 由[60.7×0.927 3x+24.3=60]，解得[x=log0.927 335.760.7≈7.040 9]. 故在室溫[24.3°C]下，剛泡好的茶水（[85°C]）需要7分鐘左右達(dá)到最佳口感（[60°C]）.

4. 維度3：感悟原理，創(chuàng)新模型

（1）模型再分析.

問題6：利用Excel軟件進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得到擬合函數(shù)為[y=116.16x+4-0.466+24.3]，[R2=0.999 7]，該函數(shù)是否更符合實(shí)際情況？

熱力學(xué)基本原理：熱量從高溫物體向低溫物體傳導(dǎo);在一定的溫度范圍內(nèi)，一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度和所在介質(zhì)溫度的差值成比例（牛頓冷卻定律）.

證明：設(shè)物體在[t]時(shí)刻的溫度為[y=ft]，介質(zhì)溫度為[C0]，物體初始溫度為[T0]. 則溫度的變化速度可以用[dydt]來表示，溫度差表示為[y-C0][y>C0]. 由牛頓冷卻定律，得[dydt=-ky-C0 k>0]，這里[k>0]是比例系數(shù). 整理，得[dy-C0y-C0=-kdt]. 兩邊積分，得[lny-C0=][-kt+C]（[C]為任意常數(shù)），[y=ft=e-kt+C+C0=eCe-kt+C0]. 因?yàn)閇f0=T0]，所以[eC=T0-C0]. 令[a=e-k]，則[0<a<1]，那么[y=ft=C0+T0-C0at 0<a<1.]

通過上述分析和論證可以知道，雖然函數(shù)[y=][116.16x+4-0.466+24.3]具有較高的擬合度，但是并不符合實(shí)際的物體冷卻規(guī)律.

【設(shè)計(jì)意圖】將熱力學(xué)基本原理與數(shù)學(xué)推理相結(jié)合，用數(shù)學(xué)語言清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)過程和結(jié)果，對(duì)模型的選擇做出進(jìn)一步論證.

（2）模型再改進(jìn).

在實(shí)際中，牛頓冷卻模型中的參數(shù)[a=e-k]是在一定范圍內(nèi)成立的. 如何設(shè)計(jì)出更符合實(shí)際的模型，可以采取分段模型的策略來處理.

結(jié)合表3，可知前兩分鐘，[a1=120.904 4+0.919 8=][0.912 1;] 后三分鐘，[a2=130.930 7+0.936 2+0.945 4≈][0.937 4]. 因此[y=ft=24.3+60.7×0.912 1t，0≤t<3，24.3+47×0.937 4t-3，3≤t≤5.]故[24.3+47×0.937 4t-3=60]，解得[t≈7.254.]

【設(shè)計(jì)意圖】基于原理的分析，有效解讀參數(shù)的意義，創(chuàng)造性地解決生活中的實(shí)際問題.

三、三個(gè)水平劃分的數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)反思

1. 基于三個(gè)水平劃分的進(jìn)階型單元教學(xué)設(shè)計(jì)

將數(shù)學(xué)建模的過程和數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量三個(gè)水平的劃分相結(jié)合，逐層進(jìn)階，從淺層走向深度，從形式邁向本質(zhì).

結(jié)合數(shù)學(xué)建模水平一的要求. 在維度1中，學(xué)生經(jīng)歷了模型假設(shè)、數(shù)據(jù)收集、利用Excel軟件建立模型、模型檢驗(yàn)、模型計(jì)算，了解了數(shù)學(xué)建模的過程，在熟悉的情境中，體會(huì)了用熟悉的一次函數(shù)模型解決問題的數(shù)學(xué)思想.

結(jié)合數(shù)學(xué)建模水平二的要求，在維度2中凸顯了應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)選擇模型、計(jì)算參數(shù)的原理分析等過程，使學(xué)生經(jīng)歷了更為完整的數(shù)學(xué)建模過程，理解數(shù)學(xué)建模的意義，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)建模過程中的問題及解決問題的過程和結(jié)果，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的“過程”“活動(dòng)”特性.

結(jié)合數(shù)學(xué)建模水平三的要求，在維度3中進(jìn)一步結(jié)合相關(guān)學(xué)科知識(shí)，用清晰、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言推理了牛頓冷卻模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)和創(chuàng)新，創(chuàng)造性地建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題.

2. 基于不同類型建?；顒?dòng)的教學(xué)設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)[3]指出，高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)分為兩類：類型一是基于現(xiàn)實(shí)情境，建立模型、判斷模型、求解參數(shù)，最終得出數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題;類型二是基于數(shù)量關(guān)系或空間形式有關(guān)的一般規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，用數(shù)學(xué)語言描述形成一般模型.

基于類型一進(jìn)行維度1和維度2的設(shè)計(jì). 在這兩個(gè)維度中基于現(xiàn)實(shí)情境，抽象出時(shí)間和溫度的函數(shù)關(guān)系，通過數(shù)據(jù)和圖形判斷數(shù)學(xué)模型，求解參數(shù)，最終得出數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題. 基于數(shù)學(xué)建模的類型二進(jìn)行維度3的設(shè)計(jì)，基于維度1、維度2的研究和相關(guān)學(xué)科知識(shí)建立溫度和時(shí)間的一般規(guī)律，通過準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述規(guī)律、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理拓展規(guī)律，形成更一般化的模型，提升模型的普適性.

3. 基于素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)設(shè)計(jì)

“水溫與時(shí)間”“茶溫與時(shí)間”的抽象不是針對(duì)數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，而是用數(shù)學(xué)的概念、原理和思想方法從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為數(shù)學(xué)問題，是一個(gè)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，從而發(fā)現(xiàn)和提出問題的過程，是落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的良好著力點(diǎn).

影響物體溫度的影響因素復(fù)雜多變，而任何數(shù)學(xué)模型都有其使用范圍，這個(gè)范圍需要通過模型的假設(shè)、初始條件的設(shè)定、模型中參數(shù)的某些限制等方式給出. 顯然，這個(gè)過程體現(xiàn)出與數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)的直接關(guān)聯(lián).

利用數(shù)據(jù)確定假設(shè)模型中的參數(shù)，通過計(jì)算求解得出數(shù)學(xué)模型. 這個(gè)過程也體現(xiàn)出與數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)的直接關(guān)聯(lián).

數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)是一個(gè)綜合的過程，在設(shè)計(jì)的過程中需要關(guān)注各種素養(yǎng)的綜合滲透.

4. 基于學(xué)生主體性的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)設(shè)計(jì)

以小組合作學(xué)習(xí)的方式開展社會(huì)調(diào)查、資料收集、數(shù)據(jù)搜集等活動(dòng);以學(xué)生活動(dòng)為中心，教師作為指導(dǎo)者和共同參與者促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí);教師和學(xué)生共同構(gòu)造良好的組織框架，創(chuàng)建學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生在環(huán)境中建構(gòu)知識(shí)和技能，圍繞主題開展直接、深入的探究;重視學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，鼓勵(lì)協(xié)作學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的智力優(yōu)勢(shì)和學(xué)習(xí)長處;允許學(xué)生犯錯(cuò)和改正，營造開放的活動(dòng)氛圍，發(fā)展學(xué)生的高級(jí)思維技能;學(xué)生活動(dòng)不是盲目地忙碌、活躍，而應(yīng)該是有目的的行動(dòng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

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