歐陽(yáng)柏平， 侯春娟

(廣州華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院， 廣州 511300)

在物理背景下，Moore-Gibson-Thompson(MGT)方程是描述在粘性熱松弛流體中波的傳播的數(shù)學(xué)模型，其數(shù)學(xué)表示如下：

τuttt+utt-c2Δu-bΔut=0，

其中，未知標(biāo)量函數(shù)u=u(t,x)表示勢(shì)函數(shù)，c表示聲速，τ為熱松弛因子，b=βc2與聲音的擴(kuò)散相關(guān)，τ(0,β]。需要說(shuō)明的是，當(dāng)0<τ<β時(shí)，其半群的指數(shù)是穩(wěn)定的，而τ=β時(shí)，其半群的指數(shù)穩(wěn)定性消失。

學(xué)者們對(duì)MGT方程解的存在性、爆破以及衰減等性態(tài)問(wèn)題進(jìn)行了研究[1-5]。如，文獻(xiàn)[1]利用迭代方法結(jié)合切片技巧，研究了如下非線性項(xiàng)的MGT方程在次臨界和臨界情況下解的爆破問(wèn)題：

(1)

其中，p>1,β、ε>0,Δ是拉普拉斯算子。

文獻(xiàn)[2]運(yùn)用迭代等技巧，研究了β=0時(shí)的非線性記憶項(xiàng)的波動(dòng)方程在次臨界和臨界情況下解的爆破問(wèn)題：

(2)

眾所周知，有關(guān)波動(dòng)方程柯西問(wèn)題解的全局存在性與非存在性研究中，臨界指數(shù)Pstr(n)(Strauss 指數(shù))起著關(guān)鍵作用。方程(2)的臨界指數(shù)Pstr(n,γ)由以下一元二次方程的正根表示：

當(dāng)n=1時(shí),Pstr(1,γ)=∞。

已有研究主要利用Kato引理研究二階波動(dòng)方程解的爆破問(wèn)題，然而，Kato引理只適用于二階的波動(dòng)方程，不適用于三階的波動(dòng)方程。近年來(lái)，有學(xué)者利用迭代技巧考慮了某些雙曲方程解的爆破問(wèn)題[6-10]。如，文獻(xiàn)[6]利用迭代和泛函分析方法，研究了一般非線性記憶項(xiàng)下一類弱耦合半線性波動(dòng)方程在次臨界情況下解的爆破問(wèn)題：

其中，p、q>1,gi(t)>0(i=1,2)。

文獻(xiàn)[9]運(yùn)用迭代技巧結(jié)合測(cè)試函數(shù)方法，研究了導(dǎo)數(shù)型非線性項(xiàng)下一類半線性雙波動(dòng)方程在次臨界情況下解的全局非存在性問(wèn)題：

其中，p>1，ε>0。

本文討論具有非線性記憶項(xiàng)的半線性MGT方程解的爆破問(wèn)題:

(3)

本文主要探討非線性記憶項(xiàng)對(duì)半線性MGT方程爆破解的非局部影響。方程(3)中高階擾動(dòng)項(xiàng)βuttt-βΔut使得其迭代框架存在無(wú)界乘子，若運(yùn)用文獻(xiàn)[8-10]的處理方法，則在迭代過(guò)程中必然出現(xiàn)關(guān)于時(shí)間的指數(shù)形式衰減，僅能獲得大初值下解的爆破，無(wú)法得到小初值下解的爆破。而對(duì)于半線性波動(dòng)方程爆破問(wèn)題的研究，小初值的爆破是其重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文通過(guò)引入Lj的切片序列來(lái)克服該指數(shù)衰減的因子，解決了計(jì)算中出現(xiàn)的無(wú)界乘子問(wèn)題。另外，在處理高階項(xiàng)βuttt和非線性記憶項(xiàng)時(shí),通過(guò)引入新的時(shí)變泛函F1(t)來(lái)估計(jì)關(guān)鍵的泛函F(t)，從而得到F(t)的下界序列。最后對(duì)其迭代，證明了在次臨界情況下解的爆破和生命跨度估計(jì)。

1 主要結(jié)果及證明

首先給出方程(3)能量解的定義。

定義1設(shè)(u0,u1,u2)H2(n)×H1(n)×L2(n)，u是方程(3)在[0,T)上的能量解，如果uC([0,T),且滿足

(4)

進(jìn)一步，應(yīng)用分部積分于式(4)，可得

(5)

當(dāng)t→T時(shí)，可得u滿足方程(3)能量解的定義。

本文的主要結(jié)果如下：

?(n,p,γ)=2-2γ+(n+3)p-(n-1)p2。

證明記

(6)

式(5)中，取φ(s,x)≡1，(s,x)[0,t]n且|x|≤R+s，得到

(7)

由式(7)可得

βF″(t)+F′(t)=βεF″(0)+εF′(0)+

(8)

又對(duì)式(8)關(guān)于t求導(dǎo)，得到

(9)

因?yàn)橹Ъ痷(t,·)?Bt+R(t(0,T))，應(yīng)用H?lder不等式，可得

(10)

將式(10)代入式(9)，得到

(11)

進(jìn)行2次積分，可得

βF′(t)+F(t)-(βF′(0)+F(0))-(βF″(0)+F′(0))t≥

(12)

進(jìn)一步對(duì)式(12)求積分，可得

(13)

接下來(lái)，將對(duì)F(t)的下界進(jìn)行迭代，從而完成定理1的證明。需要指出的是，式(13)給出了迭代的框架。為了得到F(t)的第1個(gè)下界估計(jì)，引入Φ(x)函數(shù)[11]：

其中Sn-1為n-1維球面。該函數(shù)是正的光滑函數(shù)，且滿足

ΔΦ(x)=Φ(x),Φ(x)～|x|-(n-1)/2e|x|,|x|→∞。

取Ψ=Ψ(t,x)=e-tΦ(x)。易知，Ψ滿足βΨttt+Ψtt-ΔΨ-βΔΨt=0。泛函F1(t)定義如下：

(14)

應(yīng)用測(cè)試函數(shù)Ψ于式(5)，可得

(15)

由式(15)，有

(16)

由F1(t)的定義，可以推出

(17)

將式(17)代入式(16)，整理可得

(18)

其中

G′(t)+(1+δ)G(t)=εIβ[u0,u1,u2]+

(19)

對(duì)式(19)兩邊同乘 e(1+δ)t，積分，整理可得

(20)

類似地，對(duì)式(20)兩邊同乘 e2t，積分，可得

F1(t)≥

(21)

其中C為正常數(shù)。

由式(21)以及H?lder不等式，可得

(22)

其中p′為p的共軛指數(shù)。

利用Ψ的漸近性[8]，可得

(23)

其中K>0。

聯(lián)立式(22)、(23)，有

(24)

由式(9)和式(24)，可得

(25)

對(duì)式(25)進(jìn)行2次積分，可得

(26)

其中，m1=βF′(0)+F(0),m2=βF″(0)+F′(0)。

式(26)兩邊同乘et/β/β，積分，整理可得

(27)

其中t≥β。

F(t)≥K0(R+t)-α0(t-β)γ0。

(28)

下面結(jié)合式(13)和迭代技巧推導(dǎo)F(t)的下界序列：

F(t)≥Kj(R+t)-αj(t-Ljβ)γj，

(29)

其中，t≥Ljβ；{Kj}j、{αj}j、{γj}j均為非負(fù)實(shí)序列；{Lj}j是具有收斂的無(wú)限積的部分積序列，其定義如下:

由式(28)可知，當(dāng)j=0時(shí)，式(29)成立。假設(shè)式(29)對(duì)j≥0成立，下面證明式(29)對(duì)j+1也是成立的。

聯(lián)立式(13)和式(29)，有

Kjp(R+η)-pαj(η-Ljβ)pγj]dηdσdτds≥

Kjp(1-e-t(lj+1-1)/βLj+1)，

(30)

其中t≥Lj+1β。

又

(31)

由式(30)、(31)，可得

(32)

其中

(33)

式(32)表明式(29)對(duì)j+1成立。

下面將估計(jì)Kj。由式(33)，可得

αj=n(p-1)+γ+pαj-1=…=(n(p-1)+γ)(1+p+p2+

γj=pγj-1+3=…=3(1+p+p2+…pj-1)+γ0pj=

(34)

因?yàn)?/p>

(pγj-1+1)(pγj-1+2)(pγj-1+3)≤(pγj-1+3)3=γj3,

(35)

聯(lián)立式(33)～(35)，有

(36)

對(duì)式(36)兩邊取對(duì)數(shù)，得到

logKj≥logD+plogKj-1-5jlogp≥logD+p(logD+

plogKj-2-5(j-1)logp)-5jlogp≥…≥(1+p+p2+ … +pj-1)×

logD+pjlogK0-5(pj-1+2pj-2+…+j)logp=

(37)

設(shè)j0=j0(n,p,γ)為下式成立的最小正整數(shù)：

由此，有

(38)

其中E0=E0(n,p,γ)>0。

結(jié)合式(29)、(34)和式(38)，可得

F(t)≥exp(pjlog(E0εp))(R+t)-((γ/(p-1)+n+α0)pj-(γ/(p-1)+n))×

(R+t)-(γ/(p-1)+n)(t-Lβ)-3/(p-1)，

(39)

其中，j≥j0，t≥Lβ。

取t≥max{R,2Lβ},則式(39)進(jìn)一步化為

F(t)≥

exp(pj(log(E0εp2-((3+γ)/(p-1)+n+α0+γ0)t3/(p-1)+γ0-(γ/(p-1)+n+α0))))×

(R+t)-(γ/(p-1)+n)(t-Lβ)-3/(p-1)=

exp(pj(log(E1εpt3/(p-1)+γ0-(γ/(p-1)+n+α0))))×

(R+t)-(γ/(p-1)+n)(t-Lβ)-3/(p-1)，

(40)

其中E1=E02-((3+γ)/(p-1)+n+α0+γ0)。

式(40)右邊項(xiàng)中t的指數(shù)為

由γ(0,1)，當(dāng)n=1時(shí)，p>1；當(dāng)n≥2時(shí)，1

設(shè)ε0=ε0(u0,u1,u2,n,p,γ,R,β)>0，有

t≥max{R,2Lβ},log(E1εptΥ(n,p,γ)/2(p-1))>0。

此時(shí)，式(40)中，令j→∞，則當(dāng)ε(0,ε0以及t>E2ε-2p(p-1)/Υ(n,p,γ)時(shí),F(t)的下界爆破。由此可知方程(3)不存在全局解。另外，可進(jìn)一步推得u的生命跨度估計(jì)為

2 結(jié)束語(yǔ)

本文主要研究了MGT方程在非線性記憶項(xiàng)下解的爆破問(wèn)題，通過(guò)迭代技巧得到了非線性記憶項(xiàng)對(duì)其柯西問(wèn)題解的非局部影響。后續(xù)的工作將進(jìn)一步討論在臨界情況下解的全局非存在性問(wèn)題，此時(shí)需要重新構(gòu)造新的時(shí)變泛函，因而問(wèn)題會(huì)更復(fù)雜。