高 凱，劉 綱，蔣 偉

(1.重慶大學 土木工程學院, 重慶 400045；2.重慶大學 山地城鎮(zhèn)建設與新技術教育部重點實驗室, 重慶 400045；3.重慶渝富產城運營建設發(fā)展有限公司，重慶 401121)

疲勞可靠度是指產品在規(guī)定時間內完成預期功能而不發(fā)生故障的概率。從20世紀80年代以來，載荷-強度干擾可靠度模型被大量應用于構件或系統(tǒng)疲勞可靠性評估中，但該模型僅能考慮靜態(tài)可靠度，不適用于復雜動態(tài)系統(tǒng)的可靠度分析。這主要是因為受強度退化、荷載變化和荷載累積效應等影響，構件的強度和應力關系一直處于變化狀態(tài)，構件或系統(tǒng)的可靠度將隨時間及荷載作用次數(shù)的變化而發(fā)生改變，屬于時變可靠度范疇[1]。而考慮疲勞損傷累積的可靠性建模方法能考慮載荷時變歷程，較好反映結構時變特性，更符合工程實際，所以近年來該類方法已逐漸成為可靠度分析中的常用方法[2]。

疲勞損傷累積模型可以分為線性和非線性累積模型，其中Miner線性模型因其原理和規(guī)則簡單，在實際工程中得到了廣泛應用[3-4]。但在分析變幅荷載作用時，該模型忽略了荷載加載順序和不同荷載相互作用等因素對疲勞損傷累積的影響，這與實際情況不符。因此，在變幅作用時，該模型的可靠度計算精度不盡如人意[5]。為此，諸多學者利用損傷曲線法、能量法、材料物理性能退化法、連續(xù)損傷力學法等非線性損傷累積理論建立疲勞可靠度狀態(tài)方程[6]。

在非線性累積損傷模型中，文獻[7]基于損傷曲線理論，在有效裂紋增長長度和損傷等效的基礎上，提出了Manson-Halford(M-H)非線性疲勞損傷累積模型，該模型能處理復雜加載歷史下的疲勞損傷，可較好反映結構疲勞損傷隨荷載作用次數(shù)的變化趨勢，且模型參數(shù)較少，故適用于非線性損傷分析。文獻[8]采用M-H模型成功分析了焊接接頭的疲勞特性，并與Miner模型結果進行對比分析，表明M-H模型可用于工程設計。文獻[9-10]結合M-H模型和剩余強度退化模型，建立時變疲勞可靠度分析方法，并用兩組試驗數(shù)據(jù)進行驗證，所得計算結果和試驗數(shù)據(jù)吻合較好。文獻[11]利用M-H模型預測了二級和多級荷載作用下構件的疲勞壽命。

應該指出的是，該模型未考慮載荷間的相互作用，其在分析多級載荷作用下的疲勞可靠度時易出現(xiàn)較大誤差[12]。另一方面，目前非線性時變疲勞可靠度計算主要采用一次二階矩法(FOSM)、Monte Carlo法(MCS)等傳統(tǒng)方法[13]。但FOSM存在非線性狀態(tài)方程適應差、忽略高階項導致計算誤差大等問題；MCS存在計算量大、計算效率低等不足，特別是在考慮時變可靠度計算時，其計算效率較低[14]。而近十幾年提出的概率密度演化方法(PDEM)在分析可靠度時，對非線性問題有較好的適應性，且計算精度和效率較高[15-16]。

為此，針對M-H模型未考慮荷載相互作用的問題，本文通過荷載幅值對數(shù)平方比率指數(shù)項計入多幅級載荷的相互作用，提出M-H改進模型，結合改進M-H模型和概率密度演化方程，建立考慮非線性疲勞累積損傷的動態(tài)可靠度分析方法；采用標準45鋼和螺旋壓縮彈簧試驗驗證所提方法的適用性和準確性。

1 非線性疲勞損傷累積模型

1.1 M-H損傷累積模型

在M-H模型中，構件在應力σi作用下循環(huán)ni次的疲勞損傷累積量D為

( 1 )

式中：a0為ni=0時構件的初始裂紋長度；Nfi為構件在應力σi作用下失效的循環(huán)次數(shù)，即疲勞壽命；B和β為與材料特性相關的參數(shù)。構件在初始狀態(tài)下的裂紋長度a0一般較小，可忽略不計，故通常a0=0[17]，因此式( 1 )可改寫為

( 2 )

式( 2 )反映了常幅荷載作用下疲勞損傷累積量，即M-H模型。在常幅荷載σ1、σ2、σ3分別作用下的疲勞損傷曲線如圖1所示。

圖1 三級應力加載下疲勞損傷累積量

( 3 )

式中：n2′為載荷σ2產生與載荷σ1作用n1次循環(huán)相同損傷的等效循環(huán)次數(shù)。式( 3 )可改寫為

( 4 )

( 5 )

以此類推，可以得到三級荷載同時加載下的疲勞累積損傷模型為

( 6 )

式中：n3′為荷載σ3產生與前兩級荷載σ1、σ2作用n1+n2次循環(huán)相同損傷的等效循環(huán)次數(shù)。

1.2 改進的M-H疲勞累積模型

通過式( 6 )可知，多級荷載作用下M-H損傷累積模型僅考慮荷載序列影響，忽略了不同幅級荷載間的相互作用影響。而業(yè)界提出通過在荷載循環(huán)次數(shù)n上引入與荷載水平相關的指數(shù)項來解決這一問題[18]，從而更準確反映多幅級荷載作用下疲勞累積損傷。借鑒該思路，本文通過引入荷載幅值對數(shù)平方比率來考慮荷載間的相互作用影響，即在兩級載荷作用時的損傷等效轉換過程中，增加荷載幅值對數(shù)平方比率指數(shù)項，即將式( 4 )改寫為

( 7 )

將式( 7 )代入式( 5 )，得到兩級不同幅值加載下考慮荷載相互作用的疲勞累積損傷為

( 8 )

若考慮第三級荷載作用，根據(jù)損傷等效原理，可將前二級累積損傷量D(n1+n2)轉換為第三級荷載循環(huán)作用n3′次的損傷量D(n3′)。再根據(jù)式( 7 )同時考慮荷載加載順序和荷載相互作用的影響，則前兩級荷載損傷產生的等效循環(huán)次數(shù)比可表示為

( 9 )

將式( 9 )代入式( 6 )，得到考慮荷載加載順序和相互作用時三級加載疲勞累積損傷為

(10)

依次類推，考慮荷載相互作用的前k-1級加載損傷可等效為第k級加載作用nk′次后的損傷。

(11)

考慮荷載加載順序和相互作用的k級加載疲勞累積損傷為

(12)

在M-H模型的基礎上，通過引入荷載幅值對數(shù)平方比指數(shù)考慮各幅級荷載間的相互作用，提出改進M-H模型。

2 基于PDEM的時變可靠度分析法

可靠度分析包含兩大步驟：建立結構極限狀態(tài)函數(shù)和可靠度計算。根據(jù)改進M-H模型建立多級載荷作用下非線性疲勞可靠度分析的狀態(tài)函數(shù)；利用概率密度守恒原理建立基于狀態(tài)函數(shù)的概率密度演化方程；利用數(shù)值求解方法對演化方程進行求解，獲取結構的時變疲勞可靠度曲線。

2.1 疲勞可靠度分析的極限狀態(tài)函數(shù)

疲勞可靠度分析的極限狀態(tài)函數(shù)G可表示為

(13)

式中：Dc為疲勞損傷閾值，一般取1[19]；n為循環(huán)次數(shù)；k為多級荷載幅值的數(shù)量。當G(n)>0時，表示結構疲勞累積損傷未達到極限值，處于安全狀態(tài)；當G(n)=0時，結構處于疲勞極限狀態(tài)。從式(12)和式(13)可知，疲勞極限狀態(tài)方程中只有不同應力幅下疲勞壽命Nfi是隨機變量，在多幅級荷載作用過程中沒有新隨機源產生，因此系統(tǒng)是一個概率保守系統(tǒng)[20]。為此，可根據(jù)概率守恒原理構建疲勞極限狀態(tài)函數(shù)的概率密度演化方程。

2.2 疲勞狀態(tài)函數(shù)的概率密度演化方程

基于概率守恒原理，隨機事件的概率密度函數(shù)隨時間演化的規(guī)律可表示為[21]

(14)

式中：Z為感興趣的物理量(如應力、彎矩、疲勞損傷、變形等)；Θ為影響物理量變化的隨機變量；θ為隨機變量Θ的子集；pZΘ(z,θ,t)為增廣系統(tǒng)(Z,Θ)的聯(lián)合概率密度函數(shù)；ΩZ×ΩΘ為增廣系統(tǒng)的空間。式(14)經數(shù)學處理和變換可以得到增廣系統(tǒng)的廣義概率密度演化方程為

(15)

疲勞可靠度分析感興趣的物理量是疲勞損傷，故將式(15)中的物理量Z用疲勞損傷狀態(tài)值G替換，而疲勞損傷狀態(tài)值G是一個與循環(huán)次數(shù)n有關的函數(shù)，循環(huán)次數(shù)n隨荷載作用從0開始逐步、連續(xù)增長，具有時間特性，故可用循環(huán)次數(shù)n替換時間t，式(15)可改寫為

(16)

式中：g為疲勞損傷狀態(tài)值G中的一個元素。式(16)在初始時刻n=0的初始條件為

pGΘ(g,θ,n)|n=0=δ(g-g0)PΘ(θ)

(17)

式中:δ為Dirac函數(shù)

(3)CDFU占地面積小，放置靈活，運行穩(wěn)定，氣源既可以選擇N 2又可以利用平臺天然氣，對海上平臺適應性強。

聯(lián)合式(13)、式(17)對式(16)進行求解，并在隨機變量空間ΩΘ上積分，得到疲勞損傷隨時間變化的概率密度函數(shù)為

(18)

通過M-H模型建立的概率密度演化方程涉及的隨機變量類型較少，求解過程人為影響因素較少，適用于時變疲勞可靠度分析。

2.3 疲勞概率密度演化方程的數(shù)值求解流程

式(16)的解析解較難獲得，本文采用PDEM數(shù)值方法進行求解，具體計算步驟如下：

Step1代表點的選擇。利用數(shù)論選點法[22]在隨機變量空間ΩΘ內選擇nsel個有效代表點，并將空間ΩΘ離散為nsel個子空間，再對子空間進行積分，得到每個代表點的賦得概率Pq(q=1, 2, …,nsel)。

Step4概率密度的積分求解。利用式(18)積分，獲得隨荷載循環(huán)次數(shù)變化的概率密度函數(shù)。

(19)

3 算例分析

為驗證改進M-H模型和PDEM可靠度計算方法，利用已有材料疲勞數(shù)據(jù)，驗證所提模型預測疲勞壽命精度；通過兩個時變疲勞可靠度分析算例，驗證所提改進M-H模型和可靠度分析方法的有效性。

3.1 疲勞剩余壽命預測

為驗證改進M-H模型在多幅級荷載作用下的合理性，以30CrMnSiA、鋁合金6082T6和動車鋁合金三種材料的試驗數(shù)據(jù)為對象[23-24]，對比Miner模型、M-H模型及改進M-H模型對材料剩余壽命的預測精度。材料參數(shù)B=2/3，β=0.4，結合試驗數(shù)據(jù)，Miner模型、M-H模型和改進M-H模型的計算結果見表1～表3。

表1 兩幅級荷載下30CrMnSiA試驗數(shù)據(jù)及剩余壽命預測結果

表2 兩幅級荷載下動車鋁合金焊接接頭試驗數(shù)據(jù)及剩余壽命預測結果

表3 四幅級荷載下鋁合金6082T6試驗數(shù)據(jù)及剩余壽命預測結果

從表1、表2可知，兩幅級荷載作用下M-H模型和改進M-H模型的預測精度較Miner模型高，且改進M-H模型的預測結果好于M-H模型；在動車鋁合金焊接接頭試驗中，改進M-H模型的預測精度遠高于Miner模型和M-H模型；從表3可知，在鋁合金6082T6四幅級加載實驗中，改進M-H模型的預測精度強于Miner模型和M-H模型。因此，通過不同材料、不同幅級荷載作用下試驗數(shù)據(jù)分析可知，改進M-H模型預測結果與試驗數(shù)據(jù)更相符，其精度優(yōu)于傳統(tǒng)Miner模型和M-H模型。

3.2 PDEM時變疲勞可靠度分析

(1)標準45鋼時變疲勞可靠度分析

文獻[25]針對標準45鋼在三種恒幅荷載(366、331、309 MPa)的疲勞試驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，得出三種恒幅荷載對應的疲勞壽命Nf服從正態(tài)分布：Nf1～N(45 027,9 917)，Nf2～N(151 422,52 286)，Nf3～N(658 944, 209 045)。利用改進M-H模型和PDEM可靠度分析方法對兩幅級循環(huán)荷載(高低(H-L)331 MPa→309 MPa、低高(L-H)331 MPa→366 MPa)的試驗數(shù)據(jù)進行時變疲勞可靠度分析。同時，將Miner、M-H模型和PDEM可靠度方法相結合，進行時變可靠度對比分析，結果如圖2、表4、表5所示。

圖2 不同加載方式下標準45鋼時變疲勞可靠度曲線

表4 H-L工況下標準45鋼時變疲勞可靠度計算對比

表5 L-H工況下標準45鋼時變疲勞可靠度計算對比

從圖2可知，在兩級加載作用時，M-H模型和改進M-H模型得到的時變疲勞可靠度曲線與試驗數(shù)據(jù)擬合較好，而Miner線性模型效果較差，表明改進M-H模型和可靠度計算方法能較好應用于構件時變疲勞可靠度計算。從表4、表5可知，改進M-H模型所得可靠度值與試驗數(shù)據(jù)誤差最小，這主要因為該模型考慮了載荷次序效應和載荷間相互作用效應，可得到更高的計算精度。

(2)螺旋壓縮彈簧時變疲勞可靠度分析

為進一步驗證所提PDEM可靠度分析法的準確性，針對Zaccone開展的螺旋壓縮彈簧疲勞試驗進行分析[26]。該試驗采用三級荷載高低(H-L)加載：435 MPa→360 MPa→320 MPa和三級荷載低高(L-H)加載：320 MPa→360 MPa→435 MPa。三種恒幅荷載的疲勞壽命Nf服從正態(tài)分布，其統(tǒng)計特征從高至低分別為：Nf1～N(64 616,9 692)、Nf2～N(320 222,53 947)、Nf3～N(867 130,156 303)。為對比PDEM方法的計算精度，將改進M-H模型與常用FOSM和MCS結合進行時變可靠度計算，并用MCS計算結果作為參考，使用2范數(shù)相對誤差指標進行評價。

(20)

式中：R(n)代表PDEM或FOSM法得到的時變疲勞可靠度曲線；RMCS(n)代表由MCS計算得到的時變可靠度曲線。計算結果如表6和圖3所示。

表6 不同可靠度分析方法與MCS的相對誤差

圖3 不同疲勞可靠度分析方法在多級荷載作用下的比較

從表6和圖3可知，在H-L加載和L-H加載工況下，PDEM法計算的時變疲勞可靠度曲線與MCS法所得曲線擬合更好，且相對誤差較小，表明在時變疲勞可靠度分析時具有較高精度。應該指出的是，在同一臺個人計算機上，MCS法的計算時間為14 456 s，而PDEM方法的計算時間僅為726 s，PDEM方法的計算時間約為MCS法的1/20。

4 結論

針對非線性時變疲勞可靠度在多幅級加載下計算精度低、傳統(tǒng)時變疲勞可靠度方法計算效率不高的問題，通過改進M-H模型考慮荷載相互作用對疲勞損傷的影響，基于概率密度演化理論建立PDEM時變疲勞可靠度分析方法，并通過疲勞試驗驗證所提方法的適用性，得到如下結論：

(1)基于M-H理論提出可同時考慮加載順序和相互作用影響的非線性疲勞損傷累積模型，與Miner模型和M-H模型相比，所提改進M-H模型能更好表征疲勞損傷演變特征，更適合用于剩余疲勞壽命預測。

(2)基于改進M-H模型和概率密度演化理論，建立PDEM非線性時變疲勞可靠度分析方法，與傳統(tǒng)可靠度分析方法相比，所需的隨機變量類型少，人為影響小。

(3)通過實驗算例表明，改進M-H模型和PDEM可靠度分析方法計算精度好于Miner模型和原M-H模型，且計算效率是MCS法的20倍。為此，在多幅級加載情況下，所提改進M-H模型和PDEM可靠度分析方法計算效率快、精度高，可更好適應實際工程的需求。