一類Ornstein-Uhlenbeck算子的狄利克雷問題*

2022-05-10 00:50王愉靖

南寧師范大學學報(自然科學版) 2022年1期

王愉靖

(廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西桂林 541006)

1 引言

偏微分方程自十八世紀發(fā)展至今，其內容在廣度和深度上不斷拓展，應用范圍日益廣泛.偏微分方程可以描述許多實際問題，在醫(yī)學、生物學、物理學、化學、環(huán)保、農業(yè)甚至是經(jīng)濟等領域發(fā)揮著非常重要的作用. 偏微分方程中有三類典型的方程，橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程以及雙曲型偏微分方程，其中的橢圓型偏微分方程的弱解的存在性問題一直是研究的熱門話題. 證明橢圓型偏微分方程的弱解的存在性的方法有很多，例如變分法、拓撲度法、Galerkin近似法、單調算子法等等.其中單調算子法是證明非線性橢圓型偏微分方程弱解的存在性的一種比較常用的方法，該方法主要運用于具有單調性結構的方程.單調算子理論起初由Browder F. E.[1]提出，隨后Leray J.和Lions J. L.在[1]的基礎上得到一個新的算子——Leray-Lious算子[2].

令Ω為N的有界開集,N≥2,考慮一類非線性橢圓方程

(1)

(1) 對于幾乎所有的x∈Ω,a(x, )在N上是連續(xù)的；

(2) 對于?ξ∈N，a(,ξ)在Ω上是可測的.

函數(shù)a(x,ξ)滿足Leray-Lious算子的假設，即滿足，對幾乎每個x∈Ω，?ξ,η∈N,ξ≠η有

上述假設也稱為單調性假設.

1965年Leray J.和Lions J. L.在文獻[2]中得到了方程

(2)

(3)

的解的問題被多個作者在不同的空間在f的多種形式下討論過[2-5].

1989年Boccardo[3]研究了具有低階項的狄利克雷問題

(4)

其中f∈L1(Ω),g是非線性的低階項, 且滿足g(x,?u)·u≥0,的弱解的存在性.該文主要是通過求解近似問題來完成證明的.它首先構造近似問題，然后得到近似解的估計，最后由極限過程得到結果.此外文章[7，8，9]也討論了此類方程的解的問題.

本文在前人工作的基礎上研究一類Ornstein-Uhlenbeck[10，11]算子的狄利克雷問題

(5)

其中f∈Lp(Ω)是給定的已知函數(shù).

本章內容主要分為三步：首先利用Galerkin近似法構造近似解，其次根據(jù)Minty法和條件[2]得到弱解的存在性和唯一性，最后運用截斷函數(shù)證明弱解的連續(xù)性.

2 預備知識

本節(jié)主要介紹用到的定義、性質以及定理.在本文Ω為N的有界開區(qū)域，對于x=(x1,x2,…,xN)∈Ω，記函數(shù)u=u(x)和f=f(x)均為Ω到的實值函數(shù)；記?u=(?1u,?2u,…,?Nu).

定義2.1[13]設u為Ω?N上的可測函數(shù)，定義u的Lp范數(shù)為

un→u，在Lp(Ω)中.

則稱un在Lp(Ω)中弱收斂于u,記作

un?u，在Lp(Ω)中.

定義2.4[13]設m為正整數(shù),1≤p≤∞,定義u的范數(shù)為

ab≤εap+c(ε)bq,

定理2.8[15]設Ω為N的有界開集，假設∞,則

其中C僅與p、N、Ω有關.

引理2.9[15]假設函數(shù)V∶N→N，滿足V(x)x≥0,|x|=r,對于一些r>0,則存在一個點x∈(0,r),使得V(x)=0.

引理2.10假設e1,e2,e3,…,eN∈，則有

此引理的不等式就是熟知的均值不等式.

3 弱解的存在性與唯一性

則稱u為方程(5)的弱解.

(6)

(7)

命題3.3[15]對于每個整數(shù)m=1,2,…，存在等式(6)的函數(shù)um滿足等式(7).

證明引入光滑函數(shù)V∶m→m,V=(v1,v2,…,vm)，

(8)

其中每個點d=(d1,d2,…,dm).現(xiàn)在

計算逼近均方根誤差(Root Mean Square Error or Approximation, RMSEA)[12]和卡方(卡方/自由度，Chi-Square/Degree of Freedom)[13]用于驗證所建立的結構化模型的適用性。RMSEA≤0.05則表明模型適用，而當其值近似為0.08或更少仍然意味著合理的逼近誤差。相應的CMIN/DF值<3表示模型適用。