苗 雨，趙希梅

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，沈陽 110870)

0 引 言

永磁直線同步電機(jī)(以下簡稱PMLSM)具有效率高、推力大、響應(yīng)快等優(yōu)點(diǎn)，近年來在航空航天、數(shù)控機(jī)床、機(jī)器人設(shè)備和半導(dǎo)體加工制造等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。直接推力控制(以下簡稱DTFC)是將旋轉(zhuǎn)電機(jī)中的直接轉(zhuǎn)矩控制延伸到直線電機(jī)上的一種控制策略[3]。DTFC直接對磁鏈和推力進(jìn)行控制，與矢量控制相比結(jié)構(gòu)更簡單，速度響應(yīng)更快，是軌道交通和運(yùn)輸領(lǐng)域的首選[4-5]。DTFC系統(tǒng)具有快速的響應(yīng)和良好的魯棒性，但由于其穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)量較大，無法使系統(tǒng)的跟蹤精度滿足高性能要求[6]。因此，設(shè)計(jì)一種既可以保留DTFC快速響應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)，又具有較小速度和推力脈動的控制器，使系統(tǒng)獲得更好的跟蹤性能，對實(shí)現(xiàn)PMLSM的高精度高速度控制具有重要意義。

近年來，國內(nèi)外專家學(xué)者為提高PMLSM的控制性能，進(jìn)行了大量的研究。滑?？刂?以下簡稱SMC)具有廣泛的應(yīng)用，但由于其控制的不連續(xù)性，存在抖振問題，通常需要與其他方法結(jié)合才能達(dá)到更好的控制效果[7]。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于新型趨近律的SMC，能避免開關(guān)增益持續(xù)增大，該方法可在一定程度上削弱SMC的抖振問題，并提高DTFC系統(tǒng)的魯棒性能，但系統(tǒng)仍存在較大的推力脈動。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一種帶有分?jǐn)?shù)階PIαDβ型滑模面用于永磁同步電動機(jī)調(diào)速系統(tǒng)，通過分?jǐn)?shù)階微積分算子特有的記憶特性和遺傳特性抑制了抖振問題，但系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)能力較差。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)變階次的積分滑?？刂品椒?，該方法具有更加快速的動態(tài)響應(yīng)速度，但選用傳統(tǒng)的積分滑模面使系統(tǒng)仍存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差。文獻(xiàn)[11]在廣義滑模面的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)互補(bǔ)滑模面，可以提高系統(tǒng)的位置跟蹤精度，并降低不確定性對系統(tǒng)運(yùn)行的不良影響，但SMC的抖振問題仍未得到較好的解決。文獻(xiàn)[12]將互補(bǔ)滑?？刂坪椭悄芸刂浦械牡鷮W(xué)習(xí)相結(jié)合，該方法能夠有效抑制不確定性對系統(tǒng)的影響，從而加快控制器的收斂速度，提高收斂精度。

為使DTFC系統(tǒng)的速度跟蹤能力得到進(jìn)一步提高，本文設(shè)計(jì)了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能分?jǐn)?shù)階互補(bǔ)滑?？刂?以下簡稱IFOCSMC)方法。首先，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階廣義滑模面和分?jǐn)?shù)階互補(bǔ)滑模面，分?jǐn)?shù)階微積分算子具有濾波特性和緩慢傳遞能量的特點(diǎn)，分?jǐn)?shù)階互補(bǔ)滑模面既可以削弱SMC的抖振問題，又能夠減小DTFC的推力脈動，同時(shí)也增加了運(yùn)算自由度，減小系統(tǒng)跟蹤誤差的同時(shí)，也有較強(qiáng)的抗干擾能力。其次，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)受到的擾動和未建模部分進(jìn)行在線逼近，進(jìn)一步提高系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)能力和抗干擾能力。仿真結(jié)果表明，該方法可以有效地加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減小穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)速度跟蹤性能得到明顯的提高。

1 PMLSM數(shù)學(xué)模型

d-q坐標(biāo)系下的PMLSM電壓方程：

(1)

式中：ud，uq，id，iq，ψd，ψq分別為d，q軸電壓、電流和和磁鏈；ωr為磁鏈?zhǔn)噶康慕撬俣?；Rs為動子電阻。

磁鏈?zhǔn)噶康慕撬俣龋?/p>

(2)

式中：p為極對數(shù)；τ為極距；v為動子機(jī)械速度。

磁鏈方程：

(3)

式中：Ld，Lq為d，q軸電感；ψf為永磁體磁鏈。

磁路對稱時(shí)Ls=Ld=Lq，PMLSM的電磁推力表達(dá)式：

(4)

式中：Fe為電磁推力；ψs為定子磁鏈；δ為ψs和ψf的夾角；kf為電磁推力系數(shù)。

機(jī)械運(yùn)動方程：

(5)

式中：M為動子質(zhì)量；B為粘滯摩擦系數(shù)；F為系統(tǒng)所受擾動的負(fù)載力。

2 基于IFOCSMC的DTFC系統(tǒng)

PMLSM的DTFC系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 PMLSM的DTFC系統(tǒng)框圖

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分

(6)

式中：a和t是積分算子的上下限；α為微分算子的階次；R(α)是α的實(shí)部。當(dāng)不涉及上下限問題時(shí)可簡寫為Dα。

RL型分?jǐn)?shù)階微積分定義：

(7)

式中：n取整數(shù)，且m-1<αa,Γ(z)為Gamma函數(shù)。

由于分?jǐn)?shù)階微積分的值無法得到精確數(shù)值解，故采用Oustaloup濾波器來逼近。設(shè)(wb,wh)為選定的擬合頻率段，該濾波器的傳遞函數(shù)：

(8)

該濾波器的零極點(diǎn)和增益求解公式：

wk=wbwu(2k-1+α)/n

(9)

w′k=wbwu(2k-1-α)/n

(10)

K=whα

(11)

為提高濾波器在wh和wb邊界附近的擬合效果，引入改進(jìn)的Oustaloup濾波器：

(12)

式中：wk≈(bwh/d)(α+2k)/(2n+1)，w′k≈(dwh/b)(α-2k)/(2n+1)，加權(quán)參數(shù)b=10，d=9。

2.2 FOCSMC設(shè)計(jì)

當(dāng)不考慮擾動即F=0時(shí)，電機(jī)的理想運(yùn)動方程可改寫：

(13)

式中：An=-B/M，Bn=Kf/M，u為控制器輸出。

電機(jī)在實(shí)際運(yùn)行時(shí)會受到不確定性的干擾，當(dāng)考慮擾動即F≠0時(shí)，電機(jī)運(yùn)動方程可改寫：

Anv+Bnu+H

(14)

H=ΔAv+ΔBu+(Cn+ΔC)F

(15)

式中：Cn=-1/M；ΔA,ΔB和ΔC為M和B引起的擾動變化量；H為總擾動，H未知但有界。

互補(bǔ)滑模控制(以下簡稱CSMC)具有較強(qiáng)的魯棒性，并且增加的互補(bǔ)滑模面能使系統(tǒng)具有更高的跟蹤精度，分?jǐn)?shù)階互補(bǔ)滑模控制(以下簡稱FOCSMC)是在CSMC的基礎(chǔ)上，將兩個(gè)滑模面中的整數(shù)階微積分替換為分?jǐn)?shù)階微積分，削弱抖振問題、減小推力脈動的同時(shí)，增加了運(yùn)算自由度，能夠進(jìn)一步提高PMLSM控制系統(tǒng)的速度跟蹤能力。

定義速度跟蹤誤差：

e=v*-v

(16)

式中：e為速度跟蹤誤差；v*和v分別為給定速度輸入和實(shí)際速度輸出。

FOCSMC的滑模面定義：

S=S1+S2

(17)

S1=Dαe+2λe+λ2D-αe

(18)

S2=Dαe-λ2D-αe

(19)

式中：Dα為分?jǐn)?shù)階微積分算子；α和λ都為正常數(shù)。

分別對式(18)和式(19)兩邊求取α階導(dǎo)數(shù)，可得：

DαS1=D2αe+2λDαe+λ2e

(20)

DαS2=D2αe-λ2e

(21)

結(jié)合式(17)～式(19)可得：

S=S1+S2=2(Dαe+λe)

(22)

將式(22)與式(20)和式(21)聯(lián)立可確定S1和S2的關(guān)系：

DαS1-DαS2=2λ(Dαe+λe)=λS

(23)

定義Lyapunov函數(shù)：

(24)

引理1：設(shè)x(t)∈Rn是一個(gè)可微函數(shù)的向量，對于t≥t0的任意時(shí)刻，以下關(guān)系成立[13]：

(25)

結(jié)合引理1和式(18)～式(21)，求取式(24)的α階導(dǎo)數(shù)可得:

DαV1≤S1DαS1+S2DαS2≤

S1DαS1+S2(DαS1-λS)=

S1DαS1+S2(DαS1-λS1-λS2)=

(S1+S2)(DαS1-λS2)=

S(D2αe+2λDαe+λ2e-λS2)=

2λDαe+λ2e-λS2]

(26)

FOCSMC的控制律u由等效控制ueq和切換控制usw兩部分構(gòu)成，F(xiàn)OCSMC的控制律表示：

u=ueq+usw

(27)

兩部分分別設(shè)計(jì)：

λ2D1-2αe+λD1-2αS1)=

(28)

(29)

式中：sat(·)為飽和函數(shù)；Φ>0為邊界層厚度，具體表示：

(30)

由于傳統(tǒng)的符號函數(shù)具有不連續(xù)控制的特性，故將符號函數(shù)替換為近似連續(xù)控制的飽和函數(shù)，可使SMC的抖振得到進(jìn)一步削弱。將式(27)、式(28)和式(25)代入式(22)中，可以得到：

(31)

由式(31)可得該控制器滿足Lyapunov穩(wěn)定性定理。

2.3 IFOCSMC設(shè)計(jì)

系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，干擾會對跟蹤性能有不良影響。利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線逼近系統(tǒng)受到的擾動，對系統(tǒng)未建模部分進(jìn)行補(bǔ)償，進(jìn)一步提高系統(tǒng)的控制性能。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單，逼近能力強(qiáng)，可以避免局部最優(yōu)的問題，并且具有較快的訓(xùn)練速度，結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入為速度誤差和誤差的變化率，表示：

(32)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)為高斯函數(shù)，定義：

(33)

式中：ci為隱含層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)函數(shù)的中心，σi為第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)函數(shù)的基寬參數(shù)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為每個(gè)隱含層神經(jīng)元的輸出值與對應(yīng)的連接權(quán)重的加權(quán)之和，表示：

(34)

式中：n為隱含層節(jié)點(diǎn)的數(shù)量；ωi為連接權(quán)值。

定義RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出：

uR=WTφ

(35)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重調(diào)整的自適應(yīng)律：

W=-η(S1+S2)φ

(36)

式中:η為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重自適應(yīng)系數(shù)。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出存在一個(gè)理想的最優(yōu)值：

uR*=W*Tφ+ε

(37)

IFOCSMC的結(jié)構(gòu)如圖3所示。系統(tǒng)總控制律可寫成：

u=ueq+usw+uR

(38)

定義Lyapunov函數(shù)：

(39)

結(jié)合式(36)和式(38)可得：

(40)

由式(40)可得，IFOCSMC方法滿足Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)。

圖3 IFOCSMC原理框圖

3 仿真結(jié)果分析

為了證明本文方法的有效性,對基于IFOCSMC的PMLSM DTFC系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，并與使用CSMC和FOCSMC的系統(tǒng)仿真運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行對比。選用的PMLSM參數(shù):M=16.4 kg，τ=32 mm，Rs=2.1 Ω，ψf=0.09 Wb，B=8.0 N·s/m，p=3，Ld=Lq=27 mH。IFOCSMC的參數(shù)：ρ=12，η=0.5，α=0.24，λ=95，Φ=0.002，CSMC和FOCSMC的參數(shù)與IFOCSMC一致。

電機(jī)空載起動，在0時(shí)輸入幅值±600 mm/s的1.2 Hz方波信號作為速度給定信號，并在電機(jī)動子上施加如圖4所示的非周期性變化擾動。圖5為三種方法的速度響應(yīng)曲線。從圖5可以看出，采用CSMC方法時(shí)，當(dāng)輸入速度指令后，系統(tǒng)首次到達(dá)給定速度并穩(wěn)定運(yùn)行的時(shí)間約為0.08 s，速度超調(diào)較大，約為給定速度的6.8%，在1.3 s動子受到較大的負(fù)載擾動時(shí)，穩(wěn)定運(yùn)行速度有52 mm/s的下降，整體速度曲線存在明顯抖振，并且在負(fù)載增大時(shí)抖振問題更加嚴(yán)重。采用FOCSMC方法時(shí)，系統(tǒng)開始穩(wěn)定運(yùn)行的時(shí)間約為0.06 s，超調(diào)量和抖振都有明顯減小，受到負(fù)載擾動時(shí)，運(yùn)行速度下降18 mm/s。采用IFOCSMC方法時(shí)，系統(tǒng)開始穩(wěn)定運(yùn)行的時(shí)間約為0.03 s，基本無超調(diào)和抖振，并且當(dāng)動子受到負(fù)載擾動時(shí)速度曲線基本無波動。

圖4 非周期性擾動曲線

圖5 三種方法的系統(tǒng)速度響應(yīng)曲線

圖6為三種方法的速度誤差曲線。從圖6可以看出，當(dāng)電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，CSMC方法的系統(tǒng)速度跟蹤誤差范圍為-4 mm/s～11.8 mm/s，約為給定速度的1.3%。FOCSMC方法的誤差范圍為-1.8 mm/s～5.6 mm/s，約為給定速度的0.6%。IFOCSMC方法的誤差范圍為-1.2 mm/s～2.4 mm/s，約為給定速度的0.3%，與前兩種方法相比有明顯減小。對比速度跟蹤誤差曲線可知，當(dāng)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，IFOCSMC方法速度跟蹤誤差更小并且控制更加平滑。

圖6 三種方法的系統(tǒng)速度跟蹤誤差曲線

圖7為三種方法的電磁推力曲線。從圖7可以看出，在給定速度指令突變時(shí)，IFOCSMC方法的瞬間最大電磁推力較CSMC方法和FOCSMC方法相比有明顯增大，更大的電磁推力可使系統(tǒng)迅速作出響應(yīng)，到達(dá)穩(wěn)態(tài)后IFOCSMC方法的推力脈動也較小。

圖7 三種方法的系統(tǒng)電磁推力曲線

圖8為兩種方法第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)滑模函數(shù)的軌跡。與FOCSMC方法對比可以看出，IFOCSMC方法的滑模曲線能夠提前約0.03 s收斂到穩(wěn)態(tài)，說明該方法能夠加快系統(tǒng)的跟蹤速度。

圖8 兩種方法的滑模收斂曲線

通過上述仿真運(yùn)行結(jié)果的對比可以看出，IFOCSMC方法能夠有效抑制抖振，減小推力脈動，使系統(tǒng)在抗干擾能力和速度跟蹤性能上都更為出色。

4 結(jié) 語

為提高PMLSM的DTFC系統(tǒng)的速度跟蹤能力，本文設(shè)計(jì)了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的IFOCSMC方法。該方法利用分?jǐn)?shù)階互補(bǔ)滑模面削弱抖振并抑制推力脈動，減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對擾動進(jìn)行補(bǔ)償，進(jìn)一步加快了系統(tǒng)的跟蹤速度并提高抗干擾能力。仿真結(jié)果表明，該方法能使系統(tǒng)具有更快的動態(tài)響應(yīng)速度、更小的穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)的抗干擾能力和速度跟蹤能力得到了明顯的提高。