秦清海，汲柏良

(曲阜師范大學(xué) 工學(xué)院，日照 276800)

0 引 言

傳統(tǒng)的聯(lián)軸器存在對(duì)中問題，若對(duì)中不良，將導(dǎo)致振動(dòng)與噪聲過大、轉(zhuǎn)軸彎曲以及軸承磨損等一系列故障，嚴(yán)重降低設(shè)備的可靠性，增加維修費(fèi)用。為提高聯(lián)軸器的可靠性，有學(xué)者提出了一種基于磁力傳動(dòng)的磁性聯(lián)軸器。由于該新型磁性聯(lián)軸器具有物理隔離性好、無機(jī)械接觸、可過載保護(hù)以及可靠性高的優(yōu)勢(shì)，已成功應(yīng)用于石油化工、半導(dǎo)體、生物醫(yī)藥等行業(yè)[1-2]。常見的磁性聯(lián)軸器有兩種，分別是同軸磁性聯(lián)軸器和平面磁性聯(lián)軸器。

在磁性聯(lián)軸器的理論分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，許多學(xué)者進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[3]介紹了同軸磁性聯(lián)軸器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并分析了影響其最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩的因素。文獻(xiàn)[4]針對(duì)磁力泵聯(lián)軸器推導(dǎo)出其由于端部漏磁損失的轉(zhuǎn)矩值，為樣機(jī)的研制過程提供了參考。文獻(xiàn)[5]將一種兩段式 Halbach永磁陣列應(yīng)用于同軸磁性聯(lián)軸器，在同等條件下Halbach陣列磁性聯(lián)軸器的最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩提高了23.8%。理論證明該結(jié)構(gòu)的磁性聯(lián)軸器無需軛鐵，可有效減小轉(zhuǎn)動(dòng)部件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，縮短啟動(dòng)時(shí)間。文獻(xiàn)[6]等推導(dǎo)了一種理想徑向Halbach轉(zhuǎn)子磁性聯(lián)軸器的三維解析轉(zhuǎn)矩方程，得出了峰值轉(zhuǎn)矩的產(chǎn)生條件。

有限元方法可有效應(yīng)用于復(fù)雜電磁場(chǎng)問題的求解，但隨著網(wǎng)格剖分精度的提高，會(huì)出現(xiàn)計(jì)算效率低的問題。有限元方法和其它優(yōu)化算法結(jié)合，用于各種電機(jī)拓?fù)涞膬?yōu)化設(shè)計(jì)，是當(dāng)下研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[7]將響應(yīng)曲面法與遺傳算法相結(jié)合對(duì)微型電動(dòng)車驅(qū)動(dòng)電機(jī)的成本進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]提出了基于自適應(yīng)網(wǎng)格的有限元方法，采用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)不同類型的電機(jī)拓?fù)溥M(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[9]基于多目標(biāo)粒子群算法對(duì)一臺(tái)永磁同步電機(jī)的效率、功率因數(shù)以及起動(dòng)性能進(jìn)行了優(yōu)化。

本文將一種三段式Halbach陣列應(yīng)用于同軸磁性聯(lián)軸器中，利用響應(yīng)曲面法建立了永磁體轉(zhuǎn)矩密度與磁性聯(lián)軸器總體積的復(fù)合性能函數(shù)，并基于模擬退火(以下簡(jiǎn)稱SA)算法對(duì)最優(yōu)復(fù)合性能函數(shù)進(jìn)行求解，得到了最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)組合。仿真結(jié)果表明，優(yōu)化后磁性聯(lián)軸器永磁體的轉(zhuǎn)矩密度得到了較大幅度的提升，磁性聯(lián)軸器的總體積有所減小，驗(yàn)證了本文優(yōu)化方案的有效性。

1 三段式Halbach陣列

傳統(tǒng)的同軸磁性聯(lián)軸器主要由內(nèi)、外轉(zhuǎn)子磁齒輪以及固定于其表面的永磁體組成，其中永磁體采用徑向充磁方式，即N，S極交替排列的形式。圖1給出了同軸磁性聯(lián)軸器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及重要尺寸標(biāo)注。本文以一臺(tái)功率等級(jí)為10 kW的同軸磁性聯(lián)軸器為例進(jìn)行說明，其技術(shù)指標(biāo)如表1所示。其中，外轉(zhuǎn)子磁齒輪、內(nèi)轉(zhuǎn)子磁齒輪分別作為主動(dòng)軸與從動(dòng)軸，外轉(zhuǎn)子永磁體生成的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)與內(nèi)轉(zhuǎn)子永磁體生成的磁場(chǎng)相互作用，驅(qū)動(dòng)內(nèi)轉(zhuǎn)子與外轉(zhuǎn)子同方向旋轉(zhuǎn)。為應(yīng)對(duì)過載等不同工況，設(shè)定過載倍數(shù)為1.5，則該設(shè)計(jì)的最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩為286.5 N·m。

圖1 同軸磁性聯(lián)軸器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及相關(guān)參數(shù)

表1 10 kW同軸磁性聯(lián)軸器的技術(shù)指標(biāo)

Halbach陣列是一種新型的永磁體排列方式，它通過將充磁方向不同的永磁體按照一定順序排列，可使氣隙側(cè)的磁場(chǎng)強(qiáng)度增強(qiáng)，達(dá)到節(jié)省永磁體材料、提高轉(zhuǎn)矩密度的目的。本文采用的三段式Halbach陣列如圖2所示。其中每個(gè)磁極都由一塊徑向充磁和兩塊充磁角度與其成45°的永磁體組成。

圖2 徑向充磁及三段式Halbach陣列

下面對(duì)采用Halbach陣列以及傳統(tǒng)的徑向充磁方式的同軸磁性聯(lián)軸器性能進(jìn)行了比較。根據(jù)有限元仿真實(shí)驗(yàn)，首先確定滿足設(shè)計(jì)要求下使用徑向充磁方式的技術(shù)指標(biāo)各參數(shù)的初始值，如表2所示。保持表2中參數(shù)不變，將充磁方式改為Halbach陣列，采用兩種不同充磁方式的磁性聯(lián)軸器的磁力線分布對(duì)比如圖3所示?？梢钥闯?，采用三段式Halbach陣列后，內(nèi)外轉(zhuǎn)子鐵心部分磁力線大部分集中在氣隙側(cè)，氣隙側(cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度得到了加強(qiáng)，永磁體的利用率得到了顯著提高。

表2 各參數(shù)的初始值

圖3 兩種充磁方式磁力線分布對(duì)比

圖4和圖5分別給出了兩種充磁方式下的氣隙磁密與其傅里葉分解的諧波對(duì)比圖。

由圖4可以看出，采用三段式Halbach陣列之后氣隙的徑向磁密與切向磁密幅值均有所上升，并且徑向磁密與切向磁密波形都具有8個(gè)波峰，這也說明了內(nèi)外轉(zhuǎn)子的磁極對(duì)數(shù)為8。

圖4 兩種充磁方式氣隙磁密波形對(duì)比

由圖5可以看出，兩種充磁方式下的氣隙磁密的諧波分量主要集中在基波(8對(duì)極)及其奇數(shù)倍諧波，而偶數(shù)次諧波含量很低。采用Halbach陣列后，徑向諧波分量中除基波分量外，3次(24對(duì)極)、7次(56對(duì)極)、9次(72對(duì)極)以及13次(104對(duì)極)諧波幅值也有所增加。而切向諧波分量中除基波分量外，7次(56對(duì)極)、13次(104對(duì)極)諧波幅值增加較為明顯。

圖5 兩種充磁方式氣隙磁場(chǎng)諧波對(duì)比

為定量研究三段式Halbach陣列對(duì)氣隙磁密的影響，表3給出了兩種充磁方式下幅值最高的前5組諧波徑向與切向分量的幅值。

表3 兩種充磁方式下各次諧波分量徑向/切向磁密幅值

正弦波的波形質(zhì)量通常用諧波畸變率THD衡量，其表達(dá)式：

(1)

式中：Bi為氣隙磁密的各次諧波幅值；B1為氣隙磁密的基波幅值。

由圖5可以看出，前9次諧波已經(jīng)占據(jù)了諧波含量的絕大部分。由式(1)可計(jì)算兩種充磁方式下前9次諧波的徑向與切向分量的諧波畸變率。經(jīng)過計(jì)算，采用三段式Halbach陣列之后，徑向分量的諧波畸變率由12.35%降低為5.27%，切向分量的諧波畸變率由73.24%降低為27.72%。這說明采用三段式Halbach陣列可有效提升氣隙磁密波形的正弦性。

磁場(chǎng)耦合在內(nèi)轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生的磁力轉(zhuǎn)矩可由麥克斯韋張量法求得[10]：

(2)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；Lef為聯(lián)軸器的軸向長(zhǎng)度；Rδ為氣隙半徑；Br、Bt分別為氣隙磁密的徑向與切向分量；θ為觀測(cè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極角。

圖6給出了采用徑向充磁與三段式Halbach陣列的聯(lián)軸器內(nèi)轉(zhuǎn)子靜態(tài)轉(zhuǎn)矩波形?？梢钥闯?，在相同的尺寸參數(shù)下，采用徑向充磁方式的內(nèi)轉(zhuǎn)子最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩為286.5 N·m，而采用三段式Halbach陣列后最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩達(dá)到了369.7 N·m，提升了接近29%，說明采用三段式Halbach陣列可有效提升同軸磁性聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)矩密度。

圖6 兩種充磁方式靜態(tài)轉(zhuǎn)矩對(duì)比

2 優(yōu)化參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)選取

針對(duì)同軸磁性聯(lián)軸器的性能要求，一方面應(yīng)在保證轉(zhuǎn)矩性能達(dá)到要求的前提下盡量減少永磁體用量，提高其轉(zhuǎn)矩密度、降低成本；二是受應(yīng)用場(chǎng)景的限制，其總體體積不能過大，應(yīng)設(shè)法提高其空間利用率。為此，選取磁性聯(lián)軸器永磁體的轉(zhuǎn)矩密度D以及磁性聯(lián)軸器的總體積V作為待優(yōu)化目標(biāo)。

永磁體轉(zhuǎn)矩密度D的計(jì)算公式如下：

(3)

式中：Tin為同軸磁性聯(lián)軸器內(nèi)轉(zhuǎn)子的最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩；VPM_in、VPM_out分別表示內(nèi)、外轉(zhuǎn)子永磁體的體積，其計(jì)算公式如下：

VPM_in=πLef[(Rc-bout-hout-δ)2-

(Rc-bout-hout-δ-hin)2]

(4)

VPM_out=πLef[(Rc-bout)2-(Rc-bout-hout)2]

(5)

式中：Rc、Lef分別為同軸磁性聯(lián)軸器的外轉(zhuǎn)子半徑與軸向長(zhǎng)度；hin、hout分別內(nèi)外轉(zhuǎn)子的永磁體厚度；bin、bout分別內(nèi)外轉(zhuǎn)子的鐵心厚度；δ為氣隙長(zhǎng)度。

同軸磁性聯(lián)軸器總體積V的計(jì)算公式如下：

(6)

最終選取待優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量為同軸磁性聯(lián)軸器外轉(zhuǎn)子半徑Rc、軸向長(zhǎng)度Lef以及內(nèi)、外轉(zhuǎn)子永磁體的厚度hin、hout。

其次，采用三段式Halbach陣列后，為達(dá)到相同的轉(zhuǎn)矩性能，對(duì)表2中的數(shù)值進(jìn)行了初步優(yōu)化，如表4所示?？梢钥闯觯谙嗤霓D(zhuǎn)矩性能下采用三段式Halbach陣列之后，同軸磁性聯(lián)軸器的軸向長(zhǎng)度由90 mm減少為80 mm，永磁體厚度由5 mm減少為4.5 mm，通過進(jìn)一步計(jì)算，永磁體的用量由0.313 8 dm3減少為0.243 7 dm3，減少了22.3%。

表4 各參數(shù)的初步優(yōu)化值

3 基于響應(yīng)曲面法的復(fù)合性能函數(shù)建模

響應(yīng)曲面法(以下簡(jiǎn)稱RSM)是一種基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的優(yōu)化方法，它通過合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)以及較少的實(shí)驗(yàn)次數(shù)來獲取較多的有效信息，RSM被廣泛應(yīng)用于機(jī)電設(shè)備的優(yōu)化設(shè)計(jì)中[11-13]。

RSM實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)由下式確定：

N=2m+2m+1

(7)

式中：m=4為待優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)，N=25為RSM實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)。

基于表2中各參數(shù)的初始值，使用有限元軟件ANSYS進(jìn)行RSM實(shí)驗(yàn)，建立各優(yōu)化目標(biāo)與待優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量之間的二次回歸(以下簡(jiǎn)稱QR)模型：

(8)

式中：f1(x)、f2(x)為目標(biāo)函數(shù)，分別表示永磁體的轉(zhuǎn)矩密度D、同軸磁性聯(lián)軸器總體積V的倒數(shù)的預(yù)測(cè)值；x為由待設(shè)計(jì)變量組成的設(shè)計(jì)向量，即：x= [x1,x2,x3,x4]= [Rc,Lef,hin,hout]；α0、αm、αmn、β0、βm、βmn為回歸系數(shù)；κ1、κ2為隨機(jī)誤差。

圖7給出了設(shè)計(jì)變量關(guān)于轉(zhuǎn)矩密度D的響應(yīng)結(jié)果。

圖7 各設(shè)計(jì)變量關(guān)于轉(zhuǎn)矩密度D的響應(yīng)結(jié)果

圖8給出了使用RSM與QR方法得出的永磁體轉(zhuǎn)矩密度D與同軸磁性聯(lián)軸器總體積倒數(shù)V-1的對(duì)比圖。判定系數(shù)R2定義為回歸變量的回歸平方和與總離差平方和的比值，其數(shù)值越接近1說明回歸精度越高。經(jīng)過計(jì)算，兩者的判定系數(shù)分別為0.993 6與0.999 6，均高于0.99，說明回歸精度較高，結(jié)果較理想。

圖8 擬合結(jié)果對(duì)比

引入復(fù)合性能函數(shù)F(x)，根據(jù)圖7的實(shí)驗(yàn)結(jié)果確定各設(shè)計(jì)參數(shù)的取值范圍，將研究問題轉(zhuǎn)化為下式的單目標(biāo)非線性規(guī)劃問題：

maxF(x)=max[w1γ1f1(x)+w2γ2f2(x)+

λΦ-1(x,Tin0)]

(9)

式中：F(x)為復(fù)合性能函數(shù)，它綜合考慮了設(shè)計(jì)變量對(duì)各性能指標(biāo)的影響；w1、w2表示權(quán)重系數(shù)，且有w1+w2=1；γ1；γ2表示尺度系數(shù)，用于平衡不同性能指標(biāo)之間量綱與量級(jí)的差異性；λΦ-1(x,Tin0)為懲罰項(xiàng)，用于將含函數(shù)約束(即目標(biāo)轉(zhuǎn)矩約束)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無函數(shù)約束最優(yōu)化問題；λ為懲罰因子；Φ-1(x,Tin0)為懲罰函數(shù)，其表達(dá)式如下：

(10)

式中：f3為內(nèi)轉(zhuǎn)子最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩的預(yù)測(cè)值，其形式與式(8)中f1、f2的形式一致；Tin0為內(nèi)轉(zhuǎn)子最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩的目標(biāo)值，此處取值為286.5 N·m。

尺度系數(shù)γ1、γ2的計(jì)算公式如下式：

(11)

(12)

式中：Dmax、Dmin分別表示RSM實(shí)驗(yàn)中永磁體轉(zhuǎn)矩密度D的最大值、最小值；Vmax、Vmin分別表示RSM實(shí)驗(yàn)中同軸磁性聯(lián)軸器總體積V的最大值、最小值。

由于優(yōu)化目標(biāo)永磁體轉(zhuǎn)矩密度擬合結(jié)果的判定系數(shù)低于總體體積的倒數(shù)，因此給予前者較小的權(quán)重系數(shù)值，以降低回歸精度較低帶來的誤差，表5給出了權(quán)重系數(shù)與尺度系數(shù)的取值。

表5 權(quán)重系數(shù)與尺度系數(shù)的取值

4 SA算法尋優(yōu)

SA算法相對(duì)于傳統(tǒng)的優(yōu)化算法能夠以一定的概率接受比當(dāng)前解要差的解，因此有較大可能性跳出局部最優(yōu)解，達(dá)到全局最優(yōu)解。且該法計(jì)算過程簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)，可用于復(fù)雜非線性規(guī)劃問題的求解[14-15]。由于SA算法擅長(zhǎng)無函數(shù)約束的目標(biāo)優(yōu)化問題，故在式(9)中引入了懲罰函數(shù)項(xiàng)，將其轉(zhuǎn)化為無函數(shù)約束的優(yōu)化問題。設(shè)置迭代次數(shù)為1 000次，適應(yīng)度函數(shù)取為-F(x)，懲罰因子λ=0.01，使用SA算法對(duì)式(9)進(jìn)行求解。圖9給出了當(dāng)前適應(yīng)度函數(shù)與最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)的優(yōu)化迭代過程?？梢钥闯?，在第500代時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)就已經(jīng)收斂，最終的適應(yīng)度函數(shù)為-2 832.65。

圖9 適應(yīng)度函數(shù)的優(yōu)化迭代過程

本文的同軸磁性聯(lián)軸器的優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖如圖10所示。

圖10 本文優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖

表6給出了使用SA算法優(yōu)化前后各參數(shù)的值，其中值3為優(yōu)化后各參數(shù)的值?？梢钥闯觯捎萌问紿albach陣列的聯(lián)軸器經(jīng)優(yōu)化后，內(nèi)、外轉(zhuǎn)子永磁體厚度有所增加，但軸向長(zhǎng)度由80 mm減小為74.83 mm。

表6 各參數(shù)優(yōu)化前后對(duì)比

圖11 優(yōu)化后磁性聯(lián)軸器各性能指標(biāo)對(duì)比

圖11對(duì)圖10的設(shè)計(jì)流程各性能指標(biāo)優(yōu)化前后進(jìn)行了比較?？梢钥闯?，永磁體轉(zhuǎn)矩密度由1 395.4 kN·m/m3提升至1 405.1 kN·m/m3，總體積由0.905 dm3減小為0.831 dm3，減小了8.2%。相對(duì)于原始的徑向充磁方式，優(yōu)化后的永磁體轉(zhuǎn)矩密度提升了53.9%，聯(lián)軸器的總體積減小了18.4%。其中，永磁體轉(zhuǎn)矩密度大幅提升的主要原因是采用了三段式Halbach陣列。

圖12給出了優(yōu)化前后同軸磁性聯(lián)軸器的3D模型圖。可以看出，優(yōu)化后聯(lián)軸器的總體積和永磁體用量均有所減小，降低了成本、提高了空間利用率。

圖12 優(yōu)化前后磁性聯(lián)軸器3D模型對(duì)比

圖13與圖14分別給出了優(yōu)化后聯(lián)軸器的磁場(chǎng)強(qiáng)度分布云圖以及磁力線分布圖?？梢钥闯?，磁力線分布合理，漏磁較少，鐵心材料得到了充分利用。這充分說明了三段式Halbach陣列以及優(yōu)化策略的有效性。

圖13 優(yōu)化后的磁場(chǎng)強(qiáng)度分布云圖

圖14 優(yōu)化后的磁力線分布圖

圖15給出了優(yōu)化前后磁性聯(lián)軸器內(nèi)轉(zhuǎn)子的靜態(tài)轉(zhuǎn)矩波形對(duì)比。可以看出，優(yōu)化前后最大靜態(tài)轉(zhuǎn)矩變化不大，滿足設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)矩為289.5 N·m的要求。

圖15 優(yōu)化前后內(nèi)轉(zhuǎn)子靜態(tài)轉(zhuǎn)矩對(duì)比

5 結(jié) 語

通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析可以得出如下結(jié)論：

(1)采用三段式Halbach陣列可顯著提升同軸磁性聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)矩密度，有效減少其總體積；

(2)以永磁體的轉(zhuǎn)矩密度以及同軸磁性聯(lián)軸器的體積為優(yōu)化目標(biāo)，合理選取優(yōu)化變量，采用響應(yīng)曲面法與模擬退火算法相結(jié)合的優(yōu)化策略對(duì)復(fù)合性能函數(shù)進(jìn)行求解，可起到提高空間利用率、節(jié)省永磁材料的目的，同時(shí)提高了實(shí)驗(yàn)效率。