孫 哲

(中鐵工程設(shè)計(jì)咨詢集團(tuán)有限公司,北京 100055)

1 概述

目前，對于設(shè)有軌道電路的電氣化復(fù)線鐵路，主要采用橫向連接作為連通牽引回路，平衡上、下行線路牽引回流的主要裝置[1]。橫向連接分為簡單和完全兩種類型。簡單橫向連接由空扼流變壓器或空心線圈、橫向連接線等構(gòu)成；完全橫向連接由高阻抗扼流變壓器、橫線連接線、中心接地線及吸上線等構(gòu)成[2]。

在橫向連接的工程設(shè)計(jì)中，現(xiàn)行規(guī)范及相關(guān)文件[3-6]從頻率、間隔長度、連接線距離等多個(gè)角度對橫向連接的設(shè)置進(jìn)行了規(guī)定。其位置設(shè)計(jì)需考慮大量的約束條件，人工計(jì)算的工作量大、準(zhǔn)確度不高。為此，楊帆[7]綜合考慮了技術(shù)規(guī)范條件和投資控制，提出了基于回溯法的軌道電路橫向連接設(shè)置方法，實(shí)現(xiàn)了橫向連接位置的計(jì)算。但此方法未考慮存在并行區(qū)段以及某處橫線連接上、下行扼流變壓器不在同一里程的情況，且采用的回溯法主觀性太強(qiáng)，不具備通用性。

現(xiàn)今，我國多個(gè)新建鐵路項(xiàng)目存在多條聯(lián)絡(luò)線或走行線接軌引入正線情況。計(jì)算此種情況下的橫向連接位置時(shí)，需同時(shí)考慮正線、引入線橫向連接的設(shè)置，進(jìn)一步增加了橫向連接位置工程計(jì)算復(fù)雜度。為此，提出一種考慮多線引入情況的橫向連接位置數(shù)學(xué)模型，并采用基于多目標(biāo)粒子群的優(yōu)化方法，綜合考慮投資成本及回流性能，以實(shí)現(xiàn)此種情況下橫向連接位置優(yōu)化計(jì)算。

2 多目標(biāo)優(yōu)化問題相關(guān)概念

在實(shí)際優(yōu)化問題中，存在著大量具有多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的情況。解決此類問題，一般可通過線性加權(quán)，將其轉(zhuǎn)化為單一目標(biāo)函數(shù)來求解[8]。然而，各目標(biāo)函數(shù)之間往往相互沖突且屬于不同量綱，直接線性加權(quán)的方法魯棒性較差。為此，許多學(xué)者對以求解Pareto最優(yōu)解集為目的的多目標(biāo)優(yōu)化方法進(jìn)行了研究[9-11]。

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題基本概念

對于一個(gè)求最小值的多目標(biāo)優(yōu)化問題[12]，可用如下數(shù)學(xué)表達(dá)式表述

miny=f(x)=[f1(x)，f2(x)，…，fm(x)]

(1)

式中，x=(x1，x2，…，xn)∈Rn為由n個(gè)變量組成的決策向量；y=(y1，y2，…，ym)∈Rm為由m個(gè)目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成的向量；gk(x)(k=1，2，…，p)與hl(x)(k=1，2，…，q)分別表示需滿足的p個(gè)不等式約束和q個(gè)等式約束。

以求解最小值的兩目標(biāo)優(yōu)化問題為例，若x1、x2為可行域中的兩個(gè)解向量，則當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下條件時(shí)，稱x1支配x2，記做x1x2。

(2)

圖1 支配與Pareto前沿

2.2 基于擁擠距離的多目標(biāo)粒子群

粒子群算法(PSO)是一種基于群體智能的進(jìn)化式算法，它通過粒子速度和位置更新，迭代出種群歷史最優(yōu)和全局最優(yōu)，具有收斂速度快、方便計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)[13]。

多目標(biāo)粒子群算法(MOPSO)將PSO的基本原理應(yīng)用于多目標(biāo)問題中，通過構(gòu)造個(gè)體歷史Pareto最優(yōu)集Gbest和種群全局Pareto最優(yōu)集Pbest，以期求解出分布均勻、最靠近真Pareto前沿的非劣解集[14-16]。在迭代過程中，通過擁擠度排序[17-18]，找出Gbest、Pbest中稀疏度最大的解作為個(gè)體最優(yōu)解gbest和全局最優(yōu)解pbest，以實(shí)現(xiàn)解的不斷優(yōu)化，算法流程如圖2所示。

圖2 MOPSO算法原理

3 橫線連接位置優(yōu)化問題數(shù)學(xué)描述

3.1 橫向連接位置模型

(1)正線橫向連接位置模型

在實(shí)際工程應(yīng)用中，簡單、完全橫向連接的基本構(gòu)件均為一對扼流變壓器和一條橫向連接線。因此，若某條鐵路正線設(shè)置nz個(gè)橫向連接，則各個(gè)橫向連接里程由小到大依次構(gòu)成nz維向量Hz，表示為

(3)

(4)

由式(3)、式(4)可得，正線第i對橫向連接的里程可描述為

(5)

(2)引入線橫向連接位置模型

對于工程中存在聯(lián)絡(luò)線、走行線等引入線的情況，因引入線會通過正線上的接軌點(diǎn)接入正線，則應(yīng)建立引入線橫向連接位置模型，并與正線橫向連接位置統(tǒng)籌考慮。

(6)

(7)

則引入線上第i對橫向連接的里程均可由同方向之前橫向連接之間的距離描述，即

(8)

(9)

(10)

(11)

3.2 約束條件

ZPW-2000A及ZPW-2000R軌道電路工程設(shè)計(jì)說明中對橫向連接的設(shè)計(jì)位置進(jìn)行了規(guī)定，將其數(shù)學(xué)描述如下。

(1)相鄰橫向連接間距約束

根據(jù)規(guī)范，相鄰兩個(gè)橫向連接應(yīng)至少有一個(gè)為完全橫向連接，且橫向連接設(shè)置間隔應(yīng)滿足接觸網(wǎng)回流線的間隔要求，則對于同方向相鄰橫向連接均為完全橫向連接的情況，應(yīng)滿足

(12)

式中，dF-F為線路連續(xù)兩個(gè)橫向連接均完全橫向連接時(shí)，其同方向的兩個(gè)扼流變壓器的間距；minRd為線路最低道床電阻。

對于線路上某一簡單橫向連接，由于兩處相鄰?fù)耆珯M向連接間最多可設(shè)置1處簡單橫向連接，且簡單橫向連接與完全橫向連接間的距離不小于1 000 m，則有

(13)

同時(shí)，若minRd=2 Ω·km，滿足

(14)

若minRd=1 Ω·km，滿足

(15)

式中，hS、hF1、hF2分別為簡單橫向連接及其相鄰兩個(gè)完全橫向連接同方向上扼流變壓器的位置，且hF1

同時(shí)，橫向連接線不應(yīng)超過100 m，則有

(16)

式中，φH為同一處橫向連接線允許最大里程差，可適當(dāng)縮小取值，一般取φH=50 m。

(2)補(bǔ)償電容、調(diào)諧單元距離約束

對于正線或引入線上某一處橫向連接的扼流變壓器，設(shè)其所在軌道電路區(qū)段有m個(gè)補(bǔ)償電容、2個(gè)空心線圈，且里程從小到大依次為

K1，C1，C2，…，Cm，K2

(17)

若該扼流變壓器與機(jī)械空心線圈處于同一位置，則可利用該空心線圈處的扼流變壓器，無需新設(shè)，并滿足：hi=K1或hi=K2，hi為該扼流變壓器的位置。

否則，需新設(shè)扼流變壓器，且新設(shè)扼流變壓器相對于補(bǔ)償電容的距離不應(yīng)小于10 m、相對于空心線圈的距離不應(yīng)小于50 m，滿足

(18)

式中，φC、φK分別為考慮施工誤差而設(shè)置的橫向連接扼流變壓器相對于補(bǔ)償電容、空心線圈的余量。

(3)頻率條件約束

相鄰兩個(gè)橫向連接不能接入同一軌道電路區(qū)段，即滿足

st:hi+1-hi≥lhi

(19)

式中，hi、hi+1為相鄰兩處橫向連接同方向線路上扼流變壓器的位置；lhi為hi位置處扼流變壓器所在軌道電路的長度。

(4)牽引所亭回流線約束

對于距離牽引供電專業(yè)牽引所亭位置最近的一組完全橫向連接，根據(jù)供電專業(yè)相應(yīng)要求，其扼流變壓器應(yīng)設(shè)于牽引變電所亭附近一定范圍內(nèi)，即滿足

(20)

3.3 目標(biāo)函數(shù)

在滿足上述約束條件下，目標(biāo)函數(shù)應(yīng)考慮工程的經(jīng)濟(jì)性、可實(shí)施性及可靠性，為此，將目標(biāo)函數(shù)可設(shè)置成如下幾類。

(1)工程總投資預(yù)算應(yīng)盡可能低

根據(jù)式(3)～式(11)，則有

(21)

對于正線或引入線上任一處完全橫向連接，若兩端均需增設(shè)扼流變壓器和吸上線，則其預(yù)算Bi可描述為

(22)

式中，Pe為扼流變壓器的單價(jià)；le為兩端空扼流變壓器連接電纜的長度；Pl為連接電纜單位長度預(yù)算；Pg為接地預(yù)算；δ為線路間距，一般取5 m。

若一端滿足設(shè)于機(jī)械絕緣節(jié)空心線圈處，則其預(yù)算Bi可描述為

(23)

若兩端均滿足設(shè)于機(jī)械絕緣節(jié)空心線圈處，則其預(yù)算Bi可描述為

(24)

對于處于牽引變電所亭最近的完全橫向連接，還應(yīng)考慮回流線的預(yù)算，此時(shí)Bi可描述為

(25)

式中，PS為單位長度回流線預(yù)算；lS為此處應(yīng)設(shè)回流線長度，此處僅考慮牽引變電所亭與橫向連接的相對里程差為回流線長度；S為牽引變電所亭的位置。

對于正線或引入線上任一組簡單橫向連接，因無需接地處理，則其預(yù)算Bi可以描述為

(26)

特別地，對于單線橋梁地段，上述橫向連接線長度可設(shè)置為0。

(2)連接牽引所亭的回流線的線纜長度盡可能短，使線纜電阻盡量小，線路具備良好的回流性能。即滿足

(27)

4 橫向連接位置優(yōu)化算法

4.1 算法總體思路

在工程設(shè)計(jì)中，正線上第一個(gè)和最后一個(gè)橫線連接位置是可以提前確定的，若兩者間距為Lz，且正線所有完全、簡單橫向連接的個(gè)數(shù)分別為nz，F(xiàn)、nz，S(nz，F(xiàn)，nz，S∈N)，則Lz、nz，F(xiàn)、nz，S之間滿足

Lz=(nz，F(xiàn)-nz，S-1)·dF-F+nz，S·dF2-F1

(28)

由此可得

(29)

聯(lián)合不等式(12)、式(13)，進(jìn)一步可得

(30)

例如：Lz=20 km，minRd=2 Ω·km，若nz，S=0，則nz，F(xiàn)∈(14.1，17.9]，即nz，F(xiàn)取值可以為15，16，17；若nz，S=1，則nz，F(xiàn)∈(13.13，17.5]，即nz，F(xiàn)取值可以為14，15，16，17。

對于引入線，其橫向連接設(shè)置范圍Ly、完全橫向連接個(gè)數(shù)ny，F(xiàn)和簡單橫向連接個(gè)數(shù)ny，S同樣滿足上述關(guān)系。為方便描述，將nz，F(xiàn)、ny，F(xiàn)能取到的最小值和最大值依次表示為Mz，1、Mz，2、My，1、My，2。

由于完全橫向連接具有更好的回流性，工程中應(yīng)盡量全部設(shè)置為完全橫向連接。因此，在求解橫向連接Pareto最優(yōu)位置集Gbest的過程中，可以先將nz，S、ny，S設(shè)置為0，求解此情況下的Pareto最優(yōu)位置集Gbest。若此時(shí)Gbest=?，則將nz，S的個(gè)數(shù)依次加1，直到Gbest≠?。

同時(shí)，引入線橫向連接的位置依賴于正線接軌點(diǎn)橫向連接的位置，因此，可先對正線橫向連接位置進(jìn)行優(yōu)化，以正線橫向連接Pareto最優(yōu)化位置集Gz，best中每個(gè)非劣解的接軌點(diǎn)附近橫向連接位置來確定引入線橫向連接范圍，再依次對引入線橫向連接位置進(jìn)行優(yōu)化。

以正線的橫向連接優(yōu)化過程為例，算法具體步驟如下。

Step1：確定正線橫向連接布置長度Lz及橫向連接范圍內(nèi)各補(bǔ)償電容、電氣絕緣節(jié)空心線圈、進(jìn)出站信號機(jī)處機(jī)械絕緣節(jié)、正線股道分割點(diǎn)處絕緣節(jié)、各牽引變電所亭里程。

Step2：令nz，S=0，根據(jù)式(28)確定Mz，1、Mz，2，并令nz，F(xiàn)=Mz，1。

Step3：根據(jù)式(1)～式(4)、式(10)～式(18)，初始化本次尋優(yōu)的正線橫向連接位置種群Pz，0。之后根據(jù)式(19)～式(24)，采用MOPSO求解此條件下正線橫向連接Pareto位置集Gz，best，并將Gz，best非支配更新至正線橫線連接歷史Pareto位置集Hz，best。

Step4：令nz，F(xiàn)=nz，F(xiàn)+1，重復(fù)Step3，直至nz，F(xiàn)=Mz，2。

Step5：此時(shí)，若Hz，best=?，則令nz，S=nz，S+1，重復(fù)Step2～Step3，直至Hz，best≠?。

Step6：輸出正線橫線連接歷史Pareto位置集Hz，best。

對正線、引入線橫向連接位置依次進(jìn)行MOPSO優(yōu)化后，可以得到全線Pareto最優(yōu)位置集Gbest，再對其進(jìn)行稀疏度排序，得到最終橫向連接位置最優(yōu)解。

4.2 算例驗(yàn)證

根據(jù)本文提出算法，采用Python語言編寫出基于MOPSO的橫向連接位置優(yōu)化程序，并以新建廣清城際鐵路區(qū)間橫線連接設(shè)計(jì)為例，對所提算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

廣清城際鐵路共有1條正線和1條走行線，正線全長38.126 km，設(shè)廣州北、石陂、獅嶺、銀盞、龍?zhí)痢⑶暹h(yuǎn)6站，其中，石陂、銀盞為無配線站；動車走行線全長3.716 km，并在龍?zhí)琳綝K139+45.37處與正線接軌[19]。正線、引入線涉及本算法的部分信號點(diǎn)數(shù)據(jù)如表1、表2所示。

表1 廣清城際鐵路正線信號點(diǎn)數(shù)據(jù)

表2 廣清城際鐵路動車走行線信號點(diǎn)數(shù)據(jù)

該線路區(qū)間僅有1處設(shè)有回流線的牽引變電所，位于DK64+557處。同時(shí)，全線共有8處斷鏈位置，如表3所示。

表3 廣清城際鐵路全線斷鏈位置

將上述數(shù)據(jù)輸入本算法程序，并令Pl=10，PS=25，Pe=5 000，Pg=500[20]。經(jīng)0.48 h算法收斂后，求出的全線橫向連接Pareto最優(yōu)位置集存在4個(gè)最優(yōu)粒子，如圖3所示。

圖3 廣清城際全線橫向連接Pareto最優(yōu)位置粒子

各粒子正線、引入線中簡單、完全橫向連接個(gè)數(shù)如圖4所示。

圖4 Pareto最優(yōu)粒子中橫向連接個(gè)數(shù)情況

將a1、a2、a3、a4進(jìn)行稀疏度排序后，可得出粒子a2為最優(yōu)解。

最優(yōu)解a2中，正線包含28處完全橫向連接，其中，5處利用站內(nèi)機(jī)械絕緣節(jié)處扼流變壓器，其余23處新設(shè)；引入線包含2處完全橫向連接、1處簡單橫向連接，完全橫向連接全部利用站內(nèi)機(jī)械絕緣節(jié)處扼流變壓器。因篇幅有限，此處僅列出a2中動車走行線及龍?zhí)林燎暹h(yuǎn)正線區(qū)間橫向連接位置，如表4所示。

表4 最優(yōu)解中部分橫向連接位置

將a2中各個(gè)橫向連接位置依次進(jìn)行檢算，結(jié)果表明，本算法計(jì)算出的橫向連接位置完全滿足工程設(shè)計(jì)規(guī)范要求。同時(shí)，本算法運(yùn)行時(shí)間約為0.5 h，依照工程設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，若采用人工計(jì)算方式，將至少需要5 h，能夠提升設(shè)計(jì)效率近10倍。

5 結(jié)論

通過構(gòu)建多線引入情況下的軌道電路橫向連接位置模型，將橫向連接的工程計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為了多目標(biāo)數(shù)學(xué)優(yōu)化問題，并基于MOPSO提出考慮多線引入情況的橫向連接位置優(yōu)化計(jì)算方法。為驗(yàn)證算法的有效性，采用Python語言編寫了算法程序，并選取廣清城際鐵路正線及走行線數(shù)據(jù)對本算法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，本算法的計(jì)算結(jié)果完全滿足工程設(shè)計(jì)要求，并將設(shè)計(jì)效率提升近10倍。因此，本文算法能夠應(yīng)用于軌道電路橫向連接工程設(shè)計(jì)。