張詣強，李 雙，范學良，李 成，唐金龍

（1. 蘇州大學軌道交通學院，江蘇蘇州 215131；2. 桂林電子科技大學廣西密碼學與信息安全重點實驗室，廣西桂林 541004 ）

0 引 言

1917年，Arnold和Crandall首次系統(tǒng)性地闡述了熱聲的發(fā)聲機制，并且建立了交流電通過薄層導體的模型，不過由于當時的材料限制，只是檢測到微弱的聲音[1]。1978年，F(xiàn).Alan Mcdonald和Grovcr C. Wctscl建立了典型的光聲模型，并且得出了聲波方程的一維近似解析解[2]。1999年，我國聲學家馬大猷對熱聲理論進行了系統(tǒng)闡述[3]。

近年來，納米技術突飛猛進，給基于熱聲效應揚聲器的研究開辟了一條新的路徑[4]。2008年，Xiao等發(fā)現(xiàn)通電的碳納米管薄膜會在其周圍產生聲波[5]。2011年，Tian等制作了紙質材料為基底的石墨烯薄膜揚聲器，并且對其做了發(fā)聲實驗[6]。2012年，Suk等探究了不同基底下石墨烯薄膜的發(fā)聲情況[7]。2015年，王嚴冬等對多孔硅熱致發(fā)聲進行建模研究[8]，F(xiàn)ci等制備出三維石墨烯泡沫揚聲器，此類揚聲器優(yōu)于其他石墨烯薄膜揚聲器[9]。2016年，Kim等做了三維還原石墨烯揚聲器的陣列[10]和聚合物網格支撐的石墨烯薄膜發(fā)聲實驗[11]。

Tian和Suk等在實驗中發(fā)現(xiàn)聲壓和輸入功率成正比，并且得出了聲壓隨頻率的變化規(guī)律，但是對模型缺乏系統(tǒng)的理論分析[6-7]。Vcstcrincn等使用格林函數(shù)法給出了考慮基底吸收熱對聲壓的影響，并且提到瑞利距離的概念，但沒有考慮薄膜單位面積熱容量的影響[12]；Xiao等在Arnold和Crandall的熱聲模型的基礎上考慮薄膜的自身熱容，但是聲壓表達式僅適用于遠場（瑞利距離之外）[13]。Hu等在Mcdonald和 Wctscl建立的光聲模型基礎上，推導出了一般固體的熱致發(fā)聲模型的一維解析解[14]；Lim等將聲場分成近場和遠場，瑞利距離之內是平面波，瑞利距離之外是球面波，推導出了無基底石墨烯薄膜的一維近似聲壓公式[15]。本課題組的卞安華等[16]和Xing等[17]推導出了考慮基底傳熱的一維近似聲壓公式，并且進行了實驗的論證。

上述研究均是采用一維模型進行分析，計算的石墨烯薄膜聲壓分布并不連續(xù)，在瑞利距離處突變，但實際上聲壓分布是連續(xù)的，并且一維模型無法計算石墨烯表面的溫度分布。本文將建立石墨烯薄膜的三維熱傳導和聲擴散模型，進行數(shù)值計算，并將計算值與一維近似解析解及實驗測試值進行對比分析。

1 石墨烯薄膜三維傳熱模型

通入交流電的石墨烯薄膜的溫度特性由振蕩溫度和穩(wěn)態(tài)溫度分布描述?；撞牧系碾娮柘鄬τ谑┒院艽螅梢曌鹘^緣體。因此，假設石墨烯薄膜的熱量全部由石墨烯的焦耳熱產生。石墨烯的上表面分別與電極的下表面和空氣接觸進行傳熱，電極的上表面與空氣進行對流換熱，石墨烯的下表面與基底的上表面接觸進行傳熱，而且基底的下表面與空氣接觸進行對流換熱。由于基底的厚度為0.3 mm左右，石墨烯僅有10 nm，可以認為只有薄膜上下表面有熱傳導?？紤]理想情況，假設石墨烯的電流密度的分布是均勻的。石墨烯的熱傳導模型如圖1所示。

圖1 石墨烯薄膜的熱傳導模型Fig.1 Heat conduction model of graphene film

1.1 石墨烯的焦耳熱過程

1.2 基底傳熱過程

1.3 傳熱模型的數(shù)值計算

使用COMSOL Multiphysics進行數(shù)值計算，使結果可視化。其中用到的材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)Table 1 Parameters of the materials

（1） 溫度振蕩

石墨烯薄膜兩端通入30 V的交流電（有效功率0.73 W），數(shù)值計算結果如圖2所示。石墨烯薄膜的溫度是隨時間振蕩變化的，振蕩溫度的幅值不隨時間改變。由于振蕩溫度的幅值極小，頻率較高，而溫度測量儀的精度和幀率無法達到要求，則溫度振蕩部分僅能做理論分析。數(shù)值計算結果表明，溫度振蕩的幅值在石墨烯薄膜表面是均勻分布的，且溫度振蕩的頻率是電流頻率的兩倍，這也很好解釋了輸出信號的頻率是輸入電信號頻率兩倍的現(xiàn)象。

在其他條件不變的情況下，當有效輸入功率為0.73 W時，溫度振蕩的幅值隨頻率的增加而下降，如圖3所示。

圖3 溫度振蕩的幅值與溫度振蕩頻率的關系Fig.3 Relationship between amplitude and frequency of temperature oscillation

（2） 溫度穩(wěn)態(tài)分布

由于溫度振蕩的幅值相對于石墨烯薄膜表面的溫度是極小的，在研究石墨烯薄膜的溫度分布時可以忽略溫度振蕩。圖4為有效輸入功率0.2 W時（測量穩(wěn)態(tài)溫度時，為避免長時間通入大電流導致?lián)p壞石墨烯薄膜，此處取相對較小的輸入功率），石墨烯薄膜溫度的穩(wěn)態(tài)分布。從圖4中可以看出石墨烯薄膜中央的溫度最高，沿四周逐漸下降。

圖4 石墨烯薄膜表面穩(wěn)態(tài)溫度分布Fig.4 Steady state temperature distribution of graphene film surface

2 三維聲擴散模型及數(shù)值計算

石墨烯薄膜的熱聲效應是指石墨烯表面的溫度振蕩使得附近空氣進行周期性的熱脹冷縮，從而產生聲波[15]。在得出石墨烯薄膜表面溫度振蕩幅度隨頻率的變化后，將其作為邊界條件，建立聲擴散模型。由于熱黏性聲學的計算量極大，且熱損失僅在熱邊界層內損失很大，則可在靠近薄膜的小區(qū)域內考慮熱黏性損耗，而其他部分依然利用傳統(tǒng)壓力聲學的計算公式。聲擴散模型如圖5所示。

圖5 聲擴散模型Fig.5 Sound diffusion model

2.1 熱黏性聲學

2.2 壓力聲學

2.3 數(shù)值計算

使用COMSOL Multiphysics進行數(shù)值計算，使結果可視化。其中用到的空氣參數(shù)如表2所示。

表2 空氣參數(shù)Table 2 Parameters of air

（1） 熱黏性聲學部分的總壓力分布

通過計算可得到熱黏性聲學部分聲壓的分布，其中頻率為8 000 Hz時的聲壓分布如圖6所示。等壓線在靠近聲源的地方曲率較小，而距離聲源越遠曲率越大，最后趨近于球面波。

圖6 熱黏性聲學部分聲壓分布Fig.6 Sound pressure distribution of thermoviscous acoustic part

（2） 壓力聲學部分的聲壓分布

圖7是頻率為8 000 Hz時的壓力聲學部分的聲壓分布圖，其規(guī)律符合一維解析解中遠場聲壓近似于球面波的結論。

圖7 壓力聲學部分的聲壓級分布Fig.7 Distribution of sound pressure level in the pressure acoustic part

3 石墨烯薄膜發(fā)聲的影響因素

3.1 基底對石墨烯薄膜發(fā)聲的影響

基底吸收了石墨烯薄膜產生的大部分焦耳熱，因此基底對石墨烯薄膜發(fā)聲效果有很大的影響。在其他條件不變的情況下，分別計算了基底的密度、恒壓熱容和導熱系數(shù)對石墨烯發(fā)聲的影響，結果如圖8～10所示。從圖8～10中可以看出，基底的密度、恒壓熱容和導熱系數(shù)與石墨烯薄膜的聲壓級呈負相關。

圖8 基底密度與石墨烯薄膜聲壓級的關系Fig.8 Relationship between substrate density and sound pressure level of graphene thin films

圖9 基底恒壓熱容與石墨烯薄膜聲壓級的關系Fig.9 Relationship between substrate heat capacity at constant pressure and sound pressure level of graphene thin films

圖10 基底導熱系數(shù)與石墨烯薄膜聲壓級的關系Fig.10 Relationship between substrate thermal conductivity and sound pressure level of graphene thin films

3.2 氣體對石墨烯薄膜發(fā)聲的影響

氣體作為聲波傳播的媒介，本身的參數(shù)對石墨烯薄膜的發(fā)聲效果也很重要。在其他條件不變的情況下，分別計算了氣體的密度，恒壓熱容和導熱系數(shù)對石墨烯發(fā)聲的影響，結果如圖11～13所示。從圖11～13中可以看出，氣體的密度和導熱系數(shù)與石墨烯薄膜的聲壓級成正相關，氣體的恒壓熱容與石墨烯的聲壓級呈負相關。

圖11 氣體密度與石墨烯薄膜聲壓級的關系Fig.11 Relationship between gas density and sound pressure level of graphene thin films

圖12 氣體恒壓熱容與石墨烯薄膜聲壓級的關系Fig.12 Relationship between gas heat capacity at constant pressure and sound pressure level of graphene thin films

圖13 氣體導熱系數(shù)與石墨烯薄膜聲壓級的關系Fig.13 Relationship between gas thermal conductivity and sound pressure level of graphene thin films

4 實驗測試與對比分析

4.1 表面穩(wěn)態(tài)溫度分布測試

為了驗證傳熱模型，設計傳熱實驗如圖14所示。實驗中使用的石墨烯薄膜（PET基底）如圖15所示。當輸入功率為0.2 W時，待石墨烯薄膜的表面溫度達到穩(wěn)態(tài)，測試結果如圖16所示，實驗值與圖4中的計算值基本吻合。

圖14 傳熱實驗設計示意圖Fig.14 Schematic diagram of heat transfer experiment design

圖15 石墨烯薄膜實物圖Fig.15 Picture of graphene film

圖16 石墨烯薄膜的表面溫度分布Fig.16 Surface temperature distribution of graphene film

4.2 聲壓測試

聲學實驗設計如圖17所示。薄膜產生的聲音信號由傳聲器接收，然后傳送到動態(tài)信號分析儀。現(xiàn)場測試如圖18所示。測點位于薄膜的中軸線上距離薄膜1、2 cm和偏中軸線45°距離薄膜中心點2 cm處。當薄膜的有效輸入功率為0.73 W時，測試薄膜聲壓隨頻率的變化如圖19（a）、19（b）和 19（c）所示。將聲壓的一維近似解析解和三維數(shù)值計算結果列入圖19中進行對比，發(fā)現(xiàn)三維數(shù)值解比一維近似解析解更接近實驗值。

圖17 聲學實驗設計示意圖Fig.17 Schematic diagram of acoustic experiment design

圖18 測試現(xiàn)場照片F(xiàn)ig.18 Picture of test field

圖19 在不同測量點的聲壓級與頻率的關系Fig.19 Relationships between sound pressure level and frequency at different measuring points

5 結 論

從通電石墨烯薄膜的熱聲效應出發(fā)，建立了薄膜的三維熱傳導模型和三維聲擴散模型，計算了薄膜表面的穩(wěn)態(tài)溫度分布、溫度振蕩幅值和聲壓值，并進行了實驗論證，得到以下結論：

（1） 薄膜表面穩(wěn)態(tài)溫度分布特點是中央最高，沿四周下降。溫度振蕩幅值隨頻率增加而減小。

（2） 聲壓等壓線在靠近聲源的地方曲率較小，距離聲源越遠曲率越大，最后趨近于球面波。聲壓值隨著頻率的增加而增加。

（3） 基底的密度、恒壓熱容和導熱系數(shù)與石墨烯薄膜的聲壓級呈負相關。氣體的密度和導熱系數(shù)與石墨烯薄膜的聲壓級呈正相關，氣體的恒壓熱容與石墨烯的聲壓級呈負相關。

（4） 將三維模型數(shù)值計算的聲壓值與一維近似解析解及實驗值進行對比，三維數(shù)值計算結果更加接近實驗值，且能計算出聲壓在空間的連續(xù)分布。