焦思洋，潘濤，孔哲，劉寶寧

（西安航天動力技術(shù)研究所，陜西 西安 710025）

0 引言

高速動能導(dǎo)彈作為一種新型現(xiàn)代防御武器，其作戰(zhàn)目標(biāo)是地面裝甲坦克，采用飛行高度10 m左右的低空貼地式飛行，其戰(zhàn)術(shù)特點(diǎn)是利用自身高速度、大動能直接碰撞摧毀目標(biāo)［1］。與傳統(tǒng)反坦克導(dǎo)彈有所不同，高速動能彈的馬赫數(shù)高達(dá)5，需采用響應(yīng)速度更快的脈沖發(fā)動機(jī)直接力控制策略［2］。當(dāng)脈沖發(fā)動機(jī)在低空環(huán)境中點(diǎn)火工作時，會引起周圍流場發(fā)生劇烈變化［3-4］。由于高速動能彈本身的高速度大動能、氣動參數(shù)偏高，劇烈的流場變化會產(chǎn)生較大的干擾力矩，采用傳統(tǒng)控制方法可能會造成控制精度不佳［5］。因此，本文選擇魯棒性相對較強(qiáng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，設(shè)計出一種新型基于滑模變結(jié)構(gòu)的高速動能彈制導(dǎo)控制方法，來實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的精準(zhǔn)打擊。

1 彈體模型建立

1.1 彈體結(jié)構(gòu)模型建立

本文談?wù)摰母咚賱幽軐?dǎo)彈彈體前端采用陣列式脈沖發(fā)動機(jī)，共7排從彈體頭部往后排列，彈體尾部無氣動舵，依靠脈沖發(fā)動機(jī)進(jìn)行姿態(tài)控制。其結(jié)構(gòu)布局如圖1所示。

圖1 彈體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Str uctur e diagram of missile

1.2 高速動能彈動力學(xué)模型建立

高速動能彈為滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈，在分析彈體運(yùn)動時，在建立常用的地面系Oxyz、彈體系Ox1y1z1、彈道系Ox2y2z2、速度系Ox3y3z3之外，通常引入2個新的坐標(biāo)系：準(zhǔn)彈體系Ox4y4z4、準(zhǔn)速度系Ox5y5z5。根據(jù)滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈運(yùn)動方程組，建立高速動能彈動力學(xué)模型。

2 基于滑模變結(jié)構(gòu)的高速動能彈控制算法

高速動能彈控制系統(tǒng)主要由制導(dǎo)站、慣性測量單元、制導(dǎo)控制算法、執(zhí)行機(jī)構(gòu)（脈沖發(fā)動機(jī)）等單元組成，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。本文主要針對高速動能彈的制導(dǎo)控制算法進(jìn)行設(shè)計研究。高速動能彈通常以低空貼地飛行的方式打擊地面裝甲武器，采用三點(diǎn)法導(dǎo)引更加簡單易行且抗干擾性能好。三點(diǎn)法的原理是：作戰(zhàn)過程中導(dǎo)彈始終處于制導(dǎo)站與目標(biāo)的連線上，以此方式導(dǎo)引彈體命中目標(biāo)［6］。本文將設(shè)計出一種三點(diǎn)法導(dǎo)引的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)控制算法，實(shí)現(xiàn)彈體對目標(biāo)的精確打擊。

圖2 高速動能彈控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Str uctur e diagram of hyper velocity kinetic energy missile’s control system

2.1 滑模變結(jié)構(gòu)控制

滑模變結(jié)構(gòu)控制的控制原理是：在系統(tǒng)x?=f(x)的狀態(tài)空間中，設(shè)計一個切換面s（x）=0將狀態(tài)空間分為s>0及s<0 2個部分。通過控制策略的設(shè)計，使得系統(tǒng)在s（x）=0兩側(cè)擁有不同的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)的變化迫使切換面以外的點(diǎn)均運(yùn)動趨近于切換平面，隨后在切換平面附近進(jìn)行小幅度的振蕩運(yùn)動［7］，通過這種方式達(dá)到控制系統(tǒng)狀態(tài)的目的。

2.2 基于滑模變結(jié)構(gòu)控制的控制算法推導(dǎo)

以俯仰通道為例，制導(dǎo)過程中的導(dǎo)彈、目標(biāo)位置關(guān)系如圖3所示，O為地面制導(dǎo)站位置，M為導(dǎo)彈當(dāng)前位置，T為打擊目標(biāo)位置，直線OT為飛行過程中的基準(zhǔn)線，θt為制導(dǎo)站與目標(biāo)的連線與水平面的夾角。

圖3 導(dǎo)彈與目標(biāo)位置關(guān)系示意圖Fig.3 Position schematic of missile and target

設(shè)e為導(dǎo)彈縱向位置（ym）與基準(zhǔn)線OT的縱坐標(biāo)差值，即e=ym-xmtanθt。因高速動能導(dǎo)彈打擊的地面目標(biāo)一般為地面固定目標(biāo)或是移動速度較慢的目標(biāo)，假設(shè)θt的值不會隨時間變化而變化?？梢赃M(jìn)一步推導(dǎo)得出：

式中：vx，vy和ax，ay分別為彈體x，y方向的速度和加速度。

針對高速動能彈的彈體特性，可采用俯仰通道擾動方程組最簡形式［8］：

式中：?為俯仰角；θ為速度傾角；α為攻角；δz為舵偏角（在不含氣動舵的直接力控制系統(tǒng)中表示縱向直接力）；Fgy，Mgz為y向干擾力和z向干擾力矩；a22，a24，a25，a26，a34，a36為動力系數(shù)。

暫不考慮干擾影響，由上述方程組可得，

式中：v為俯仰通道合速度。

設(shè)滑模變結(jié)構(gòu)算法中的切換函數(shù)為s=ce+?，其中c為常數(shù)。則

式中：d為因模型簡化、高速動能彈脈沖噴流形成干擾等原因?qū)е碌?變化量，假設(shè)d的取值會在一個界值范圍內(nèi)，即|d|≤D，

?=0時，

若要滑模算法穩(wěn)定，必須保證?<0。取η>D，設(shè)計滑?？刂坡蔀?/p>

定義李雅普諾夫函數(shù)為

則

當(dāng)s>0時，

可證系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

2.3 參數(shù)設(shè)定

2.2 節(jié)推導(dǎo)出的滑?？刂坡杉词剑?）中有2個參數(shù)c和η需要設(shè)計確定。在滑模變結(jié)構(gòu)算法中，c的取值影響位置誤差在控制算法中的權(quán)重，同時也決定了收斂速度；η則用來克服干擾誤差項造成的影響。這2個參數(shù)選取不當(dāng)會造成控制系統(tǒng)精度不夠、抖振加劇等問題［9］。本文將根據(jù)高速動能彈自身的彈體特性及作戰(zhàn)目標(biāo)需求，來對滑模控制算法相關(guān)參數(shù)的設(shè)計進(jìn)行整定。

由式（7）可以推導(dǎo)出關(guān)于η的關(guān)系式為

初步選取一個參數(shù)c的數(shù)值，對高速動能彈作戰(zhàn)飛行時的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行取值：脈沖發(fā)動機(jī)的最大推力為400 N，故取δz為400 N；根據(jù)經(jīng)驗分析動能彈的運(yùn)動規(guī)律，對俯仰角速度?和角加速度?取期望的最大值。通過式（12）對參數(shù)η進(jìn)行實(shí)時計算，選取整個過程中的最大值，作為算法中參數(shù)η的取值。

將整個系統(tǒng)控制框圖簡化后如圖4所示，計算求出彈體開環(huán)回路的傳遞函數(shù)，得到開環(huán)傳遞函數(shù)的開環(huán)增益?；Ｖ茖?dǎo)控制算法中c為位置誤差項系數(shù)，當(dāng)輸入位置誤差項為1時，輸出的位置誤差為Kc?，F(xiàn)設(shè)定彈體飛行過程中允許的最大位置誤差（輸出位置誤差）為2 m，可以反推出參數(shù)c的取值。之后再次進(jìn)行對η的迭代設(shè)計，可以達(dá)到更加精細(xì)化的結(jié)果。最終推算得出針對本文研究的高速動能彈的參數(shù)c取值為1.8，η取值為20。

圖4 系統(tǒng)簡化框圖Fig.4 Simplified block diagr am of the system

設(shè)定導(dǎo)彈起始位置為（0，3）m，位置目標(biāo)為（4 000，0）m，在仿真軟件中對導(dǎo)彈進(jìn)行彈道仿真。用設(shè)計推算出的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)控制算法對彈體進(jìn)行控制，仿真得到相關(guān)結(jié)果如圖5～8所示。

圖5 射程隨時間的變化圖Fig.5 Range-time

圖6 高度隨時間的變化圖Fig.6 Height-time

圖7 俯仰角隨時間的變化圖Fig.7 Pitch-time

從仿真結(jié)果可以看出，彈體的落點(diǎn)坐標(biāo)為（4 000，-0.3）m，表明本文設(shè)計的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)控制算法能夠控制彈體命中目標(biāo)。但俯仰角和俯仰角速度的變化曲線表明，穩(wěn)定后的滑模抖振幅度較大。

圖8 俯仰角速度隨時間的變化圖Fig.8 Pitch angular velocity-time

2.4 滑模變結(jié)構(gòu)抖振問題研究

從理論的角度來看，控制算法的滑動模態(tài)可以根據(jù)任務(wù)需求進(jìn)行設(shè)計，并且系統(tǒng)的滑模運(yùn)動與外界的干擾因素及自身參數(shù)變化無關(guān)，這也就是滑模變結(jié)構(gòu)控制相比于傳統(tǒng)控制方法魯棒性更強(qiáng)一些的原因［10］。

理想的滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，假設(shè)結(jié)構(gòu)變換過程中無時間和空間的滯后即具有理想的開關(guān)特性，且所有狀態(tài)量均精確無誤，滑動模態(tài)可以實(shí)現(xiàn)光滑運(yùn)動且漸進(jìn)穩(wěn)定于原點(diǎn)［11］（即不會產(chǎn)生抖振）。但實(shí)際中，系統(tǒng)的軌跡到達(dá)切換面時具有一定的速度，由于開關(guān)的時間、空間滯后，算法對狀態(tài)的控制作用有一定的延遲時間，故運(yùn)動點(diǎn)會在慣性的作用下穿越切換面，最終導(dǎo)致滑模抖振。因此，滑模抖振問題不可避免［12］，需要采取一定的措施對其進(jìn)行削弱。本文將采取邊界層法和指數(shù)趨近律法2種方法對抖振問題進(jìn)行處理。

2.4.1 邊界層法

由上文分析知，滑模變結(jié)構(gòu)控制算法理想的開關(guān)切換特性在實(shí)際中根本無法存在，通常在切換平面附近設(shè)計一個邊界層Δ，在邊界層外時，使用切換控制，使系統(tǒng)狀態(tài)能快速趨于滑動模態(tài)；在邊界層內(nèi)時，使用線性化反饋控制［13］。具體做法為：用飽和函數(shù)sat（s）代替滑模變結(jié)構(gòu)控制算法中符號函數(shù)sgns。

式中：k=，則經(jīng)邊界層法處理后的滑?？刂坡杀磉_(dá)式為

2.4.2 指數(shù)趨近律法

趨近律法的整體思路是通過使整個系統(tǒng)狀態(tài)軌跡能夠較為平滑地通過滑動模態(tài)，從而避免不斷切換控制結(jié)構(gòu)所造成的系統(tǒng)抖振［14］。本文采用目前常用的指數(shù)趨近律法［15］：

式中：s?=ks為指數(shù)趨近項，其解為s=s(0)e-kt，為指數(shù)形式。

因此，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)距離切換平面較遠(yuǎn)時，能夠快速趨近于切換面；而當(dāng)運(yùn)動逐漸接近切換平面時，趨近速度會大大降低，從而在快速趨近的同時適量削弱抖振。增加s?=-εsgns項的作用在于，當(dāng)s接近0的時候，趨近速度不會為0而是ε，能夠確保在有限時間內(nèi)到達(dá)切換面。

將式（14）代入上文關(guān)于s?的表達(dá)式（5）中，得

則滑?？刂坡蔀?/p>

由于干擾項d的值未知，無法直接應(yīng)用，需對其進(jìn)行設(shè)計處理。取控制律為

將控制律式（16）代入關(guān)于s?的表達(dá)式（5）中，得

假設(shè)干擾項d的取值范圍為：dL≤d≤dU。為了保證ss?<0，可選取

當(dāng)s>0時，?=dL-d-εsgns-ks<0，

當(dāng)s<0時，?=dU-d+ε-ks<0.

滿足滑模收斂條件，確保系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 仿真分析

3.1 算法仿真

對滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)控制算法分別采用邊界層法和指數(shù)趨近律法進(jìn)行抖振削弱，使用軟件對其建模仿真，仿真結(jié)果如圖9～15所示。

圖9 射程隨時間的變化圖Fig.9 Range-time

圖10 高度隨時間的變化圖Fig.10 Height-time

圖11 側(cè)偏隨時間的變化圖Fig.11 Yaw-time

圖12 俯仰角隨時間的變化圖Fig.12 Pitch-time

圖13 俯仰角速度隨時間的變化圖Fig.13 Pitch angular velocity-time

圖14 偏航角隨時間的變化圖Fig.14 Yaw angle-time

圖15 偏航角速度隨時間的變化圖Fig.15 Yaw angular velocity-time

設(shè)定導(dǎo)彈初始位置為（0，3，0）m，目標(biāo)位置為（4 000，0，0）m。從仿真結(jié)果來看，彈體的落點(diǎn)位置在（4 000，-0.2，0.1）m，表明滑?？刂扑惴軌蚩刂茝楏w命中目標(biāo)。俯仰通道上，穩(wěn)定后的俯仰角在±1°之間振蕩，俯仰角速度在±45（°）/s之間振蕩；偏航通道上，穩(wěn)定后的偏航角在±1°之間振蕩，偏航角速度在±45（°）/s之間振蕩，抖振幅度都較大。經(jīng)邊界層法處理的算法能使穩(wěn)定后俯仰角、俯仰角速度、偏航角、偏航角速度的振蕩浮動分別處于±0.5°，±15（°）/s，±0.04°，±1.5（°）/s之間；經(jīng)指數(shù)趨近律法處理的算法能使穩(wěn)定后俯仰角、俯仰角速度、偏航角、偏航角速度的振蕩浮動分別處于±0.3°，±10（°）/s，±0.05°，±1.8（°）/s之間，且2種方法均能控制導(dǎo)彈命中目標(biāo)點(diǎn)附近。證明經(jīng)邊界層法和指數(shù)趨近律法處理過后的滑模抖振問題，可以得到較好的抑制。

3.2 大擾動環(huán)境下仿真分析

高速動能彈飛行方式為貼地飛行，當(dāng)脈沖發(fā)動機(jī)在低空中工作時，會引起周圍氣流發(fā)生強(qiáng)烈變化，由于彈體本身的高速度、大動能，氣動系數(shù)偏高，流場的劇烈變化會產(chǎn)生較大的干擾力矩。

高速動能彈在高速飛行過程中，受到的干擾力矩變化快，范圍波動大，測量難度較大。為驗證彈體在大擾動力矩的影響下是否依舊能夠命中目標(biāo)：以縱向平面為例，對彈體縱向依次添加大小為0，50，80，100，120，130 N·m的脈沖干擾力矩，分別使用傳統(tǒng)PID（proportional integral derivative）控制方法和本文所設(shè)計的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)控制算法對高速動能彈進(jìn)行控制仿真。

假設(shè)目標(biāo)坐標(biāo)為（4 000，0）m，使用傳統(tǒng)PID控制方法的彈體仿真結(jié)果如圖16，17所示。

圖16 導(dǎo)彈位置變化圖Fig.16 Mission position change

圖17 俯仰角隨時間的變化圖Fig.17 Var iation of pitch angle with time

使用滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)控制算法的彈體仿真結(jié)果如圖18，19所示。

圖18 彈體位置變化圖Fig.18 Mission position change

對不同干擾力矩影響下的導(dǎo)彈落點(diǎn)進(jìn)行整理，結(jié)果如表1所示。

表1 導(dǎo)彈落點(diǎn)位置表Table1 Missile landing point coordinates m

觀察比對以上數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)控制方法在不加干擾力矩及小力矩影響下，彈體可以很好地命中目標(biāo)坐標(biāo)。但隨著擾動力矩增大，俯仰角的幅值變得越來越大，當(dāng)擾動力矩達(dá)到120 N·m之后，會出現(xiàn)彈體失控、位置發(fā)散，導(dǎo)彈無法命中目標(biāo)。反觀使用滑模變結(jié)構(gòu)算法控制的彈體，在加入相同大小的擾動力矩時，俯仰角最終都可穩(wěn)定在1°以內(nèi)；導(dǎo)彈落點(diǎn)均可命中目標(biāo)坐標(biāo)。

圖19 俯仰角隨時間的變化圖Fig.19 Var iation of pitch angle with time

當(dāng)高速動能彈以高速度在低空飛行時，會有劇烈的流場變化，產(chǎn)生強(qiáng)度較大的干擾力矩。相比于傳統(tǒng)控制方法，本文設(shè)計的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)控制算法在大擾動力矩的干擾下精度更高，魯棒性更強(qiáng)。故高速動能彈使用滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)控制算法時控制效果更加出色。

4 結(jié)束語

本文推導(dǎo)出了一種新型基于滑模變結(jié)構(gòu)的高速動能導(dǎo)彈制導(dǎo)控制算法，并對滑模變結(jié)構(gòu)算法存在的固有抖振問題進(jìn)行了相應(yīng)處理。仿真結(jié)果表明，本文提出的新型制導(dǎo)控制算法能夠控制彈體準(zhǔn)確打擊目標(biāo)，經(jīng)處理后的滑模抖振問題也能得到一定的削弱；且比傳統(tǒng)方法在大力矩擾動情況下精度更高，具有一定的工程應(yīng)用前景。