呂增鋒

(象山縣第二中學,浙江 象山 315731)

在數(shù)學教學中，很多教師首先關注的是教學內(nèi)容中有哪些知識點，每個知識點又包含哪些知識要素，然后在此基礎上圍繞這些知識點及其要素開展教學.這種以知識點為單位，按照其內(nèi)在邏輯關系逐個實施的教學方式被稱為知識點教學.從短期看，知識點教學對于知識點的掌握、數(shù)學思想方法的領悟具有積極的作用，但從長遠看，知識點教學根本無法承擔發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重任.最近，筆者所在縣舉行了教壇新秀課堂教學評比，上課的主題是“數(shù)列的遞推公式”.下面，筆者就結(jié)合本次比賽的課例談談自己的一些教學心得.

1 知識點教學的弊病

對于“數(shù)列的遞推公式”這節(jié)課，所有的參賽教師都采用知識點教學，而且基本上都是以“求遞推數(shù)列的通項公式”這一知識點為主線，先對問題進行梳理歸類，再根據(jù)不同類型的問題提出相應的解題方法，最后，把所有的題型歸結(jié)為以下幾類情況：

1)累加法：an+1-an=c(n).

3)待定系數(shù)法1：an+1=Aan+B?an+1+λ=A(an+λ).

4)待定系數(shù)法2：an+1=Aan+Bn+C?an+1+λ(n+1)+μ=A(an+λn+μ).

5)特征根與不動點法：an+2=pan+1+qan，其特征方程為x2=px+q.若方程有兩個異根α,β，則

an=c1αn+c2βn；

若方程有二重根，即α=β，則

an=(c1+nc2)αn，

其中c1,c2是待定常數(shù).

由于參賽的課例都是以“求遞推數(shù)列的通項公式”為中心進行教學設計的，因此總體上看大同小異，唯一的區(qū)別體現(xiàn)在問題類型的選擇上，有的課涉及的問題類型比較多，有的課著重探究1～2種方法，不僅如此，知識點教學固有的弊病也在這些課例中暴露無遺.

1.1 知識碎片化

知識點教學的基本原理是先把教學內(nèi)容分割成一個個相對獨立的知識點，然后圍繞著如何讓學生熟練掌握知識點“做文章”.這種化整為零的做法雖然有助于分散教學的難度，但無形中也割裂了知識之間的聯(lián)系，導致學生的認知碎片化.比如，在“數(shù)列的遞推公式”的教學中，知識點教學讓師生的注意力都集中在如何求通項公式上，而忽視了對于“遞推公式與數(shù)列的通項公式之間到底存在什么關系”這個核心問題的思考.知識點教學造成的直接后果就是學生只會“求通項”，而不知道“為什么要這樣求”，也就是我們常說的“知其然而不知所以然”.

1.2 思維定式化

不能說知識點教學完全無視知識的結(jié)構(gòu)化，但這種結(jié)構(gòu)化只是知識點之間和知識點內(nèi)部要素之間的結(jié)構(gòu)化，通過知識片段的拼湊與堆積來實現(xiàn)對知識整體的窺探，并非核心觀點的結(jié)構(gòu)化.但在實際操作中，學生不僅很難利用這些雜亂無序的知識點來實現(xiàn)對知識的完整建構(gòu)，而且還容易造成思維定式.在上述課例中，看似把所有問題的可能性都羅列出來了，學生只要“套用”現(xiàn)成的結(jié)論就行了，但學生在反復調(diào)用現(xiàn)成結(jié)論的過程中很容易產(chǎn)生思維定式，一旦問題的結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，就很難做到從容應對.

1.3 學習效果短期化

由于知識點教學對于知識點各要素的學習要求缺乏明確的區(qū)分，如果教學內(nèi)容中的知識點一多，知識點教學就容易陷入細枝末節(jié)之中，從而使學生對數(shù)學方法的認知停留在淺層的模仿與記憶上，而無法觸及方法的本質(zhì)，最終導致教學效果無法達到預期.在這些課例中，盡管提供了針對不同類型問題的解題方法，但這些方法要么是學生已經(jīng)非常熟悉的累加法與累乘法，要么是遠遠超出學生認知水平與教學要求的“特征根與不動點法”，至于“待定系數(shù)法”一般也不做直接考查要求，學生記不記“公式”也不會影響問題的解決.總而言之，這些方法要么太膚淺了，要么太高深了，要么就是可有可無的存在，因此，這節(jié)課的真實意義并不大，而且隨著時間的推移或者訓練量的減少，學生在知識點教學中所獲得的知識技能很快會被遺忘.

2 大概念教學的內(nèi)涵及優(yōu)勢

大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價值[1]，是“居于學科基本結(jié)構(gòu)的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念，通過整合相關知識、原理、技能、活動等課程內(nèi)容要素，形成的有關聯(lián)的課程內(nèi)容組塊”[2]；大概念能夠解釋較大范圍內(nèi)的一系列相關現(xiàn)象、事實以及相互關系；能將較大范圍內(nèi)分散的知識和事實聯(lián)結(jié)為有結(jié)構(gòu)、有系統(tǒng)的整體；能作為一種解釋模型，賦予個別的、具體的事實以深層的意義.

如圖1，按照大概念所在的層級，由高到低可以被細分為課程大概念、單元大概念、章節(jié)大概念、課時大概念.課程大概念處于頂尖位置，其下面的3個“大概念”相對于它來說就成了“小概念”或者“次級概念”；同樣地，課時大概念、章節(jié)大概念，相對于單元大概念來說，也是“小概念”“次級概念”，這也說明了大概念的“大”具有相對性，在每個層級中都有處于統(tǒng)攝地位的“大”概念.

圖1

大概念教學是以大概念為錨點組織教學的一種方式，具體地說，就是先從學科知識體系和邏輯結(jié)構(gòu)出發(fā)，提取學科大概念；然后，圍繞大概念搭建核心觀點框架；最后，將學科大概念細化為一個次級概念，成為課時教學的立意或者主題來統(tǒng)攝整節(jié)課的教學，從而實現(xiàn)提升學生能力與素養(yǎng)的目的.

“結(jié)構(gòu)”“聯(lián)系”“遷移”是大概念教學的基本特征，大概念教學的優(yōu)勢正是源于對這3個關鍵詞的理解和把握.首先，用大概念統(tǒng)攝與組織教學內(nèi)容，能夠使離散的事實、技能相互聯(lián)系、結(jié)構(gòu)化，并被賦予一定意義；其次，大概念教學強調(diào)引導學生超越對知識和技能的學習，走向那些超越時空和情境而存在的、可遷移的觀點和思想[3]，從而促使深度學習的發(fā)生；最后，大概念教學有明晰的學習目標和有效的表現(xiàn)性任務，這有利于學生自主、合作、探究學習的開展.在大概念教學中，教師要成為學科教學的專家，不僅要知道教什么，而且還要知道為什么而教；不僅要理解學生，也要理解設計——單元設計、活動設計、問題設計等，用自己豐富的專業(yè)知識引領學生像專家那樣思考，使學生也成為學習的專家.

3 數(shù)學大概念教學的實踐

3.1 提取大概念，明確學習目標

由于大概念具有內(nèi)隱性的特點，不容易被人發(fā)現(xiàn)和理解.因此，在明確教學主題后，需要站在單元的高度甚至學科系統(tǒng)的高度對教學主題包含的學科事實以及相互關系，進行多視角分析，進而提煉學科大概念.大概念一般可以從課程標準、核心素養(yǎng)、專家思維、概念派生、生活價值、知能目標、學習難點、評價標準這8條路徑進行提取，并且大概念的獲得通常都是綜合多條路徑的結(jié)果.

為了獲取“數(shù)列的遞推公式”這個教學主題的大概念，就需要站在整個“數(shù)列”單元的高度對教學內(nèi)容進行剖析.從生活價值的角度看，數(shù)列的研究源于生產(chǎn)、生活的需要；從課程標準的角度解讀，數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，要用函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列；從學習目標的角度定位，只要求能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項，掌握由一些由簡單遞推公式求通項公式的方法.

綜合上述分析，一方面，不難發(fā)現(xiàn)比賽課例中以“求遞推數(shù)列的通項公式”為中心的做法確實偏離了正常的教學軌道；另一方面，統(tǒng)攝本節(jié)內(nèi)容的課時大概念也逐步得到明晰，那就是“遞推公式是數(shù)列的一種表示方法”，而本節(jié)課的學習目標就是形成“數(shù)列能夠用遞推公式來表示”的意識，發(fā)展學生“借助遞推公式”來研究數(shù)列的能力.

3.2 聚焦大概念，形成結(jié)構(gòu)化的知識

提取大概念后，接下去就要以大概念為主線對教學內(nèi)容進行梳理，調(diào)整前后順序，打破原有的知識邊界，結(jié)合教師對學生知識學習、思維發(fā)展和能力提升的系統(tǒng)考慮和期待，將建構(gòu)大概念所需的知識打造成一個聯(lián)系緊密的結(jié)構(gòu)化整體.

雖然“遞推思想”貫穿于整個數(shù)列單元，包括等差、等比數(shù)列也都是借助遞推公式進行定義的，但在教材中，“遞推公式”的概念及簡單應用卻只在“數(shù)列的概念與表示”中有所涉及，內(nèi)容本身顯得非常單薄.因此，若沒有一個大概念作為支撐，則本節(jié)課的教學很難有效開展.有了“遞推公式是數(shù)列的一種表示方法”的認識后，就可以從這個大概念出發(fā)對相關內(nèi)容進行整合，形成本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)，如圖2所示.

圖2

3.3 細化大概念，設計學習流程

在設計學習流程時，一方面要依據(jù)學生的認知水平設置教學內(nèi)容的先后順序、認識角度和理解路徑.另一方面由于大概念不是一個看得見、摸得著的事實，因此，不可能直接“教”給學生，需要把大概念細化為與基本事實、具體問題、學生經(jīng)驗直接相關的“小概念”，進而設計與之相呼應、有一定挑戰(zhàn)性的且能夠充分體現(xiàn)綜合性、層次性、關聯(lián)性、實踐性的“學習任務”和“驅(qū)動性問題”，助力學生進行多視角的學習理解、應用實踐和遷移創(chuàng)新.

如圖3，借助“數(shù)列是一類特殊的函數(shù)”這個單元大概念確定“類比函數(shù)的表示方法”作為本節(jié)課的教學思路；通過細化“遞推公式是數(shù)列的一種表示方法”課時大概念，可以得到“數(shù)列的遞推公式不唯一”“并非所有的遞推公式都可以求通項公式”“遞推公式具有應用價值”等一系列“小概念”，并以此為基礎設計了本節(jié)課的四大學習任務以及對應的學習內(nèi)容.

圖3

對于每個學習任務中的問題設計要求做到層層遞進、環(huán)環(huán)相扣、步步深入、由此及彼，不斷地驅(qū)動學生的思考與學習的進程.

比如，在任務2中，為了揭示“數(shù)列的遞推公式不唯一”這一事實，可以設計如下問題：

問題1你能用遞推公式表示等差數(shù)列嗎？

遞推公式為an+1-an=d,2an+1=an+an+2.

問題2若等差數(shù)列an=2n+1，你能寫出它所對應的遞推公式嗎(至少寫出3個)？

問題3對于一個數(shù)列來說，它所對應的遞推公式唯一嗎？

不唯一.

問題4數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，能否從函數(shù)的視角分析遞推公式到底是什么？

遞推公式類似于函數(shù)中的抽象函數(shù)關系.

又比如，在任務4中，讓學生在豐富的經(jīng)典數(shù)學問題情境中體會遞推思想在揭示問題本質(zhì)及優(yōu)化算法中的作用.

問題5如圖4所示的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，在3個大正方形中，著色的小正方形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列{an}的前3項，求數(shù)列{an}的一個通項公式.

圖4 圖5

提示:先寫出遞推公式a1=1,an+1=8an+1或a1=1,an+1-an=8n.

問題6如圖5，有3根桿子A,B,C，其中桿C上有若干碟子，把所有碟子從桿C上移到桿B上，每次只能移動一個碟子，大的碟子不能疊在小的碟子上面，求最少要移動多少次？

提示:當桿C上有n-1個碟子時，設總移動次數(shù)為an-1次，當桿C上有n個碟子時，設總移動次數(shù)為an次，那么它們之間滿足遞推關系a1=1,an=2an-1+1.

問題7假設一對剛出生的小兔一個月后就能長成大兔，再過一個月就能生下一對小兔，并且此后每個月都生一對小兔，一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡，問:一對剛出生的兔子，一年內(nèi)能繁殖成多少對兔子?

提示:設an表示第n個月的兔子數(shù)，則滿足遞推公式a1=1,an+2=an+an+1.

在“數(shù)列的遞推公式”這節(jié)課中，大概念教學引領學生對遞推公式是什么、為什么、有什么用、怎么學等一系列問題進行了全面的剖析，充分體現(xiàn)了單元教學的整體性和系統(tǒng)性，能夠為學生對數(shù)學知識、思想和方法的掌握形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)認知，并提供一個統(tǒng)籌兼顧、整體規(guī)劃的場域[4]，從而實現(xiàn)課堂的轉(zhuǎn)型與育人模式的轉(zhuǎn)變，這也是大概念教學的最大優(yōu)勢之所在.