許科挺, 毛孟杰

(海曙區(qū)集士港鎮(zhèn)中心初級中學，浙江 寧波 315171)

1 試題呈現(xiàn)

例1如圖1，在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,其中M為BC的中點，點D在MC上.以點A為中心，將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，聯(lián)結(jié)BE,DE.

圖1

1)比較∠BAE與∠CAD的大小；用等式表示線段BE,BM,MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之.

2)過點M作AB的垂線MF，交DE于點N,用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明之.

(2021年北京市數(shù)學中考試題第27題)

2 問題溯源

本題是以“等腰△ABC內(nèi)的線段AD，繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，從而出現(xiàn)另一個等腰△ADE和全等三角形中的‘手拉手’模型，于是得到一些相等的線段和角”的思路進行命制.因此，第1)小題探究2個角的大小和3條線段的數(shù)量關(guān)系，這是很多版本教材中常見的例題、習題形式.可見試題的背景是許多學生廣為熟知的，命題者從教材中的一些例題和習題出發(fā)，經(jīng)過改編、整合、拓展和賦予新的意義等命題方法，考查學生的等腰三角形、全等三角形等主干知識和幾何直觀、邏輯推理、數(shù)學建模等數(shù)學素養(yǎng)，體現(xiàn)試題的公平性和教材的權(quán)威性，把教師的研究視角從“題海戰(zhàn)役”轉(zhuǎn)向“研究教材例題、習題的價值和教學功能”的正確道路上來，從而切實減輕學生的學業(yè)負擔.

本題的創(chuàng)新之處是把第2)小題設(shè)計為“對于特殊四邊形AEBD(一組鄰邊AE=AD，對角線BA平分內(nèi)角∠DBE)，經(jīng)過頂點A在AD的投影點M(即BC的中點)作AB的垂線MF，探索MF是否平分對角線ED”的探索性問題.如果命題者直接呈現(xiàn)第2)小題，沒有經(jīng)過適當暗示和鋪墊，就很可能給學生解題思路的形成造成一定的障礙.因此,設(shè)計第1)小題除了具有起點低、入口寬和拾級而上的功能外，還給學生研究四邊形AEBD的結(jié)構(gòu)和構(gòu)建適當?shù)臄?shù)學模型來解決第2)小題提供了方向.

3 模型探究

我們知道，解數(shù)學題的關(guān)鍵是解題者結(jié)合題目的條件、結(jié)論及圖形，發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造適當?shù)臄?shù)學模型.因此，筆者從題目的條件組合、結(jié)論與條件組合、圖形的結(jié)構(gòu)這3個視角出發(fā)，對試題第2)小題進行數(shù)學模型的探究，從而生成相應(yīng)的解法.

3.1 分析題目的條件組合，探究數(shù)學模型

3.1.1 角平分線模型和蝴蝶模型

思路1由條件易∠ABE=∠ABD和MF⊥AB，根據(jù)角平分線模型，只需延長MF和BE，構(gòu)造等腰△BMG；再過點E作EL∥BM，用全等三角形中的“蝴蝶模型”得到證明(如圖2).或分別過點D,E作MN的垂線，用全等三角形中的“蝴蝶模型”進行證明(如圖3).

圖2 圖3

3.1.2 角平分線模型和A字模型

思路2從∠ABE=∠ABD和MF⊥AB出發(fā)，根據(jù)角平分線模型，過點E作EG⊥AB，構(gòu)造出等腰△BEG.此時EG∥MN，由A字模型把問題轉(zhuǎn)化為證明GM與MD的數(shù)量關(guān)系(如圖4).

圖4 圖5

3.2 分析條件與結(jié)論組合，探究數(shù)學模型

3.2.1 平行四邊形模型

思路3從要求證的結(jié)論“NE與ND的數(shù)量關(guān)系”聯(lián)想到平行四邊形模型中“對角線互相平分”的性質(zhì)，再結(jié)合∠ABE=∠ABD和MF⊥AB.考慮延長BE,MN相交于點G,得到等腰△BGM,然后過點D作DL∥EG交NM的延長線于點L,聯(lián)結(jié)EL,DG,構(gòu)造出GELD(如圖5).

3.2.2 三線合一模型和四點共圓模型

思路4從第1)小題的證明過程中可得AE=AD，再結(jié)合需證明的EN=ND，聯(lián)想到“三線合一”模型.聯(lián)結(jié)AN,AM，通過構(gòu)建點A,N,M,D共圓模型證明AN⊥ED(如圖6).

圖6 圖7

3.3 分析題目的圖形結(jié)構(gòu)，探究數(shù)學模型

3.3.1 線段中垂線模型

思路5四邊形AEBC是由△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)頂角∠BAC形成的，因此形成的四邊形AEBC不再繼承等腰△ABC的對稱性.但如果作AD關(guān)于AM的對稱線段AG,則整個圖形的對稱性又凸顯出來，構(gòu)造出線段中垂線模型.比如AB是線段EG的中垂線，AM是線段GD和BC的中垂線(如圖7).

3.3.2 三角形模型

思路6把線段MN看作△BDE的割線在三角形內(nèi)的一部分，點M,N分別是割線MN與BD,DE的交點.根據(jù)三角形模型，應(yīng)考慮三角形的割線MN與各邊的交點,延長MF和BE相交于點G，然后用梅涅勞斯定理求出EN與ND的比值，從而證明EN=ND(如圖8).

圖8

4 解法生成

證法1(利用角平分線模型和蝴蝶模型)如圖2，延長MF和BE交于點G，過點E作EL∥BM交直線MN于點L.由MF⊥AB，∠GBF=∠MBF，易知

△BFG≌△BFM，

于是

BG=BM.

又EL∥BM，則

EG=EL,

由MD=MC-CD=BG-BE=EG=EL，得

△ELN≌△DMN，

故

EN=ND.

證法2(利用角平分線模型和蝴蝶模型)如圖3，延長MF和BE交于點G，分別過點D,E作MN的垂線，垂足為點H,L.由證法1可得

圖3 圖4

EG=MD，EL∥AB∥DH,

從而

∠GEL=∠GBA=∠CBA=∠BDH，

于是

△ELG≌△MDH，

即

EL=DH，

進而

△ELN≌△DHN,

故

EN=ND.

證法3(利用角平分線模型和A字模型)如圖4，過點E作EG⊥AB交BC于點G，則

EB=BG，

從而

GM=MB-BG=MC-CD=MD.

又EG∥MN，故

EN=ND.

證法4(利用平行四邊形模型)如圖5，延長BE,MN相交于點G,過點D作DL∥EG交NM的延長線于點L,聯(lián)結(jié)EL,DG.由證法1可知

圖5

EG=DM.

因為DL∥EG，所以△DLM是等腰三角形，即

DL=DM=EG,

從而四邊形GELD是平行四邊形，于是

EN=ND.

證法5(利用三線合一模型和四點共圓模型)如圖6，聯(lián)結(jié)AM,AN.因為AB=AC，BM=CM，所以

AM⊥BC.

又MF⊥AB，知

∠AMF=∠ABC.

由于等腰△ABC的頂角與等腰△EAD的頂角相等，因此

∠AMF=∠ABC=∠ADN,

從而點A,N,M,D共圓，于是

∠AND=∠AMD=90°,

即

AN⊥ED，

故

EN=ND.

證法6(利用線段中垂線模型)如圖7，在線段MB上找一個點G，使得MG=MD，聯(lián)結(jié)AG,AM,EG.

易知AM是線段GD的中垂線，從而

AE=AG=AD.

易證

△AEB≌△ADC≌△AGB，

于是

BE=BG，

因此AB是EG的中垂線.易得EG∥MN，又因為MG=MD，所以EN=ND.

證法7(利用三角形模型)如圖8，延長BE,MN相交于點G.設(shè)BM=1，MD=k<1,則

圖8

BG=BM=1，EG=MD=k.

由梅涅勞斯定理,得

即

故

EN=ND.

5 幾點思考

數(shù)學模型是一類典型問題本質(zhì)特征的抽象化的概括[1]，在解題過程中起著十分重要的作用.教師引導學生利用數(shù)學模型解中考題時，應(yīng)做好以下3個方面的工作.

5.1 追根溯源問題，回歸試題本源

中考試題往往是課本經(jīng)典例題、習題的整合與升華[2]，因此，在解題時有必要對試題進行追根溯源.首先，讓學生通過試題的溯源，了解該題的命題背景和它在教材中的出處，從而將陌生試題“熟悉化”；其次，讓學生思考該題將教材中的例題、習題在哪些方面進行整合、改編和拓展，從而發(fā)現(xiàn)試題的創(chuàng)新之處；最后，讓學生探索試題與教材中的相關(guān)例題、習題之間存在著什么樣邏輯聯(lián)系，從而回歸試題本源.

在本文中，筆者先對試題進行問題溯源，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)命題者是將等腰△ABC內(nèi)的線段AD，繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，從而出現(xiàn)另一個等腰△ADE和全等三角形中的“手拉手模型”的命題背景，而這個背景是教材中常見的例題和習題；然后研究試題與教材中的例題、習題之間的不同之處，發(fā)現(xiàn)試題的第2)小題本質(zhì)上是“對特殊四邊形AEBD，經(jīng)過頂點A在AD的投影點M作AB的垂線MF，探索MF是否平分對角線ED”的問題，這是很多學生從來沒有接觸過的新問題，新問題考查學生的解題能力和數(shù)學素養(yǎng)；最后，研究新問題與教材的例題、習題之間的邏輯關(guān)系，發(fā)現(xiàn)教材的例題、習題是為了學生解決新問題設(shè)置了思維的臺階，起著探索解題思路的導向作用.

5.2 分析試題結(jié)構(gòu)，構(gòu)建數(shù)學模型

學生在解題過程中出現(xiàn)思維障礙，沒有發(fā)現(xiàn)或構(gòu)建出適當?shù)臄?shù)學模型，很大程度上是因為沒有先對題目做必要的結(jié)構(gòu)分析.題目的結(jié)構(gòu)分析，一般是從題目的條件、結(jié)論和圖形的結(jié)構(gòu)入手.分析題目的條件，最重要的是從條件之間的關(guān)系或組合中探索數(shù)學模型；分析題目的結(jié)論，應(yīng)該把結(jié)論與同它相關(guān)聯(lián)的條件進行組合，從而挖掘出試題中隱含的數(shù)學模型；分析圖形的結(jié)構(gòu)，應(yīng)從幾何圖形的“整體美”中提煉出數(shù)學模型.

比如，證法3的思路是將題目中的條件“∠ABE=∠ABD和MF⊥AB”進行整體考慮，只要過點E作BG⊥AB就得到“角平分線模型”和“A字模型”；證法5的思路是將題目的結(jié)論“EN=ND”與條件“AE=AD”進行組合，構(gòu)造出“三線合一模型”和“四點共圓模型”；證法6的思路是從圖形的對稱入手，找到“作點D關(guān)于AM的對稱點G”方法，從而構(gòu)建出“線段中垂線模型”.

5.3 重視數(shù)學模型，生成自然解法

數(shù)學模型的學習是初中數(shù)學課程不可或缺的一部分，也是數(shù)學建模核心素養(yǎng)的集中體現(xiàn)[1].教師要立足于教材，重視教材中的數(shù)學模型，理解數(shù)學模型中的特征和核心要素.在解題教學過程中，教師要引導學生自覺地探索數(shù)學模型，生成自然解法，從而提升學生的解題能力和核心素養(yǎng).

比如，在證法7中，筆者把“證明EN與ND相等”問題轉(zhuǎn)化為“計算這兩條線段的比值”問題，這樣就把解題的視角轉(zhuǎn)向為找“三角形模型”，自然而然地利用梅涅勞斯定理，簡明快捷地計算出EN與ND的比值，從而證明“EN與ND相等”的結(jié)論，同時把學生“數(shù)學模型”“幾何直觀”“邏輯推理”和“數(shù)學運算”等數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有機地融合.