盛 姍

(金華第一中學(xué)，浙江 金華 321000)

1 問題提出

2020年秋，筆者所帶的高一年級(jí)開始使用新教材.在新教材的實(shí)施過程中，筆者所在教研組團(tuán)隊(duì)一直堅(jiān)持探索如何在課堂教學(xué)中提升學(xué)生的核心素養(yǎng).筆者在2021年4月省市教研員來校的調(diào)研活動(dòng)中，執(zhí)教了“平面與平面平行的性質(zhì)”一課，取得了較好的教學(xué)效果.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容是人教A版普通高中教科書《數(shù)學(xué)(必修2)》第八章第5節(jié)“空間直線、平面的平行”,是平行關(guān)系的最后一節(jié)課，對(duì)于完善平行鏈有著決定性作用.利用平行鏈可以實(shí)現(xiàn)平行關(guān)系(線線、線面、面面)的轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化將有助于后續(xù)第6節(jié)“空間直線、平面的垂直”的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)“空間直線、平面之間的位置關(guān)系”的認(rèn)知更加系統(tǒng)性.由于以平面與平面平行為條件推出的結(jié)論有很多，若面面俱到，則課堂容量太大且重點(diǎn)不夠突出，因此筆者將這一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)為“平面與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用”.

2.2 學(xué)情分析

筆者執(zhí)教的班級(jí)在普通班中屬于偏上水平，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高、思維活躍，相互研究、交流的氛圍好.同時(shí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，有了借助模型(如用筆當(dāng)直線、用書本當(dāng)平面)直觀想象的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).在“直線與平面平行的性質(zhì)”學(xué)習(xí)中體會(huì)了降維思想，且對(duì)“與同一平面平行的兩平面是平行的”等有了初步感性認(rèn)識(shí).因此，本節(jié)課圍繞直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等素養(yǎng)的滲透，讓學(xué)生借助模型觀察，教師設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)思考，運(yùn)用“觀察—猜想—論證”的認(rèn)知方法，完全可以實(shí)現(xiàn)重定理發(fā)現(xiàn)過程、重學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)、重類比化歸思想應(yīng)用.

2.3 目標(biāo)分析

基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析，筆者將教學(xué)目標(biāo)確定為：

1)學(xué)生通過觀察、猜想、論證，發(fā)現(xiàn)并掌握面面平行的性質(zhì)定理；

2)通過典型例題，體會(huì)定理在平行鏈中的地位和作用，形成完整的平行關(guān)系知識(shí)體系；

3)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究數(shù)學(xué)的能力，領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，逐步提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)理解平面與平面平行的性質(zhì)定理的內(nèi)容.

教學(xué)難點(diǎn)平面與平面平行的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)過程及應(yīng)用.

2.4 教學(xué)過程

2.4.1 復(fù)習(xí)舊知，引入課題

設(shè)計(jì)意圖先復(fù)習(xí)舊知，平行鏈中缺失的箭頭激起了學(xué)生探究的興趣，這讓筆者意識(shí)到本節(jié)課題是對(duì)已有平行鏈的一個(gè)完善，是非常有必要的.

2.4.2 借助模型，發(fā)現(xiàn)結(jié)論

小組合作探究模式一直是現(xiàn)代教育理念倡導(dǎo)的一種方式.學(xué)生借助最常見的實(shí)物模型(筆、書、課桌等)，以小組合作的形式，動(dòng)手探究，直觀感受.學(xué)生經(jīng)過操作，提出以下猜想：

猜想1兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行另一平面.

猜想2兩平面平行，一直線與其中一個(gè)平面平行，必平行另一個(gè)平面(或在該平面內(nèi)).

猜想3兩平面平行，一直線與其中一個(gè)平面相交，必與另一平面也相交.

猜想4兩平面平行，第三個(gè)平面與其中一個(gè)平面平行，與另一個(gè)也平行.

猜想5兩平面平行，第三個(gè)平面與其中一個(gè)平面相交，與另一個(gè)也相交.

(小組成員分工明確，代表回答猜想的同時(shí)其他組員配合擺出相應(yīng)的空間模型.)

問題1對(duì)于猜想5，請(qǐng)畫出圖形.

(請(qǐng)發(fā)現(xiàn)該猜想的同學(xué)到黑板上畫圖，圖略.)

問題2第三個(gè)平面與兩平行平面相交，形成的兩條交線之間有什么位置關(guān)系？

生(眾)：平行？

(受黑板上圖形的影響，不太確定.)

受將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言的能力所限，精準(zhǔn)得到兩交線的位置關(guān)系存在困難.于是，筆者借助幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)演示，讓第三個(gè)平面從猜想4的位置開始動(dòng)起來，逐漸與兩平行平面相交，讓學(xué)生經(jīng)歷空間模型圖形化，從直觀想象到“眼見為實(shí)”！圖1～4是動(dòng)態(tài)演示過程中的幾種位置截圖，由此自然得到猜想6.

圖1 圖2

猜想6兩平面平行，同時(shí)與第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行.

設(shè)計(jì)說明從線面、面面的位置關(guān)系出發(fā)，學(xué)生容易得到前5個(gè)猜想.對(duì)于“交線”學(xué)生不太容易發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生將猜想5轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，自然地關(guān)注到交線，并思考交線的位置關(guān)系.由于直觀感知和圖形刻畫產(chǎn)生沖突，呼喚多媒體技術(shù)介入.教師借助幾何畫板軟件，演示面面位置關(guān)系的變化過程，增強(qiáng)直觀性，實(shí)現(xiàn)靜態(tài)知識(shí)動(dòng)態(tài)化，這樣有利于發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).用恰當(dāng)?shù)奈淖终Z(yǔ)言刻畫探究得到的猜想可以提升學(xué)生的抽象能力和語(yǔ)言表達(dá)能力.在兩個(gè)平面平行的條件下，可以推出的結(jié)論是很多的，由于課堂時(shí)間所限，順利得到猜想1和猜想6之后，師生不再共同探索其他猜想，教師鼓勵(lì)學(xué)生課后繼續(xù)思考.

2.4.3 論證猜想，得到性質(zhì)

結(jié)合長(zhǎng)方體模型(如圖5)，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)猜想1符合線面平行的定義，是正確的.這是面面平行的性質(zhì)定理1，簡(jiǎn)記為：面面平行→線面平行.適時(shí)提問：面面平行可以直接推出線線平行嗎？即猜想6是否正確?

師：我們已經(jīng)畫出了圖形(如圖4)，證明猜想之前還得先做什么?

生1：寫出已知、求證.

已知：α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,求證：a∥b.

生2：用定義法.直線a,b分別在平行平面α,β內(nèi)，故沒有公共點(diǎn)，又同時(shí)在平面γ內(nèi)，自然是平行的.

生3：用今天剛學(xué)的面面平行的性質(zhì)定理1，先得到a∥β，再用之前學(xué)的線面平行的性質(zhì)定理得以證明.

師：非常棒！能夠把剛學(xué)的性質(zhì)定理1活學(xué)活用！這是面面平行的性質(zhì)定理2，可以簡(jiǎn)記為：面面平行→線線平行.至此，平行鏈得到了完善：

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在模型觀察的過程中，易受圖形直觀的影響，難以深入實(shí)質(zhì)，因此猜想是否正確需要進(jìn)一步證明.由于教學(xué)內(nèi)容所限，重點(diǎn)證明兩條性質(zhì)定理，其余猜想的證明留課后自主完成.圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言是空間想象能力更進(jìn)一步的體現(xiàn)，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化將有助于提升學(xué)生的抽象能力和空間想象能力.教師帶領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)和定理對(duì)猜想進(jìn)行嚴(yán)密論證，進(jìn)而獲得新的結(jié)論，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)密性，又提升了學(xué)生的邏輯思維能力.

2.4.4 例題講解，體會(huì)應(yīng)用

例1(求證夾在兩平行平面之間的平行線段相等)已知：如圖6，α∥β,AB∥CD,其中A,C∈α,B,D∈β,求證：AB=CD.

圖6 圖7

例2如圖7，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，

1)點(diǎn)P是B′D′上任意一點(diǎn)，求證：AP∥平面BDC′；

2)點(diǎn)E,F分別是側(cè)面對(duì)角線AB′,BC′上的點(diǎn)，且B′E=C′F,求證：EF∥平面ABCD.

設(shè)計(jì)意圖例1可轉(zhuǎn)化為證明四邊形ABDC是平行四邊形.更進(jìn)一步，轉(zhuǎn)化為證明AC∥BD,根據(jù)本節(jié)課所學(xué)的性質(zhì)定理2便可得證.設(shè)計(jì)例1的目的是讓學(xué)生初步體會(huì)性質(zhì)定理的應(yīng)用.

例2的背景是學(xué)生熟悉的正方體模型，學(xué)生對(duì)模型中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系比較了解，能自然快速地進(jìn)入思考狀態(tài).第1)小題，由于點(diǎn)P的任意性，更適合用本節(jié)課的性質(zhì)定理1來證明；第2)小題，由于EF是確定的，可用之前學(xué)的線面平行的判定定理，也可用本節(jié)課學(xué)的性質(zhì)定理1來證明，一題多解，讓學(xué)生加深對(duì)平行鏈的認(rèn)識(shí).兩個(gè)小題的差異設(shè)計(jì)讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線的處理方法——?jiǎng)又姓叶?，用性質(zhì)定理中的降維轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行突破.

2.4.5 問題拓展，應(yīng)用升華

變式拓展1如圖8，平面α∥平面β,AB,CD是兩條異面直線，A,C在平面α內(nèi)，B,D在平面β內(nèi)，AB,CD的中點(diǎn)分別是M,N，求證：MN∥平面β.

引導(dǎo)式提問似曾相識(shí)嗎？請(qǐng)找一找與例2的關(guān)系.

生4：相當(dāng)于把例2中的異面直線AB′,BC′抽象出來.

師：借鑒例2，轉(zhuǎn)化成在平面β內(nèi)找一條直線，證明其與MN平行，或者找一個(gè)過MN的平面與β平行.如何突破？

生5：例2中的BB′起到了聯(lián)結(jié)異面直線AB′,BC′的作用，這是成功轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵.類似地，變式中可聯(lián)結(jié)AD，用本節(jié)課所學(xué)的性質(zhì)定理1來證明.

師：“聯(lián)結(jié)AD”是成功的關(guān)鍵，你能分析其中的原因嗎？

生6：平行關(guān)系一定是以共面為前提的，“聯(lián)結(jié)AD”實(shí)現(xiàn)了化異面為共面.

師：分析得非常棒！還有沒有其他化異面為共面的方法？同學(xué)們課后可以繼續(xù)思考.

設(shè)計(jì)意圖從例2的正方體背景抽象提取了純粹的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題，又與例1背景相似，難度卻上了一個(gè)臺(tái)階，這是立體幾何中常見的應(yīng)用升華.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)明確指出：應(yīng)先以長(zhǎng)方體為載體來認(rèn)識(shí)和理解以及論證出空間的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，在學(xué)習(xí)中理解體會(huì)這種從具體到抽象的思考問題的方法.由已經(jīng)解決的例1和例2進(jìn)行鋪墊，讓學(xué)生有種既熟悉又陌生的感覺，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，挑戰(zhàn)學(xué)生的潛能，順利地進(jìn)入下個(gè)發(fā)展區(qū).這正是維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”所倡導(dǎo)的教學(xué)觀.

2.4.6 課堂小結(jié)，回歸素養(yǎng)

結(jié)合完善的平行鏈，回顧兩個(gè)性質(zhì)定理的內(nèi)容,理解定理在平行體系中的地位和作用.本節(jié)課滲透的數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化化歸思想，既包括陌生問題熟悉化、判定定理升維化、性質(zhì)定理降維化，也包括自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化.

3 教學(xué)反思

《課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能只是教師的傳授、學(xué)生的模仿.特別是高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)倡導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立探究，大膽猜想、嚴(yán)密論證等學(xué)習(xí)方式；讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，激發(fā)他們的創(chuàng)新意識(shí).本堂課遵循“教師是教學(xué)的主導(dǎo)，學(xué)生是教學(xué)的主體”，經(jīng)歷模型觀察、抽象概括、轉(zhuǎn)化化歸，讓學(xué)生最大限度地感受定理生成的必要性和必然性.

3.1 模型觀察，提升直觀想象素養(yǎng)

立體幾何中對(duì)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)需要一定的空間想象能力，故性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)是一個(gè)難點(diǎn).而空間幾何模型是直觀想象素養(yǎng)的良好載體，教師鼓勵(lì)學(xué)生借助現(xiàn)有的筆和課本以及身處的教室(長(zhǎng)方體模型)為思考的載體；然后借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，幫助學(xué)生自然地突破，進(jìn)而提升學(xué)生的空間想象能力.

3.2 抽象概括，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是形成理性思維的重要基礎(chǔ).在探究活動(dòng)中，從實(shí)物模型抽象、概括出數(shù)學(xué)結(jié)論，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)；嘗試畫出從實(shí)物模型抽象出來的幾何圖形，再對(duì)照?qǐng)D4，領(lǐng)悟畫圖的要領(lǐng)，提高思圖、辨圖的能力，這些都是數(shù)學(xué)抽象的一種體現(xiàn).從具體模型(如長(zhǎng)方體模型)中抽象出點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，符合從具體到一般的研究規(guī)律.在平時(shí)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地創(chuàng)造這樣的機(jī)會(huì)，潛移默化地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.3 轉(zhuǎn)化化歸，提升邏輯推理素養(yǎng)

化歸思想曾被笛卡爾譽(yù)為“萬能方法”.化歸后的問題比原問題更接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，更容易突破.完善的平行鏈反應(yīng)出線線平行、線面平行和面面平行是可以相互轉(zhuǎn)化的.這種轉(zhuǎn)化是立體幾何中的重要思想方法.例2求解的目標(biāo)是線面平行，可以轉(zhuǎn)化為線線平行來判定；也可以利用面面平行的性質(zhì)來證明.陌生的問題(變式拓展1)在化歸思想的指導(dǎo)下可轉(zhuǎn)化為熟悉的問題(例2)，以便更快地思考，化難為易.平面化是研究立體幾何問題的重要方法之一，化異面為共面，化空間為平面，往往能起到意想不到的效果.數(shù)學(xué)課堂中注重化歸思想的滲透，對(duì)提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)大有裨益.

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的潛移默化的過程.教師在教學(xué)中不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，更要關(guān)注知識(shí)的形成過程和應(yīng)用過程.在探究過程中提升理解能力，發(fā)展遷移能力，進(jìn)而在潛移默化中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].