李國強

(石光中學,福建 石獅 362700)

問題是學生認知與思維的起點，是激發(fā)學生深度學習的“催化劑”.在新高考背景下，“問題導學”教學模式愈發(fā)受到高中數(shù)學教師的青睞.所謂問題導學，指的是以優(yōu)質的“問題”為主線，以學生為主體，通過引導學生對一系列“問題”進行探索，誘發(fā)學生多角度、多方位地思考問題，促進學生深度學習，提升其解決問題能力的一種教學策略[1].當前，數(shù)學課堂教學中仍然存在著淺層學習、低效學習等不良現(xiàn)象，原因之一就是設置的問題浮于表層，思維“含金量”低，難以促進學生思維的進階.因此，在學生的“最近發(fā)展區(qū)”設計一系列既能激發(fā)其求知欲、又具探究價值的問題，是驅動學生深度學習、培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要路徑.筆者結合近幾年來的課堂教學實踐，關于問題導學談幾點做法與感悟.

1 以情境性問題為依托，引領學生感悟知識的源和流

高中數(shù)學教材中的概念、定理一般是以濃縮的形式呈現(xiàn)的，深度學習強調應該讓學生親歷知識的產生與發(fā)展過程，體驗知識的來龍去脈.但由于受到課時的限制，很多高中數(shù)學教師常常忽視這一過程，總想一步到位，學生對新知還未深度理解，就開始進行題型訓練，很難達到應有的教學效果.因此，教師應對教學內容進行適度的“再加工”，以情境性問題為依托，緊扣教學目標精心設計問題，驅動學生在有效的問題情境中探索新知，自然地提煉、概括出問題的本質，從而實現(xiàn)課堂的有效生成.

案例1人教A版高中《數(shù)學(必修1)》“函數(shù)的零點與方程的解”教學片段.

問題1函數(shù)f(x)=x5+2x-1有零點嗎？如果有零點，你能求出來嗎？

(學生們搖頭.)

師：歷史上，數(shù)學大師們一直在探索求解高次方程的一般方法，但都沒有結果.直到19世紀，法國數(shù)學家伽羅瓦終于證明了5次及其以上的方程不存在統(tǒng)一公式解.能否用別的方法判定函數(shù)是否有零點呢？

生1：可以運用函數(shù)圖像來判定.

問題2某市某日從0～12時的溫度呈連續(xù)變化趨勢，請大家用兩種不一樣的曲線對圖1進行補充，使它成為一個完整的函數(shù)圖像.在0～12時之間，是否必有某一時刻的溫度為0 ℃？為什么？

圖1

教師首先利用“數(shù)學史”豐富學生的數(shù)學文化知識，然后構建“氣溫曲線”模型，讓學生嘗試用“兩種曲線”連接，引發(fā)了他們的興趣.經過實踐操作，“未曾預約”的生成不期而至，其中包括在(a,b)內有多個零點的圖像，也包括在(a,b)內有唯一零點的圖像，還有對函數(shù)概念理解不當畫錯的圖像.教師利用多媒體展示各種畫法(由于篇幅有限，本文中只展示下列4種)，如圖2所示.

圖2

問題3若0時與12時的溫度都在0 ℃以上或0 ℃以下，那么在這段時間里，是否有某一時刻的氣溫為0 ℃？

評注教師構建“氣溫曲線”模型，且引入“區(qū)間”“異號”“連續(xù)不斷”等關鍵詞，這些都是引導學生探究的好素材.

問題4對一般函數(shù)y=f(x)，若在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在(a,b)內是否必有零點？

一些學生認為有零點，但另一些學生認為不一定有.

問題5函數(shù)y=f(x)應滿足哪些條件，使得它在(a,b)內一定有零點？

通過思維的不斷碰撞，“零點存在定理”呼之欲出.

問題6以下說法是否正確？若不正確,請舉出反例.

1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)f(b)<0，則f(x)在(a,b)內有唯一零點；

2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)f(b)>0，則f(x)在(a,b)內不存在零點；

3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點，則f(a)f(b)<0；

4)若單調函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)f(b)<0，則f(x)在(a,b)內有唯一零點.

本案例中，教師針對學情設置了思維含量高的一系列問題，為學生提供真實的問題情境，循序漸進地引導學生進行探究.學生通過操作、分析、猜想、歸納等活動，親歷了由“形”到“數(shù)”的數(shù)學抽象過程，實現(xiàn)了形與數(shù)之間的轉換，水到渠成地生成了“零點存在定理”.然后，教師設計了問題6，有效引導學生對命題的題設與結論加以剖析，使學生的思維向高階發(fā)展，深度理解了定理的內涵與外延，讓數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根.

2 以階梯型問題為紐帶，挖掘學生思維的“深度”

創(chuàng)設“階梯型”問題，就是緊扣教學目標，精心設計前后關聯(lián)、逐步遞進的問題系列.設計階梯型問題，既要注重問題的針對性與可接受性，又要考慮問題的層次性與思維價值，使問題“精準發(fā)力”，驅動學生深入思考、探究.可將一個復雜的問題分解為一些互相聯(lián)系、梯度恰當?shù)淖訂栴}，引領學生循序漸進、逐步擊破，讓他們體驗“步步登高”的獲得感，從而喚醒學生的靈性與悟性，使體現(xiàn)學科本質的深度學習真正發(fā)生[2].

案例2高三一輪復習課“利用函數(shù)的單調性解不等式”微專題.

生1：由f(x)的圖像可得f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).由f(x2)>f(5-4x)，得x2>5-4x，即x∈(-∞,-5)∪(1,+∞).

師：很好！運用函數(shù)的單調性求解不等式簡便、高效.那么，大家對解不等式有哪些思考？

生2：一般采用兩種方法：一是運用不等式性質解題；二是運用函數(shù)的單調性求解.

問題2設函數(shù)

若f(5-a2)≥f(4a)(其中a為實數(shù))成立，則a的取值范圍為______.

師：應選擇什么方法求解該不等式呢？

生3：直接代入求解很繁雜，我想用函數(shù)的單調性求解.當x≤e時,

f(x)=-x2+6x+e2-5e-2,

f(x)在(-∞,e]上是增函數(shù)；當x>e時,

f(x)=x-2lnx，

求導得

可知f(x)在(e,+∞)上是增函數(shù)，故f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).

師：f(x)在(-∞,e]上是增函數(shù)，在(e,+∞)上也是增函數(shù)，則f(x)在(-∞,+∞)上必是增函數(shù)嗎？

生4：不一定.本題中，f(x)在(-∞,e]上是增函數(shù)，當x≤e時，

f(x)≤f(e)，

即

f(x)≤e-2；

f(x)在(e,+∞)上是增函數(shù),當x>e時，

f(x)>f(e)，

即

f(x)>e-2，

故f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).

師：很好!看來二次函數(shù)f(x)=-x2+6x+e2-5e-2設置這么復雜的常數(shù)項是有意義的，可以運用哪些方法研究函數(shù)的單調性呢？

生5：圖像法、定義法和導數(shù)法.

師：是否可以構造函數(shù)求解呢？

即

g(log2x)

故

log2x>1,

得

x∈(2,+∞).

師：總結得很到位！構造函數(shù)是解決本題的關鍵.

問題5已知α∈[0,2π)，cos5α-sin5α<5(sin3α-cos3α)，那么α的取值范圍為______.

生9：受問題4的啟發(fā)，將原不等式變形為

cos5α+5cos3α

師：太棒了！實現(xiàn)了知識的有效遷移.

本案例根據(jù)學生的認知基礎，設置排列有序、層層遞進的問題系列，為學生提供思維跳板，并留給他們思考的時間，引導其探究、交流.學生在動腦、動手、動口的活動中，實現(xiàn)了思維的進階，對“函數(shù)單調性”的判定方法形成了模型構建，提升了邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

3 以反思性問題為導向，拓展學生思維的“寬度”

反思是一個能動的對知識進行加工的過程，有利于產生超越已有認知以外的信息，并在此基礎上建立更深層次的認知體系.在數(shù)學教學中，教師應以反思性問題為導向，引導學生從解決問題的基本技能、思維策略、拓展方向等進行全方位、多視角的反省，這樣能拓展知識的寬度與深度，課堂生成更豐富，同時有利于培養(yǎng)學生勇于探索、敢于質疑的思維品質，進而促進學生的解題思維從模仿到創(chuàng)新，實現(xiàn)深度學習[3].

1)求橢圓C的標準方程；

2)E,F是橢圓C上的兩個動點，若直線PE,PF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

這是一個稍縱即逝的生成性資源，教師決定抓住時機引導學生解后反思：

反思1本題有這樣的規(guī)律，對于一般的橢圓，有此結論嗎？

問題引發(fā)了學生的探究熱情，學生們開始驗證：

(b2+a2k2)x2+(2kab2-2k2a2c)x+k2a2c2

-2kacb2+b4-a2b2=0,

則

由已知得PF的斜率為-k，則

由上可得推論1：

反思3橢圓有這樣的結論，雙曲線、拋物線是否有相似的結論？

學生們通過類比研究，得到了以下推論：

由上述推論，獲得了圓錐曲線的一個優(yōu)美結論：

結論1已知圓錐曲線C經過一定點P，E,F為C上兩個動點，如果定點P與C的一個焦點的連線與C的對稱軸垂直，并滿足kPE+kPF=0,那么|kEF|=e.

本案例中，教師抓住契機，引導學生由現(xiàn)象到本質，進行多視角反思、探究.學生的思維在碰撞中迸發(fā)出絢麗的火花，不僅內化了解題經驗，而且使知識產生“連鎖反應”，提升到了“由例及類”的高度.因此數(shù)學教學應為學生搭建合理的“腳手架”，讓其拾級而上，在不斷地提出問題、反思問題、解決問題過程中，實現(xiàn)高階思維，促進數(shù)學抽象與邏輯推理素養(yǎng)的提升.

總之，問題是驅動學生思維的動力引擎，是優(yōu)化課堂教學促進學生深度學習的重要途徑[3].教師只有深入研究教材，才能形成知識的“聯(lián)結點”，點燃學生思維的“關鍵點”，提出具有針對性、層次性、反思性、拓展性的問題，使學生在問題的引領下，經歷主動參與、深入思考、體驗成功、思維不斷發(fā)展的深度學習過程，這才是數(shù)學教學的終極價值.