伍建軍，王振飛

（江西理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，贛州 341000）

0 引言

柔順機(jī)構(gòu)相對(duì)于普通的剛性構(gòu)件具有低成本高性能的優(yōu)勢(shì)，較少的運(yùn)動(dòng)副，可以減少甚至消除回差，磨損度也大大降低，精度得到一定提高。但是，桿件在長(zhǎng)期的交變載荷的作用下變形能力會(huì)隨之有所降低，性能下降，需對(duì)其可靠性進(jìn)行提高。針對(duì)柔順機(jī)構(gòu)的研究，國內(nèi)外學(xué)者取得了一系列的成果[1]。文獻(xiàn)[2]采用了一次二階矩陣法，用其可靠性指標(biāo)來衡量參數(shù)隨機(jī)性的影響，通過柔順機(jī)構(gòu)熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型找出了性能與成本的最佳結(jié)合點(diǎn)。文獻(xiàn)[3]通過結(jié)合偽剛體法與拉格朗日方程建立出柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)模型，對(duì)其運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[4，5]利用數(shù)值擬合法和有限元法對(duì)柔順機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了相關(guān)研究。這些研究主要針對(duì)柔順鉸鏈，或是柔順桿件的拓?fù)鋬?yōu)化、數(shù)值擬合以及偽剛體法等，而在柔順桿件的可靠性方面研究較少。柔順桿件作為機(jī)器中的重要構(gòu)件，其可靠性直接影響到整體的工作效率，提高可靠性至關(guān)重要。

田口方法解決單響應(yīng)目標(biāo)的可靠性優(yōu)化問題較為實(shí)用，但是由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜化，響應(yīng)目標(biāo)也不單一。再者，田口法在確定各因素的水平后所得出最佳方案，但是其很大程度上取決于水平范圍的取值，也同時(shí)缺少對(duì)多目標(biāo)的針對(duì)權(quán)重分配分析，因此，分析所得出的方案為所選取的水平值針對(duì)某一在優(yōu)化數(shù)值上占較大比例的響應(yīng)目標(biāo)的最佳組合，是一個(gè)接近于最佳結(jié)果的值。傳統(tǒng)田口法主要分為選定質(zhì)量特性值、確定試驗(yàn)因素、確定優(yōu)化水平、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和對(duì)比驗(yàn)證這五步，為解決柔順機(jī)構(gòu)多目標(biāo)響應(yīng)可靠性優(yōu)化問題，在本文中提出田口法結(jié)合靈敏度分析的加權(quán)優(yōu)化方法主要對(duì)其中的第三和第四步進(jìn)行改進(jìn)，采用靈敏度法分析各參數(shù)對(duì)新型鉸鏈可靠度的影響大小及其規(guī)律，進(jìn)而篩選影響因素，并得到各影響因素的權(quán)重系數(shù)以及確認(rèn)它們合理的取值范圍，以此來對(duì)柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。該方法克服了傳統(tǒng)田口法的局限性，可以更精確地確定最佳參數(shù)，以此來更好地提高柔順機(jī)構(gòu)的可靠性。

1 柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)的可靠性分析

1.1 可靠性理論分析

柔順機(jī)構(gòu)作為剛?cè)峄旌媳尘跋碌男滦蜋C(jī)構(gòu)，通過彈性變形來傳遞運(yùn)動(dòng)和能量，性能方面比起傳統(tǒng)的剛性機(jī)構(gòu)更加可以滿足工程實(shí)際的需求，其中，柔順機(jī)構(gòu)的可靠性是將其廣泛應(yīng)用于機(jī)械工程領(lǐng)域的基礎(chǔ)和前提。它主要由柔性梁、剛性梁以及導(dǎo)向梁組成，其原理是導(dǎo)向梁承受橫向作用力使得柔性梁發(fā)生彎曲變形從而傳遞運(yùn)動(dòng)，由于柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)是對(duì)稱模型，故選取二分之一來研究分析[6]，具體的結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)參數(shù)圖

在本文中主要考慮到傳統(tǒng)田口法選擇水平因素的局限性，將其結(jié)合靈敏度分析以及數(shù)學(xué)建模對(duì)柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以有效提高其優(yōu)化的精度。在本文中，柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)的可靠度主要由在相同作用力的情況下，導(dǎo)向梁產(chǎn)生的輸出位移決定。由文獻(xiàn)[7]可知輸出位移公式如式(1)所示。

式(1)中：S-輸出位移；F0-外部壓力；E-材料的彈性模量；I0-性矩；a-柔性梁的長(zhǎng)度；b-剛性梁的長(zhǎng)度。其中，截面慣性矩如式(2)所示。

式(2)中：c-柔性梁的寬度；t-柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)的厚度。

在本次試驗(yàn)中，需要考慮到的幾何尺寸包括：柔性梁的長(zhǎng)度a、剛性梁的長(zhǎng)度b、柔性梁的寬度c、剛性梁的寬度d和機(jī)構(gòu)的厚度t，將其作為設(shè)計(jì)參數(shù)，柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)的輸出位移S作為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行初步試驗(yàn)分析，根據(jù)初步分析結(jié)果篩選影響因素，并分析其影響規(guī)律確定出顯函數(shù)形式的可靠度數(shù)學(xué)模型式(3)，根據(jù)計(jì)算所得的可靠度挑選出最佳方案。

式(3)中：Δ-可靠度；k-變化系數(shù)；x-尺寸參數(shù)。

1.2 有限元模型分析

本文選取柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)作為研究對(duì)象，材料選擇Al，彈性模量E=16GPa，泊松比為0.42，在workbench中進(jìn)行模態(tài)分析。網(wǎng)格劃分單元格大小為2mm，如圖2所示。在一段的導(dǎo)向梁施加橫向力F，F(xiàn)取值為10N，另一端施加固定約束，如圖3所示。其一階固有頻率以及輸出位移的分析結(jié)果如圖4和圖5所示，從云圖中可以看出導(dǎo)向梁和柔性梁為主要影響對(duì)象。導(dǎo)向梁受力后，柔性梁通過變形傳遞作用力，其變形越大，傳遞的能量越高，同時(shí)，固有頻率越高，可以很好的防止共振現(xiàn)象造成性能波動(dòng)影響可靠度。因此可將模型的一階固有頻率和最大輸出位移作為優(yōu)化目標(biāo)，該數(shù)值可以間接體現(xiàn)柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)的可靠性，將其尺寸參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行試驗(yàn)研究。為了可以更直觀地看出傳統(tǒng)田口法和本研究方法所得結(jié)果的區(qū)別，在本次研究中，同時(shí)進(jìn)行兩種方案，并將兩者所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

圖2 網(wǎng)格劃分圖

圖3 約束情況圖

圖4 原模型一階固有頻率云圖

圖5 原模型輸出位移云圖

1.3 可靠性優(yōu)化流程框架設(shè)計(jì)

如圖6所示。

圖6 柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖

2 優(yōu)化實(shí)例

2.1 田口法分析及仿真結(jié)果

根據(jù)柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)的工作性能，柔性變形越大，傳遞能量越高，同時(shí)，固有頻率越高，可以有效防止產(chǎn)生共振造成破壞[8]。本文將圖1中的全部尺寸參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，選取變量的對(duì)應(yīng)水平如表1所示，輸出位移和一階固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)。若采用傳統(tǒng)的田口方法進(jìn)行優(yōu)化，在設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)表格后，由于設(shè)計(jì)變量是5因素3水平，因此共需進(jìn)27組實(shí)驗(yàn)。進(jìn)有限元分析后，所得到的結(jié)果如表2所示。

表1 設(shè)計(jì)變量水平表（mm）

表2 仿真試驗(yàn)結(jié)果

（續(xù)）

對(duì)表2中的各尺寸參數(shù)進(jìn)行信噪比分析[9]，可以出的其對(duì)應(yīng)的效應(yīng)圖，如圖7和圖8所示。從輸出位移和一階固有頻率的望大特性圖中可以看出，尺寸如果按照傳統(tǒng)的田口優(yōu)化方法的話，相對(duì)于原始數(shù)據(jù)a2b2c2d2t2，所得的較優(yōu)方案應(yīng)是a3b3c1d2t1或a3b1c1d1t1，相關(guān)的參數(shù)和優(yōu)化程度如表3所示。根據(jù)式(3)，確定整體優(yōu)化程度式如式(4)所示。

圖7 輸出位移望大特性信噪比效應(yīng)圖

圖8 一階固有頻率望大特性信噪比效應(yīng)圖

式(4)中，w1和w2分別為輸出位移和一階固有頻率的優(yōu)化程度，由于四桿機(jī)構(gòu)的輸出位移和固有頻率對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定皆較為重要，故各取值為1/2。

由表3可知田口法所得的最佳方案為a3b3c1d2t1，整體優(yōu)化了53.06%，可靠度得到較大的提高，由于是選取了10%的尺寸范圍后得出的結(jié)論，而不同尺寸對(duì)四桿機(jī)構(gòu)可靠度的影響顯然有所差異，若各因素使用不同的水平范圍，最后得出的結(jié)果將會(huì)有所變化，且在此間選取的最佳方案并沒有完全兼顧到固有頻率和輸出位移兩者的綜合影響。為提高結(jié)果的精確度，將采用靈敏度分析得出各尺寸對(duì)整體結(jié)構(gòu)的影響規(guī)律及大小，通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行綜合優(yōu)化。

表3 田口法較優(yōu)方案參數(shù)表

2.2 靈敏度分析影響因子

概率靈敏度是指對(duì)零部件造成影響的靈敏度參數(shù)，通過概率靈敏度計(jì)算可以確定影響的主要因素以及影響規(guī)律，從而可以在設(shè)計(jì)過程中對(duì)其進(jìn)行控制來獲得更高質(zhì)量的產(chǎn)品[10]。為得出各個(gè)尺寸對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響規(guī)律，通過分析其靈敏度參數(shù)來進(jìn)行研究。在本文中將各個(gè)幾何尺寸分別作為隨機(jī)變量研究，同時(shí)控制其他條件相同，得出各個(gè)幾何尺寸對(duì)柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)輸出位移和一階固有頻率的影響規(guī)律。若直接采用靈敏度分析的方法，除了最初的試驗(yàn)以外只需再做10組試驗(yàn)，便可以得出各個(gè)尺寸的影響規(guī)律及大小，相對(duì)于在相同水平范圍內(nèi)采用的田口法進(jìn)行的27組試驗(yàn)節(jié)約了大量的時(shí)間，相關(guān)的數(shù)據(jù)如表4所示，具體的影響情況如圖9和圖10所示。

表4 靈敏度參數(shù)表

圖9 輸出位移變化率靈敏度圖

圖10 一階固有頻率靈敏度圖

由圖(10)可知，柔性梁的長(zhǎng)度a、剛性梁的長(zhǎng)度b、柔性梁的寬度c和機(jī)構(gòu)的厚度t對(duì)柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)的輸出位移造成的影響都超出了20%，尤其是柔性梁的寬度c影響程度甚至接近60%十分顯著。柔性梁的寬度c和厚度t與其他兩者不同，呈負(fù)相關(guān)系，說明柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)的輸出位移隨柔性梁的寬度c和厚度t的增大而減小，結(jié)果符合式(1)中所示關(guān)系。相對(duì)的，剛性梁的長(zhǎng)度b和寬度d，以及機(jī)構(gòu)的厚度t對(duì)桿件的一階固有頻率影響較大，且影均為反比例關(guān)系；而柔性梁的長(zhǎng)度a和寬度c則對(duì)一階固有頻率影響不大[11]。根據(jù)靈敏度圖所顯，可以將因素水平進(jìn)行相應(yīng)比例大小的更改，使得因素水平選取更為合理。

2.3 構(gòu)建柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型

結(jié)合2.2節(jié)中的靈敏度分析結(jié)果，去掉影響程度小的變量后，對(duì)尺寸參數(shù)和兩個(gè)質(zhì)量特性進(jìn)行函數(shù)關(guān)系構(gòu)建，并轉(zhuǎn)化為式(3)的顯函式關(guān)系，構(gòu)造出數(shù)學(xué)關(guān)系模型?？梢源_定出輸出位移量和一階固有頻率與尺寸參數(shù)的顯函數(shù)關(guān)系分別如式(5)、式(6)所示。

為了方便建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，將尺寸參數(shù)分別用x1～x5表示。結(jié)合式(3)～式(6)，可以得出可靠度μ的數(shù)學(xué)公式，為了方便與田口法的優(yōu)化程度進(jìn)行比較，將選取相同的取值范圍進(jìn)行優(yōu)化。

2.4 方案選優(yōu)

通過2.3節(jié)中所建立的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算得出最佳方案的對(duì)應(yīng)參數(shù)值如表5所示。由表中的數(shù)據(jù)可以看出，在各因素同水平取值范圍的條件下，相比于田口法得出的最佳組合，通過靈敏度綜合分析各尺寸參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度的影響比例因子，在兼顧一階固有頻率和最大位移兩個(gè)響應(yīng)目標(biāo)的前提下，剛性梁的寬度d取值有所變動(dòng)。結(jié)合式(7)和式(8)，將各尺寸因素的水平范圍分別由之前統(tǒng)一的10%依次更改為7%、7%、15%、16%和8%，即以考慮靈敏度分析結(jié)果后的權(quán)重系數(shù)為依據(jù)改變式(9)中的x的取值范圍進(jìn)行試驗(yàn)，并得出x的取值。

表5 MATLAB分析數(shù)值表

3 對(duì)比驗(yàn)證

采用2.4節(jié)中所得到的參數(shù)重新建模，將原始模型、田口法所得的最佳方案以及采用靈敏度分析建立數(shù)學(xué)模型后所得的方案這三者進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，從表6中可以看出，在采用靈敏度分析確定影響因素以及權(quán)重系數(shù)建立數(shù)學(xué)模型分析后所得到優(yōu)化模型的可靠度，相比較于傳統(tǒng)的田口方法提高了24.82%，優(yōu)化效果顯著，且其僅需要進(jìn)行11組試驗(yàn)便可以達(dá)到結(jié)果，大大節(jié)省了試驗(yàn)時(shí)間。

表6 對(duì)比驗(yàn)證數(shù)據(jù)表

4 結(jié)語

本文基于可靠性理論和優(yōu)化分析方法，針對(duì)于傳統(tǒng)田口法水平范圍以及單一目標(biāo)造成的局限性，對(duì)其進(jìn)行針對(duì)性的改進(jìn)，提出了一種在基于田口法的基礎(chǔ)上結(jié)合靈敏度分析的加權(quán)優(yōu)化方法，對(duì)柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)的幾何尺寸進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，在田口法的基礎(chǔ)之上進(jìn)一步減少了試驗(yàn)的時(shí)間。分析結(jié)果表明，本文章提到的優(yōu)化方法確實(shí)合理有效，相比較于傳統(tǒng)田口法所得的優(yōu)化數(shù)值提高了24.82%，試驗(yàn)所需時(shí)間更短。通過模型結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化，可以有效兼顧柔順?biāo)臈U機(jī)構(gòu)的一階固有頻率和最大位移量的優(yōu)化，使其可靠性得到明顯的優(yōu)化改善，為其他類型機(jī)構(gòu)的多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化提供了一定的參考。