倪方友

義務(wù)教育教科書初中數(shù)學(xué)教材是教學(xué)的重要資源.在教學(xué)活動中，教師應(yīng)深入研讀教材，將教材中的例、習(xí)題進(jìn)行整合，找到它們之間的關(guān)聯(lián)點，挖掘初中數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，幫助學(xué)生形成學(xué)習(xí)生態(tài)鏈，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解水到渠成.下面筆者以“直線和圓的位置關(guān)系”章節(jié)中三角形內(nèi)切圓部分的例、習(xí)題整合為例進(jìn)行闡述.

一、題例分析，明確題目價值

義務(wù)教育教科書（人教版）《數(shù)學(xué)》九年級（上冊）第二十四章24.2.2直線和圓的位置關(guān)系，講解了切線長定理和三角形的內(nèi)心相關(guān)內(nèi)容.教材用三角形內(nèi)切圓的圓心定義了三角形的內(nèi)心，即三角形內(nèi)切圓圓心是三角形三條角平分線的交點.在教學(xué)過程中，教師既要讓學(xué)生對照圖形理解三角形內(nèi)切圓的概念，又要引導(dǎo)他們把三角形的內(nèi)心和三角形的外心、內(nèi)切圓和外接圓進(jìn)行比較，讓學(xué)生真正理解“切”和“接”的含義.

在教學(xué)中，要對教科書中的例、習(xí)題進(jìn)行整合，我們首先應(yīng)選中并深入分析一些題目.三角形內(nèi)切圓部分有三道題目（包含例題與習(xí)題）引起了筆者的重視.在教學(xué)前，筆者深入分析了這幾道題目的價值.

題目1：如圖1，△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的長.

分析：這是教科書中出現(xiàn)的一道例題，設(shè)置該題的目的是為了鞏固三角形內(nèi)切圓與切線長定理，讓學(xué)生加深理解，并獲得新的解題方法.題目涉及一次方程，滲透了方程思想，可以通過建立方程或方程組進(jìn)行解答：設(shè)AE=AF=x，則BF=BD=9-x，CD=CE=13-x，通過BC=BD+CD=14，建立一元一次方程（9-x）+（13-x）=14，從而求解.這也是教科書上采用的方法.因為△ABC的內(nèi)切圓把其三邊分成了三部分相等的線段，故也可以設(shè)AE=AF=x，BF=BD=y，CD=CE=z，建立一個三元一次方程組求解.當(dāng)然，教科書中的解答方法較為簡潔，必須讓學(xué)生牢固掌握.

題目2：△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，△ABC的周長為l，求△ABC的面積.（提示：設(shè)△ABC的內(nèi)心為O，連接OA，OB，OC）

分析：這是教科書上的一道練習(xí)題，設(shè)置該題的目的是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解三角形內(nèi)切圓的半徑，也能拓展三角形內(nèi)心與面積關(guān)系的知識.教師可引導(dǎo)學(xué)生畫出如圖2所示圖形，通過把△ABC分割成三個小三角形再面積求和即可求解.這道題不但滲透了整體分割成部分的轉(zhuǎn)化思想和整體思想，還讓學(xué)生獲得了求三角形的面積的另一種方法.

題目3：如圖3，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的長分別為c，a，b.求△ABC的內(nèi)切圓半徑r.

分析：這是教科書設(shè)置的一道“拓廣探索”練習(xí)題，解答略有難度.設(shè)置該題的目的是對三角形內(nèi)切圓知識和三角形面積求法在特殊三角形中的應(yīng)用，揭示了由一般到特殊的探究方法.解答時，我們要連接圓心與切點，把三角形分成三個小三角形，利用等積變換，列出方程求解.該題是對三角形內(nèi)切圓相關(guān)知識的進(jìn)一步拓展，通過自主探索，學(xué)生可以獲得求三角形內(nèi)切圓半徑的一種方法.

二、關(guān)聯(lián)挖掘，探究知識的內(nèi)在聯(lián)系

關(guān)聯(lián)一：由題目1可以想到，已知△ABC的三邊，可以求出△ABC的面積，運用八年級所學(xué)勾股定理建立方程即可;也可以運用八年級（下冊）第十六章閱讀與思考中的“海倫-秦九韶公式”.

關(guān)聯(lián)二：利用題目2的結(jié)論S=rl，可以求出△ABC的內(nèi)切圓半徑r，從而得到結(jié)論：已知三角形的三邊可以求其內(nèi)切圓半徑.

關(guān)聯(lián)三：利用題目2的方法和結(jié)論S=rl，運用等積變換可以解決題目3，得到r=;也可以運用題目2的解題方法解答題目3，從而獲得另一種解決路徑和方法.

關(guān)聯(lián)四：在解答題目3時，運用題目1和題目2的方法求出Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑r的表達(dá)式雖不一樣，但它們一定是相等的.從中我們發(fā)現(xiàn)了直角三角形內(nèi)切圓半徑的兩種求法，進(jìn)而推導(dǎo)出勾股定理.

三、整合設(shè)計，構(gòu)建學(xué)生學(xué)習(xí)生態(tài)鏈

基于對教材及關(guān)聯(lián)的分析，在對相關(guān)知識內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，筆者嘗試?yán)砬逯R間的邏輯關(guān)系，進(jìn)行整合設(shè)計，加強知識的縱橫聯(lián)系，提升學(xué)生的思維能力，幫助學(xué)生構(gòu)建自己的學(xué)習(xí)生態(tài)鏈.

活動一：例題剖析

問題1：如圖4，△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，你能得到什么結(jié)論？

結(jié)論1：由切線的性質(zhì)可得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB;

結(jié)論2：由切線長定理可得AE=AF，BF=BD，CD=CE;

結(jié)論3：由☉O的半徑相等得OD=OE=OF;

結(jié)論4：如圖5，如果連接OA，OB，OC，根據(jù)內(nèi)心的定義可得OA，OB，OC分別平分三個內(nèi)角.

設(shè)計意圖：通過開放式設(shè)計，發(fā)展學(xué)生的思維能力，得到的結(jié)論為后面的問題解決作準(zhǔn)備.

問題2：如果AB=9，BC=14，CA=13.你能求出線段AF，BD，CE的長嗎？如何做？

學(xué)生討論，通過前面題例分析中的方法即可求得AF=4，BD=5，CE=9.

小結(jié)：三角形內(nèi)切圓把三角形的三邊分成了三組相等的線段，只要已知三邊即可求出這三組線段的長.

活動二：問題引申

引申一：在問題2中，如果內(nèi)切圓☉O的半徑為，你能求出△ABC的面積嗎？如果☉O的半徑為r，BC=a，AC=b，AB=c，你能求出△ABC的面積的表達(dá)式嗎？

學(xué)生自主完成，通過觀察可知△ABC的面積是△OAB，△OBC，△OAC的面積之和，求得S△ABC=18.△ABC的面積的表達(dá)式即S△ABC=r（a+b+c）.如果設(shè)△ABC的周長為l，則可得S△ABC=rl.

小結(jié)：三角形的面積有兩種求法：S△ABC=ah（其中a為底邊，h為高），S△ABC=rl（其中r為三角形內(nèi)切圓半徑，l為三角形周長）.

筆者又拋出兩個讓學(xué)生課后去思考的問題：第一，不給出內(nèi)切圓☉O的半徑，只知道三角形的三邊能否求出三角形的面積？第二，已知三角形的三邊，能不能求出三角形內(nèi)切圓的半徑？

設(shè)計意圖：通過給出已知的三角形內(nèi)切圓半徑，教師引導(dǎo)學(xué)生計算三角形的面積，再改成字母由學(xué)生推出求三角形面積的一般公式，注重從特殊到一般的探究過程.同時教師又拋出了兩個問題，既給學(xué)生留有充分思考的空間，又引導(dǎo)學(xué)生從更深的角度去思考問題，激發(fā)學(xué)生的探索熱情.

引申二：如圖6，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8.你能求出圖中哪些線段？

學(xué)生利用勾股定理得到AC==6.根據(jù)之前得到的方法，很容易求得AD=AF=4，BF=BE=6，CD=CE=2.

筆者又提出問題：你能求出Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑嗎？如何求？

學(xué)生討論完成解答，一種方法是證明四邊形CEOD是正方形，從而有OD=CE=CD=2，即r=2.當(dāng)然，教師也可引導(dǎo)學(xué)生運用等積變換法解答.

筆者再次提出問題：在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC，CA，AB的長分別為a，b，c.請你求出△ABC的內(nèi)切圓半徑r.

筆者引導(dǎo)學(xué)生獨立運用前面學(xué)到的方法進(jìn)行推算.學(xué)生運用不同的方法得到兩種不同的結(jié)果：r=和r=.

追問1：我們得到直角三角形內(nèi)切圓半徑有兩種結(jié)果，哪一個對呢？或是兩種結(jié)果都對？（追溯我們的解答過程都是正確的，所以兩種結(jié)果均是正確的）

追問2：既然兩種結(jié)果都對，那么就有=，你們化簡試試，會有什么結(jié)果？（學(xué)生通過演算，“發(fā)現(xiàn)”了勾股定理）

小結(jié)：通過對這些問題的探究，我們找到了求直角三角形內(nèi)切圓半徑的兩種方法，通過直角三角形內(nèi)切圓半徑的兩種不同表達(dá)形式，我們又可以驗證勾股定理.

設(shè)計意圖：通過在直角三角形中的探究，教師引導(dǎo)學(xué)生找到了求直角三角形內(nèi)切圓半徑的方法，并且挖掘出教材知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生構(gòu)建完整的學(xué)習(xí)生態(tài)鏈.同時，教師也給學(xué)生留下探索求一般三角形內(nèi)切圓半徑的懸念，激發(fā)學(xué)生勇于探索知識高峰的精神.

初中數(shù)學(xué)教材是我們教育教學(xué)的重要資源和依據(jù).在教學(xué)中教師要充分地去使用教材，利用教材，特別是在“雙減”政策下，更需要認(rèn)真研究教材，去挖掘教材中知識的內(nèi)在聯(lián)系，去開發(fā)教材中利于發(fā)展學(xué)生能力，拓寬學(xué)生思維，培育學(xué)生核心素養(yǎng)的資源，在課堂上撬動學(xué)生思維的觸發(fā)點，讓學(xué)習(xí)真實發(fā)生.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇