鐘家偉， 宋衛(wèi)東，2

(1.安徽信息工程學(xué)院 通識教育與外國語學(xué)院，安徽 蕪湖 241000；2.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

引言

以(Nn+1,g)表示其黎曼曲率張量,取如下形式：

KABCD=a(gACgBD-gADgBC)+b(gACfBD+gBDfAC-gADfBC-gBCfAD)，∑gACgBDfABfCD=1。

(1)

的n+p維單連通完備的黎曼流形,稱為近擬常曲率空間[1],其中:g是Nn+p的黎曼度量；a,b是Nn+p上C∞-函數(shù)；{fAB}是Nn+p上一個單位向量函數(shù),稱為Nn+1的生成元。

顯然,當(dāng)a=1,b=0時,Nn+1是單位球面Sn+1(1),文[1]給出了非常曲率空間的近擬常曲率空間的例子。對于球面Sn+1(1)上具有常數(shù)量曲率的緊致超曲面Mn，文獻[2]得到了如下的剛性定理。

定理A[2]假設(shè)Mn是Sn+1(1)的緊致超曲面,其標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量曲率R為常數(shù)，且R-1≥0，

本文引入方框算子□[3],考慮近擬常曲率空間中某類緊超曲面,得到了：

定理B設(shè)Mn是近擬常曲率空間Nn+1中的緊致超曲面,若Nn+1生成元向量{fAB}沿Mn的法方向分量{fn+1A}消失,且|▽h|2≥n|▽H|2,則有如下積分不等式：

其中S表示Mn第一基本形式h模長的平方,H表示Mn的平均曲率,*1表示體積元素。

注：當(dāng)Nn+1為Sn+1(1),即a=1,b=0時,若Mn的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量曲率R為常數(shù),且R>1,那么|▽h|2≥n|▽H|2當(dāng)然成立[2],由定理B得到剛性定理A。

1 基本公式

約定各類指標(biāo)的取值范圍如下：

1≤A,B,C,…,≤n+1; 1≤i,j,k,…,≤n。

在Nn+1上選取局部標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場{eA},使得限制到Mn上時,{ei}與Mn相切。以{ωA}表示{eA}的對偶標(biāo)架場,{ωAB}是Nn+1的聯(lián)絡(luò)1-形式。限制在Mn,有[4]

(2)

(3)

(4)

Rijkl=Kijkl+hikhjl-hilhjk,

(5)

其中Kijkl,Rijkl分別是Nn+1及Mn的黎曼曲率張量,h表示Mn的第二基本形式。又Mn的第二基本形式模長的平方S及Mn的平均曲率H分別是

(6)

設(shè)Nn+1是近擬常曲率空間,在上述標(biāo)架下,Nn+1的黎曼曲率張量可表示為：

KABCD=a(δACδBD-δADδBC)+b(δACfBD+δBDfAC-δADfBC-δBCfAD)。

(7)

假設(shè){fn+1A}沿Mn的法向量消失,即

fn+1A=0,?A

結(jié)合(7)式,不難得到

Kn+1ijk=0, ?i,j,k。

(8)

以hijk及hijkl表示hij的一階、二階共變導(dǎo)數(shù),則[4]

hijk-hikj=-Kn+1ijk,

(9)

(10)

(11)

現(xiàn)在選取Mn的標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場{ei},使得hij=λiδij，于是

由(5)、(8)—(11)式得

(12)

2 定理的證明

首先定義Mn上的對稱張量場

(13)

引入與φ相關(guān)的算子[4]□；?f∈C2(Mn),

(14)

在(14)式中,取f=nH,則

于是由(12)式得:

(15)

定理的證明,還需要下面引理。

引理1由公式(15)定義的算子□是一個自伴算子,即

證明由(13)式,有

(16)

由(7)式,結(jié)合hij=λiδij,經(jīng)較復(fù)雜計算,得：

(17)

其中|Z|2=S-nH2。

由Cauchy不等式

從而當(dāng)b≥0時,由式(17)得

(18)

當(dāng)b<0時,

(19)

(18),(19)可統(tǒng)一表示為

(20)

又hij=λiδij,記

于是

引理2[5]記號如上,對于n≥3,有下列不等式

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)n-1個ki相等。

因此

(21)

作正交變換

(22)

結(jié)合(21)式得：

(23)

于是由(15)、(17)、(20)、(22)及|▽h|2≥n|▽H|2,有

(24)

由Mn的緊性,根據(jù)Stokes定理,對(24)式兩邊積分,經(jīng)整理,即完成了定理B的證明。